XVI Теория вероятностей (1081428), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Вспоминая определение плопьноспьн распределения равномерно распределенной на интервале (а, Ь) случайной величины, имеем Е"х дХ Е"Ь вЂ” Енв Ь У() = Ь- а ьс(Ь- а) в Пример 9.25. Найдем характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность распре. деления ~-1~! р(х) =— Характеристическая функция случайной величины Х равное +00 О +00 Г Еахв )х) 1 Г 1 Г 1х у(Ь) <~х е9$+1)пах+ ~ ерем-1)хдх г/' 21 -00 -00 О 1 1 1 2(ьЬ+ 1) 2(ьс - 1) Ьз+1' Пример 9.26. Найдем характеристическую функцию непрерывной случайной величины Х, имеющей плотность раснределеннл Коши (1+ хз) 430 9.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Имеем еи» ввх У()= ~ Для вычисления интеграла воспользуемся методом контурного интегрирования [Х]. При этом рассмотрим отдельно два случая: $ ) 0 и 1 ( О. В первом случае выберем замкнутый контур 2', состоящий из полуокружности 2.в большого радиуса В с центром в точке О, лежащей в верхней части комплексной плоскости, и части 2 л действительной оси, представляющей собой диаметр этой полуокружности (рис. 9.3). Поскольку подынтегрэльная функция является аналитической внутри рассматриваемого контура эа исключением простого полюса в точке» =1, то интеграл по контуру Ь будет равен вычету в точке в, умноженному на 2кв, т.е.
| ив 1 ~ ив = 2к1Кеэ к(1+»2) в=в ~ к(1+»2) В свою очередь, е пв егм евм Вез 1 = 11ш(» — в) = 11ш »=в ( я(1+»2) !»-вв К(1+»2) в-вв'Х(»+В) 2КВ Оценим | е'в'в1» х(1+»2) при В ) ~/2. Поскольку ] вм]~~1 431 9.$. Решение типовых приыеров при Ф > 0 в верхней полуплоскости 1ш«> 0 и, кроме того, ~1+« ~ >— г 2 на окружности ф = В при В > ~/2, то | сече,1« я (1+ «~) Г2Щ 2зВ 2 -/ „Ваш,„Вг В. Устремлял теперь В к бесконечности, видим„ что интеграл по полуокружности Ь' стремится к нулю, а интеграл по диаметру Ьв — к характеристической функции.
Значит, Д$) =е ~ при $>0. Рис. 9.3 Рис. 9.4 Во втором случае поступим точно так же, только вместо полуокружности, лежащей в верхней части комплексной цлоскости, воэьмем полуокружность, лежащую в нижней части этой плоскости (рис. 9.4). Аналогичные выкладки дают: у($) =е при 1<0. Об ьединяя оба случая, получаем 432 О.
ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример 9.27. Выясним, может ли функция Д1) = в1п1 являться характеристической функцией некоторой случайной величины. Не может, так как У(0) = 0 уе 1, что противоречит свойству 1 характеристической функции. Пример 9.28. Ответим на вопрос: может ли функция Д$) =е являться характеристической функцией некоторой случайной величины? Не может, так как Д$) не является ограниченной, что противоречит свойству 1 характеристической функции.
Пример 9.29. Выясним, может ли функция являться характеристической функцией некоторой случайной величины. Оказывается, что не может, так как функция Д$) терпит разрыв в точках $ = -1 и $ = 1, что противоречит свойству 1 характеристической функции. Пример 9.30. Найдем характеристическую функцию случайной величины У=аХ+Ь, а)0, где Х вЂ” случайная величина, определенная в примере 9.26. Используя свойство 2 характеристической функции и результаты примера 9.25, имеем ~уф = ~х(а1)епя = е ~~6+'и 433 9.5. Решение типовых примеров Пример 9.31. Независимые случайные величины Х~ и Хз распределены по экспоненвиальному эакону с параметрами Л~ и Лз. Найдем характеристическую функцию случайной величины у=х +х.
Поскольку случайные величины Х~ и Хз независимы и имеют характеристические функции (см. пример 9.10), то в соответствии со свойством 3 характе- ристической функции Л(~)= Л~Лз (Л вЂ” ИНЛ2 — $$) Пример 9.32. Недедем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, имеющей характеристическую функцию Нетрудно видеть, что характеристическая функция у(1) имеет производные всех порядков в любой точке Ф, причем -дв1пЬ вЂ” 2есове+ 2вш$ ун( )- у~( ) 12 при $ ф О, а у'(0) и уе(0) определяются из условия непрерывно- сти.
Воспользовавшись правилом Лопиталя, имеем У'(0) = О, Ув(0) = — —. Отсюда в силу свойства 4 характеристической функции МХ= —,=О, МХ =-Уе(0)=- 1ЭХ=МХ вЂ” (МХ) = —. у'(о) 3 3' вшФ У(1) = 11 Ух,(е) = л е Лз — й 1фО; 1= 0. 434 9. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1+ соя 1 2 Мы не будем пользоваться фор.нулоб обращения, а представим характеристическую функцию у($) в соответствии с формулой Эйлера в виде п.1 у($) = -е' ' + -е' 4 ~+ -е' ' . Отсюда видно, что у($) является характеристической функцией дискреп1- ноб случабноб величины Х, имеющей ряд распределения, представленный в табл. 9.3. Таблииа 9.3 Пример 9.34. Найдем закон распределения случайной величины Х, характеристическая функция которой равна у(Ф) =е ~'~. В данном случае характеристическая функция у ($) является абсолютно интегрируемой, а значит, случайная величина Х имеет плотность распределения р(х) = — е п*е ~дай.
