XVI Теория вероятностей (1081428), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Оцределение 9.6. Характперистпической утункиией у(т) = тх(т) случайной величины Х называют матаематпическое ожидание случайной величины еил, где т' — мнимая единица, а 8 — проязвольное'(действительное) число. В определении математического ожидания фигурирует комплекснозначная случайная величина, которая определяетсл так же, как и скалярная, с той лишь разницей, что каждому элементпарному исходу ставится в соответствие комплексное число, а не действительное. Используя общее правило вычисления математического ожидания и формулу Эйлера [Х], получаем: для дискретной случайной величины Х, принимающей зна чения х;, у = 1,2,..., у(8) = Меи~ = "2 еехтру =~ русов(2ху)+2~~ рув1п(сху); 413 9.3.Характеристическая фуяяяяя для непрерывкой случайной величины с плотностью распределения р(х) у (~) = МЕПХ Ейяр(Х) йХ +со +ее — соя(1х)р(х) Их+ а яш($х)р(х) дх.
Поскольку !е'~~ = 1, то +ее Следовательно, ',> е'~ ер. и ) еияр(х)Их сходятся при всех $ у -00 (действительных), т.е. характеристическая функция существует при всех $ для каждой случайной величины. Отметимг что характеристическая функция определяется не собственно случайной величиной, а ее функцией распределения, т.е., по существу, она характерюует именно распределение случаинои величины. Читатель, знакомый с преобразованием Фурье, сразу же заметит, что характеристическая функция непрерывной случайной величины отличается от преобразования Фурье клацкавши распределения этой случайной величины только лишь отсутствием множителя 1/~/2~г, что, как будет видно ю дальнейшего, представляет определенное удобство при действиях над случайными величинами. Пример 9.9. Найдем характеристическую функцию случайной величины Х, распределенной по биномиаль ному закону. Поскольку Х вЂ” дискретная случайная величина, принимающая 414 9.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ значения О, н, то у($) = ~у е~~~С~фд у = ~СЬ1(рену)д~ у (д+ реп) у=о уме Пример 9.10. Характеристическая функция случаинои величины Х, распределенной по эксцоненниаюьному закону, имеет вид +оо +оо у(Ф) = е"*Ле ~*ах = Л е~п «)*ах = —.. ,à —, ы о о Пример 9.11. Пусть случайная величина Х распределена по спьандартному нормальному закону.
Тогда +оо +оо у($) = ~ е" д«(х)ах= l еев — е * ~ дх. Делал замену у ~ х — ьг, получаем +оо-П +оо — ц У(г) ( -Ь'+РУг,~у ~ -Р(г -лоРа ! ~Г2п «/2и Из теории функций комплексного переменного (Х] известно, что +оо — П е "~~Ну= «/2~г. -оо-П Окончательно получаем ~($) = е . Ф -Р/г Выведем некоторые свойства характеристических функции.
41б 9.3. Харантериетичеенеи фуиннин Теорема О.б. Характеристическая функция удовлетворяет следующим свойствам. 1. ДФ) — непрерывная функция, причем абсолютное значение у($) ограничено единицей, т.е. ~~(Й~ < 1 и ДО) = 1. 2. Если У = аХ+ Ь, то ~у(Ь) = ~х(ас)ене 3. Если Х1 и Хз — независимые случайные величины и У = Х1 + Хз, то Л Р) = Ух,(Ь)УХ. (Ь).
4. Если случайная величина Х имеет момеиоь и-го порядка пь„, то характеристическая функция Х дифференцируема и раз, причем для й < и у(~)(0) = ь~пьь. м 1. Утверждение 1 докажем для дискретной случаиной величины. Тогда ДО) =~е"~р = ~ р =1. Из неравенства ~Дй)) <~ ~е'~ ~р =~~Ь р =1 вытекает ограниченность функции по абсолютной величине единицей. НЕПрЕрЫВНОСть ДФ) СЛЕдуЕт ИЗ НЕПрЕрЫВНОСтИ фуНКцИИ Ение и абсолютной сходимости ряда 2;р (Х). 2. В силу определения характеристической функции и свойства 2 математического ожидания (см.
Т.2) уу(Ь) Мену Мои(ах+ь) М(~за х еььь) е™мешьх еььйу (ос) 3. Поскольку Хь и Хз независимые, то независимыми являются также случайные величины е'~х' и е'~хе. Поэтому в соот- 416 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ветствии со свойством 4 математического ожидания (см. Т.2) Менк Мей(х1+~з) М(еах1еахь) МепхъМеах1 4.
Формальное й-кратное (к < н) дифференцирование характеристической функции дает ~(ь)(4);ь хьеиир(х),~х Законность дифференцирования определяется тем фактом, что '"е1 р(х)ах < ~х ~р(х)дх, гаь =1 ~у(~)(0). Заметим, что свойство 3 является основным свойством, бла годаря которому характеристические функции нашли широкое применение в теории вероятностей. При суммировании независимых случайных величин их плотности распределения про. образуются по формуле свертки. Но формула свертки весьма неудобна для исследования, гораздо проще заменить ее простым перемножением характеристических функций. Пример 9.12. Как мы знаем, если случайная величина Х распределена по стиандаршному нормальному закону, то случайная величина У = оХ+п1 и существованием момента и-го порядка.
