XVI Теория вероятностей (1081428), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В свою очередь, равенство Оу~х = 1 соответствует утверждению 3 той же теоремы, так как случайная величина У связана со случайной величиной Х функциональной зависимостью У Хг 8.3. Решение типовых примеров Пример 8.17. Распределение двумерного случайного векшора (Х, У) задано табл. 8.4. Найдем условное распределение случайной величины Х при условии, что случайная величина У 383 В.З. Ретеппе типовых примеров приняла значение и,, у = 1, 2, и условное распределение случайной величины У при условии, Т б 8.4 а лица 8. что случайнвл величина Х приняла значение х;, е = 1,2,3.
Используя найденные условные распределения, проверим, являются ли случайные величины Х и У кеэависи- лгььни. Распределения случайных величин У и Х приведены в табл. 8.5 и 8.6. Таблица 8.8 Таблица 8.8 Воспользовавшись определением условных веролганосшей р13 х; =Р1Х =х;~У = у1) = — ~, рз'у имеем: хм = Р(Х = 0,04~У = 0,2) = 0,15/0,20 = 0,750, хз1 = Р(Х = 0,08)У = 0,2) = 0,05/0,20 = 0,250, х1з = Р(Х = 0,04)У = 0,5) = 0,15/0,42 ~ 0,714, хзз =' Р(Х = 0,08~У = 0,5) = 0,12/0,42 = 0,286, я1з = Р(Х = 0,04~У = 0,8) = 0,35/0,38 ы 0,921, хзз = Р(Х = 0,08~У = 0,8) = 0,03/0,38 = 0,079.
Таким образом, для условного эанока распределения случайной величины Х при условии У получаем табл. 8.7. Аналогично Таблица 8.7 находим условные вероятности х,' =Р(У=у ~Х=х ) = — и, рх' представленные в табл. 8.8. 384 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Поскольку, например, строки в табл. 8.8 не совпадают, то случайные величины Х и У являются независимыми.
Таблица 8.8 Пример 8.18. Будем говорить, что случайный вектор (Х, У) имеет равномерное распределение в области Р (с площадью Я), если его плотность распределения — (х, у) еР; 1 РХ,У(х,У) = О, (х, у) фР. Пусть случайный вектор (Х, У) имеет равномерное распределение в треугольнике с вершинами в точках (О; О), (О; 2), (1; О). Найдем условную п.аотвносшь распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина У приняла значение у, и условную плотность распределения случайной величины У при условии, что случайная величина Х приняла значение х. Используя найденные условные плотности распределения, проверим, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Поскольку двумерный случайный вектор (Х, У) распределен равномерно в области Р, представляющей собой треугольник с вершинами в точках (О;0), (О;2), (1;0), то его плотность распределения имеет вид ( 1, (х, у)ЕР; рх,у(х,у) = ~ О, (х, у) ФР.
385 8.3, Решеиие типовых примеров Отсюда нетрудно найти частпкые нлотпностии распределения случайных величин Х и У: ( 2(1 — х), хЕ[О,Ц; О, х й [О, 1]; ( 1 — у/2, уЕ [0,2]; О, у Ф [О, 2]. Воспользовавшись теперь определением условной нлотпкоснти распределенил,получаем рх(х[у) = рхк(х,у) ( —, хЕ [0,1 — у/2] и уЕ [0,2]; РУ(У) ~ О, хф[0,1 — у/2] и уЕ [0,2]; рхк(х,у) (, уЕ [0,2(1 — х)] и хЕ [0,1]; Рх(х) ][ О, у~[0,2(1 — х)] и хЕ [0,1].
При у Ф [О, 2] и х 1~ [О, 1] условные плотности распределения рх(х[у) и рк(у[х) не определяются, поскольку случайнзл величина У не может попасть вне отрезка [О, 2], а случайная величина Х вЂ” вне отрезка [О, 1]. Так как, например, условная плотность распределения рх(х[у) зависит от у, а плотность распределения рх(х) от у не зависит, случайные величины Х и У являются зависимыми. Пример 8.19. В условиях примера 8.17 найдем ус ювкые машематпичесние ожидания М(Х]У) и М(У]Х), условкыв дисперсии ЩХ[У) и О(У[Х) и корреляционные отпношенив Ох~о и Чт ~х Используя определение условного математического ожидания для двумерной диснрептной случайной величины и результаты примера 8.17, находим значения М(Х[у ) и М(У[х;) услов- 386 В.
УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ных математических ожиданий М(Х~У) и М(У~Х): М(Х~0,2) =0,04 0,75+0,08 0,25=0,05, М(Х~0,5) =0,04.0,714+0,08 0,286 =0,05144, М(Х!0,8) =0,04 0,921+0,08 0,079 =0,04316, М(У10з04) = 012'Оз1875+ 0~5 01375+ 0>8 0~4375 = 0~575) М(У/0,08) =0,2 0,25+0,5.0,6+0,8 0,15=0,47. Таким образом, условное математическое ожидание М(Х~У) является функцией д(9) от случайной величины У, причем область определения функции д(у) состоит вз трех точек 0,2, 0,5, 0,8 и д(0,2) = 0,05, д(0,5) = 0,05144, д(0,8) = 0,04316.
