XVI Теория вероятностей (1081428), страница 49
Текст из файла (страница 49)
2.4) и называют вероятностью. Однако для того чтобы теория согласовывалась с практикой, при ансиоматичесном определении вероятности, которое мы испольэовали, этот закон предельного постоянства частоты должен быть обоснован теоретически. Иначе говоря, он должен быть сформулирован и доказан в виде одной или не. скольких теорем. В теории вероятностей теоремы такого типа обычно называют различными формами закона большиз чисел.
В настоящей главе мы докажем некоторые формы этого закона, которые, в частности, поясшпот смысл математического ожидания случайной величины, и то, почему его называют также средним значением. Далее (см. 9.4) доказывается простейший вариант центральной предельной теоремы, уточняющей закон больших чисел. Центральная предельная теорема, в свою очередь, объясняет то широкое распространение, которое получило на практике нормальное распределение. 398 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 9.1.
Сходимость последовательности случайных величин Пусть представляет собой последовательность случайных всличнн, заданных на одном и том же веролтпностпном простпранстпве. Опишем типы сходнмостн последовательности ХьХэ,...,Х„,... к некоторой случайной величине Х. Сразу же отметим, что естественно все определения сходи- мости вводить таким образом, чтобы сходимость последовэ тельности случайных величин Хь Хэ, ..., Х„, ... к случайной величине Х была эквивалентна сходимости последовательности У1=Х| — Х, У~=Хэ Х,...,Уп=Хп — Х, случайных величин к нулю, т.е. к случайной величине, принима; ющей всего одно значение О. Поэтому далее мы будем говорить только о сходимости последовательности Хь Хэ,..., Х„,... к нулю.
Поскольку каждая из случайных величин Х; представляет собой фуйкцию, заданную на простпранстпвс элементпарнмх исходов й, и существуют разные определения сходимости функций, то можно ввести и различные определения сходимости последовательности случайных величин. Казалось бы, наиболее разумно понимать сходимость последовательности Хь Хэ,..., Х„, ... случайных величин следующим образом.
Для каждого элементарного исхода то Е й последовательность Х1(м), Хэ(ю), ..., Х„(от), ... представляет собой обычную числовую последовательность, и можно определить сходимость последовательности Хь Хэ, ..., Х„,... случайных величин как сходнмость числовых последовательностей Х1 (от), Хэ(ю), ..., Х„(ы), ... при всех и Е й. К сожалению, такая сходимость (ее называют сходимосптью всюду) редко встречается на практике. 9.1. Сходимость посаедоеательвости сеутайяьтт ааевчвв 399 Введем некоторые типы сходимости случайных величин. Рассмотрим все элементарные исходы ы, для которых последовательности Хт(ьт), Хэ(от), ..., Х„(ы), ...
сходятся к нулю, и обозначим через А событие, состоящее иэ этих исходов, т.е. А= (ьп Бш Хп(ы) =О~. Определение 9.1. Если последовательность Х1, Хг, ..., Х„, ... случайных величин удовлетворяет условию Р(А) =1, то говорят о сходимостпи этой последовательности к нулю с вероятпностпью 1, или почтпи наверное. Сходимость к нулю с вероятностью 1 записывается в виде В дальнейшем мы в основном будем использовать сходи- моста по вероятпностпи.
Определение 9.2. Если последовательность Хт, Хт, ..., Х„, ... случайных величин для любого е ) О удовлетворяет условию 1пп Р( ~Х„~ ( е) = 1, то говорят о сходимостпи этой последовательности к нулю тьо вероятпностпть Сходимость к нулю по вероятности записывается в виде Р Смысл сходимости по вероятности заключается в том, что вероятность нарушения неравенства ~Х„~ < е при увеличении п становится сколь угодно малой. Наконец, во многих приложениях теории вероятностей важную роль играет сходимостпь в среднем кввдротпичном.
400 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Определение 9.3. Если последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ... случайных величин удовлетворяет условию йш МХ~ч =О, и-+оо то говорят о сходимоспзи этой последовательности к нулю в среднем коадратпичном. Сходимость к нулю в среднем квадратичном записывается в виде Մ— '-Ф О. в-+оо При доказательстве центральной предельной теоремы нам понадобится понятие слабой сходимости последовательности функций распределения. Определение 9.4.