2к,1 Производя интегрирование, получаем +оо о +оа — СО -00 о 1 1 1 2я(-1х+ 1) 2к(-1х — 1) к(хз + 1) Пример 9.33. Найдем закон распределения случайной величины, характеристическая функция которой равна 435 е.е. Решеиие типовых примеров Таким образом, случайная величина Х имеет плотность рас- пределения 1 Р(х) ( 2 1) (см. также пример 9.25). Пример 9.35.
Случайнзл величина Х является средним арифметическим из 3200 независимых одинаково распределенных случайных величин, причем каждое слагаемое имеет математическое ожидание 3 и дисперсию 2. Воспользовавшись кекшралькой кределькой теоремой, оценим вероятность того, что Х попадет в интервал (2,925, 3,075). Случайная величина Х имеет математическое ожидание 2 1 МХ = 3 и дисперсию ПХ = — = —.
3200 1600 Тогда в силу центральной предельной теоремы случайная вели- чина У = (Х вЂ” 3)Л600 имеет приближенно стандартное нормальное распределение, а значит, Р(2,925 < Х < 3,075) = = Р((2,925- 3) Л600 < У < (3,075 — 3) Л600) пе Фо(3) — Фе(-З). Воспользовавшись табл. Н.З, в которой приведены значения функции Лапласа, имеем Р(2,925 < Х < 3,075) - 2 0,49865 = 0,9973. Пример 9.36. Найдем вероятность того, что при 720 бросаниях игральной кости „шестерка" выпадает от 100 до 130 раз. 436 9. НРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Обозначим через Х суммарное число выпавших „шестерок" при и = 720 бросаниях игральной кости. Поскольку вероятность вьшадения „шестерки" при одном бросании р = 1/6, то в силу интегральной теоремы Муавра — Лапласа случайная величина Х вЂ” пр Х вЂ” 120 У= приближенно распределена по стандартному нормальному закону.
Значит, Р(100<Х<130) =Р ~ < У < ~ -Фв(1) — Фе(-2). Г 100-120 130 — 1201 10 10 Используя таблицу значений функции Лапласа (см. табл. П.З), находим: Р(100 < Х < 130) 0,34134 — (-0,47725) = 0,81859. Отметим, что задачи такого рода уже рассматривались нами (см. 3.6). Вопросы и задачи 9.1. Какие тины сходимости случайных величин Вы знаете? Как связаны между собой различные типы сходимости? 9.2.
Дайте определение слабой сходимости последовательности функций распределения. 9.3. Напишите первое неравенство Чебышева. 9.4. Напишите второе неравенство Чебьппева. 9.5. В каком случае говорят, что последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин удовлетворяет закону больших чисел? В чем заключается физический смысл закона больших чисел? 9.6. Докажите закон больших чисел в форме Чебышева.
Вопросы я задачи 437 9.7. Докажите закон больших чисел в форме Бернулли. 9.8. Дайте определение характеристической функции. 9.9. Перечислите основные свойства характеристической функции. 9. 10. Напишите формулу обращения. 9.11. Как связаны между собой слабая сходимость последовательности функций распределения и сходимость последовательности соответствующих им характеристических функций (теорема непрерывности)? 9.12. Докажите центральную предельную теорему. В чем заключается физический смысл этой теоремы? 9.13. Докажите интегральную теорему Муавра — Лапласа.
9.14. Средний ежедневный расход воды в некотором пасе. ленном пункте составляет 50000 л. Оцените с помощью первого неравенства Чебьппева вероятность того, что в произвольно выбранный день расход воды в этом пункте превысит 150000 л. О т в е т: Р(Х > 150000) < 1/3. 9.15. Среднее потребление электроэнергии в мае в некотором населенном пункте составляет 360000 кВт ч. а) Оцените с помощью первого неравенства Чебышева вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года в этом населенном пункте превысит 1000000 кВт.ч. б) Оцените с помощью второго неравенства Чебьппева ту же вероятность, если известно, что среднее квадратичное отклонение потребления электроэнергии в мае равно 40000 кВт.ч. Ответ: а) Р(Х > 1000000) < 0,36; б) Р(Х >1000000) < —. 9.16.
Среднее квадратичное отклонение погрешности измерения курса самолета равно 2'. Считая математическое ожидание погрешности измерения равным нулю, оцените с помощью второго неравенства Чебьппева вероятность того, что погрешность одного измерения курса самолета превысит 5'. Ответ: РЦХ~ > 5') <0,16. 438 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.17. Вероятность появления некоторого события в каждом из 800 независимых испытаний равна 1/4.
Воспользовавшись вторым неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что число Х появлений этого события заключено в пределах от 150 до 250. О т в е т: Р(150 < Х < 2501 > 0,94. 9.18. Пусть дана последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ... независимых дискретных случайных величин, причем ряд рас- пределения случайной величины Х„ Таблица У.4 представлен в табл. 9.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