Аналогично условное математическое ожидание М(У~Х) является функцией Ь(Х) от случайной величины Х, причем область определения функции Ь(х) состоит из двух точек 0,04, 0,08 и Ь(0,04) = 0,575, Ь(0,08) = 0,47. Вычислим, теперь значения ХЭ(Х(уу) и Р(У)ю;) условных дисперсий П(Х~У) и П(У~Х): ?У(Х~0,2) = М(Х~!0,2) — (М(Х~0,2)) = 0,04~ 0,75+0,08 .0,25 — 0,05~ = 0,0003, П(Х~0,5) = М(Х~/0,5) — (М(Х~0,5)) = 0,04~ 0,714+0,08~.0,286 — 0,05144~ = 0,00033, 1Э(Х~0,8) = М(Хз!0,8) — (М(Х10,8)) = 0,04~ 0,921+ 0,08 0,079 — 0,04316 — 0,00012, ]Э(У/0,04) = М(У~~0,04) — (М(У~0,04)) =0,2 0,1875+0,5~ 0,375+0,8 .0,4375 — 0,575~-0,051, 387 8.3.
Рапеиие тииоввп~ примеров ЗЭЩ0,08) = М(У~~0,08) — (М(У~0,08)) =0,2 0,25+0,5г 0,6+0,8 0,15 — 0,47 ы0,035. Условная дисперсия Р(Х~У) является функцией от случайной величины У с областью определения, состоюцей иэ точек 0,2, 0,5, 0,8, и 1в(Х~0,2) =0,0003, О(Х~0,5) =0,00033, П(Х~0,8) =0,00012. Условная дисперсия Р(У/Х) являетсл функцией от случайной величины Х с областью определения, состоящей иэ точек 0,04, 0,8, и О(У~0,04) = 0,051, 1в(У~0,08) = 0,035. Наконец, найдем корреляционные отношения Ол~у и Цу1т.
Для этого вычислим сначала ПХ и ПУ. Имеем МХ = 0,04 0,8+ 0,08 0,2 = 0,048, РХ 0 04г . 0 8+ 0 08г . 0 2 0 048г 0 000256 МУ =0,2 0,2+0,5 0,42+0,8 0,38 =0,554, ПУ 0 2г. 0 2+ 0 5г. 0 42+ 0 8г . 0 38 0 554г 0 04928 Далее вычисляем 'МО(Х!У) =0,0003.0,2+0,0003308 0,42+ + 0,0001164 0,38 = 0,000243, МП(У~Х) = 0,0508 0,8+ 0,0351. 0,2 = 0,0475. Окончательно получаем М1:1(Х~У) 0,000243 $Х 0 000256 МЩУ/Х) 0,0475 ХИ' 0,04928 388 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 8.20. В условиях примера 8.18 найдем условные математические ожидания М(Х~У) и М(У]Х), условные дисперсии В(Х]У) и П(У]Х) и корреляционные отношения ох~у и Чу~х. Найдем регрессии случайных величин Х на У и У на Х и построим линии регрессии. Не проводя дополнительных вычислений, определим, чему равен коэффициенв1 корреляции случайных величин Х и У.
Поскольку случайная величина У принимает значения только из отрезка [0,2], а случайная величина Х вЂ” из отрезка [О, 1], то значения М(Х]у) условного математического ожидания М(Х]У) и значение 1р(Х]у) условной дисперсии 1р(Х]У) заданы только для у ю отрезка [О, 2], а значения М(У~х) дисперсии 1Э(У]Х) заданы только для х ю отрезка [О, 1]. Поэтому далее будем предполагать, не оговаривал этого особо, что р Е [0,2], а х Е [0,1]. Воспользовавшись определением 8.6 условного математического ожидания и условной дисперсии 8.8 для непрерывной случайной величины и результатами примера 8.18, найдем: +оо 1-1р/э Г 2хдх 2 — у М(Х]у) = хрх(х]р) р1х = / оо о +оо Э(1-я) уФ М(У~х) = ррУ(у~х) р1у = 1 = 1 — х, оо о о(хор~ = 1 ( — м(х!р))'рр~,1р)р*= 1-я(г (2 — ) о 389 8.3.
Ретеиие типовых примеров пе ~ ) = /( — и[ц ~) р~[р~ ~ыр = 211-х) 2 (у — (1 — х)) Иу (1 — х) 2(1-х) 3 о Таким образом, условное математическое ожидание М(ХР ) =9(У) =— 2 — У условное математическое ожидание М(У~Х) = й(Х) = 1 — Х, условная дисперсия (2 У)2 П(Х~У) = условная дисперсия ЩУ~Х) = 3 В частности, регрессия случайной величины Х на У задается формулой 2 — 9 аЬ) = 4 а регрессия случайной величины У на Х вЂ” формулой Цх) =1-х.
1Рафики линий регрессии Х на У и У на Х приведены на рис. 8.3 и 8.4. 390 8. УСЛОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Рис. 6.3 Рис. 6.4 Найдем корреляционные отношения нх)у и тЬ )х. Имеем: +ос 1 МХ= хрх(х)дх= 2х(1 — х)р1х= —, -сс о +00 у 2 =~мр(р)рр=/р(р р)рр= — рю о +00 э ОХ= (х — МХ) р (х)р1х= 2~х — -) (1 — х)<Ь= —, в 00 о оУ= 1 [р — мг>'р,[р>Рр=/(р--) (Р— -) Рр- —, -00 о Г(2- )а,1 96 24' -сс о Г 2(1-х)~рЬ 1 М1Э(У)Х) = / П(х )х)рх(х)рЬ = у -00 о 391 Вопросы и задачи Отсюда получаем М1з(Х~У) 1/24 Чх!у = 1— ПХ 1/18 1 — — =0,5, МР(У~Х) 1/6 Чцх= 1— Ш' 2/9 1 — — = 0,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