Последовательность функций распределения Р1(х),...,Р„(х),... сходится к предельной функции распределения Р(х), если 11ш Р„(х) = Р(х) для любых х, 9вляющихся точками непрерывности Р(х). Такую сходимость называют слвбой сходимосптю последовательности функций распределения и обозначают Р„(х) =~ Р(х). Приведем пример последовательности случайных величин, для которой не имеет место сходимость всюду. Пример 9.1. Рассмотрим бесконечное число испытаний по схеме Бернулли с равными вероятностями успеха и неудачи р = д = 1/2.
Последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ..., где Х;— число успехов в 1-м испытании, будет представлять собой последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. 9.1. Сходииооть ноеледоватаеьноети случайных величин 401 Рассмотрим последовательность Ум Уз,..., где 1и=-(Х,+...+Х„) 1 представляет собой вычисленную по первым и испытаниям частоту успеха. Далее будет показано (см.
теорему 9.4), что последовательность Ум Уз,..., У„,... сходится по вероятности к 1/2. Более того, имеет место так называемый усиленный закон больших чисел, согласно которому эта последовательность будет сходиться к 1/2 с вероятностью 1. Установимсуществование такихэлементарныхисходовю, для которых числовыепоследовательности У1(ю), Уз(ш),...,У„(ю),... не сходятся к 1/2.
Это означает, что для последовательности Ум Уз, ..., У„, ... случайных величин сходимосгь всюду не имеет места. Пространство элементарных исходов й состоит из всевозможных (бесконечных) последовательностей УНН...УН... (см. 3.6). В отличие от случая конечного числа испытаний, й уже не будет дискретным (более того, Й „почти" эквивалентно отрезку (0,1) с равномерной вероятностью на нем; для доказательства этого достаточно отождествить последовательность Х1,Хт, ,Ха...
с двоичным представлением некоторого числа, заключенного между нулем и единицей). При этом каждый элементарный исход ю имеет вероятность 1 1 1 Р(ю) = — —.... — ...=О. 2 2 2 Рассмотрим элементарный исход о~о = УУ...У... Для него Х1(ыо) =Хг(шо) = ... =1 и У1(ио) =Уз(ыо) = ...=1, 402 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ т.е. средние арифметические значения равны единице. Таким образом, для элементарного исхода шс = УУ...У... последовательность У1, Уз,..., 1~„,... случайных величин сходится к 1, а не к 1/2. Читатель без труда может привести примеры и других элементарных исходов, для которых последовательность У1, уз, ..., У„, ... либо будет сходиться к некоторому отличному от 1/2 числу из промежутка [О, 1], либо вообще не будет сходиться.
К определению слабой сходимости можно сделать несколько замечаний. Замечание 9.1. Из слабой сходимости последовательности функций распределения еще нельзя сделать вывод о какой-либо сходимости последовательности самих случайных величин, так как даже одинаково распределенные случайные величины могут быть заданы на совершенно разных вероятностных пространствах. Замечание 9.2.
Требование сходимости в любой точке непрерывности г'(х) нельзя заменить более сильным требованием сходимости во всех точках х. Это подтверждает следующий пример. Пример 9.2. Пусть на одном и том же вероятностном пространстве задана последовательность случайных величин Хь Хз, ..., Х„, ..., причем каждая случайная величина Х„принимает всего одно значение 1/п. Тогда последовательность Х1, Хз, ..., Х„, ... будет сходиться к случайной величине Х ьв 0 для любого элементарного исхода ю (причем даже равномерно). Тем не менее Гх„(0) = 1 при всех и, но Рх(0) = О.
9.1. Слодииостъ последоввтелвиости сеучввиыл величие 403 Приведенный пример показывает, что Рх„(0) не стремится к Рх(0), хотя естественно было бы ожидать сходимости Рт„(х) к Рх(х) в любой точке х, поскольку Х„(ш) — + Х(ш) при всех элементарных исходах ы. Разгадка этого парадокса заключается в том, что 0 является точкой разрыва Рх(я), а при определении слабой сходимости функций распределения сходимости в таких точках мы не требовали. Замечание 9.3. Если последовательность Р1(х),Рз(х),..., Р„(х),... функций распределения сходится к некоторой функции Р(х) в каждой точке непрерывности последней, то это не гарантирует слабой сходимости, поскольку Р(х) может вообще не быть функцией распределения. Пример 9.3. Пусть Хв ма для всех м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