Заметим, что при четном н справедливо и обратное: если характеристическая функция имеет производную ~~"~(0), то существуют моменты лц, всех порядков к до и-го включительно, и 417 9.3. Характеристическая фулкцил распределена по нормальному закону с параметрами ~ть и о. Согласно свойству 2 характеристические функции ~,щ,($) и у ($) случайных величин У и Х связаны соотношением у,-(с)=" 'у( ), или, с учетом результата примера 9.11, -~— 'Ф' у р) апм — ~— Пример 9.13. Вычислим момент к-го порядка случайной величины Х, распределенной по экскокекккалькому запеку.
Воспользовавшись свойством 4 и результатом примера 9.10, получим ~ (в) ~л-ы~ л + л.' с=о Пример 9.14. Найдем еще раз характеристическую функцию числа успехов Х в и испытаниях по схеме Беркулли, однако, в отличие от примере 9.9, воспользуемся равенством Х вЂ” Х1 + ° ° ° + Хп~ где Х вЂ” число успехов в у-м испытании. Тогда ух,. ($) = депе + ре" ~ = д + реп и в силу свойства 3 ух($) =ух1Р) "ух.($) =(Я+реп)" Ф Важнейшей особенностью характеристической функции У($) является тот факт, что она однозначно определяет функцию распределения Р(х) с помощью формулы обрашекия (Х1]. 418 9. ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Формула обращения. Для любых точек непрерывности х1 и хз функции распределения Р(х) т 1 г е '~'-е 'м' г (хэ) — г'(х1) = — 1ш1 / .
у ($) о1. 2я т-++ ~ й Отметим, что формула обращения справедлива и в точках разрыва г'(х), если предположить, что в этих точках г (х+ О) — г'(х — О) г'(х) = Если характеристическая функция у (1) является абсолютно интегрируемой на ( — оо, +со) [1Х], то существует непрерывнзл плотность распределения р(х), задаваемая выражением р(х) = — е ™у($)о1. 2и / Последнее соотношение называют формулой обращения для плотности распределения случайной величины.
Формула обращения для плотности распределения р(х) хорошо известна нз курса математического анализа как формула обратного преобразования Фурье. Не давая строго математического доказательства, покажем, что по своей сути формула обращения представляет собой разновидность обратного преобразования Фурье. Действительно, формально применяя обратное преобразование Фурье р(х) = — е ' у($)о1 2я / к характеристической функции у($) и вспоминая соотношение между плотностью распределения р(х) н функцией распределе- 419 9.3. Хараатерастячесаае фуааляе ния г'(х), имеем хе ее +оо Г(хз) — Р(х1) = р(х) Ых = — Ых е '~*Д$) й.
х~ -оо Формально проводя еще одну операцию — перестановку инте. грзлов, получаем Р(хз) — Р(х1) = — у($) гМ е и*Ых = 2х,г 1 е «га1 — е нае +оо Д$) гМ. 2х,г Ы Хотя каждая из Формально проведенньпг операций, вообще говора, математически не обоснована (в частности, дискретные случайные величины вообще не имеют плотности распределения), конечный результат верен, если только понимать последний интеграл в том смысле, как написано в формуле обращения (в смысле главного значения) [Х1].
Из определения характеристической функции и формулы об ащения следует существование взаимно однозначного соотр ветствия между плотностью распределения и характеристической функцией, а следовательно, и между функцией распределения и характеристической функцией. П имер 9.15. Пусть Х1 и Хз — независимые случаиные Р величины, распределенные по нормальному закону с параметрами гп1 и ггм газ и сгз соответственно. Рассмотрим случайную величину У = Х1 + Хз. Тогда, как показано в примере 9.12, аост е-е'ее/з г~1 1гпее-аееге/2 420 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ и в соответствии со свойством 3 характеристических функций получаем, что у (1) гбггг+тг)г-~ад+аг)г /2 Но характеристическую функцию 1у(1) имеет случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами пгг + гпэ и ЬЯ+ оз.
Следовательно, случайная величина У также распределена нормально (с параметрами гпг + пгз и Л+аз). Таким образом, с помощью характеристических функций получили хорошо известный нам результат (см. пример 6.11): сумма независимых случайных величин, имеющих норма.аьное распределение, также является распределенной по нормальному закону — и вычислили параметры этого распределения. Заметим, что использование многомерных характеристических функций позволяет весьма просто установить аналогичнын результат для суммы любого конечного числа случайных величин, распределенных по нормальному закону (ср. с результатами 6.6). Пример 9.16. Рассмотрим независимые случайные величины Хг и Хз, распределенные по закону Пуассона с параметрами Лг и Лз. Их характеристические функции задаются формулами В +ОО Лгг гьгЛг -лг -лг% ' (Лге ) лг(гн-1) а=О в=О Ух (1) =е"*'*' ') Пусть 1'=Х +Х .
Тогда ~ (г) (Лг+лгНга-г) и в силу взаимно однозначного соответствия между функцией распределения и характеристической функцией случайная 421 9.3. Характеристические фуииииа величина х" распределена по закону Пуассона с параметром А1+ Лэ. ф Основную роль при доказательстве ценшрааьвоб предельной теоремы играет теорема о связи слабой сходимости последовательности функций распределения со сходимостью последовательности соответствующих характеристических функций, или теорема непрерывности. Приведем без доказательства формулировку этой теоремы.
Теорема 9.6 (паеоремв кепрерывкоспаи). Для того чтобы последовательность Р1(х), Рэ(х), ..., га(х), ... функций распределения слабо сходилась к функции распределения Р(х), необходимо и достаточно, чтобы последовательность у1($), Я3), ..., уа(Ф), ... характеристических функций сходилась к характеристической функции у($) в любой точке Ф. Теорема непрерывности позволяет свести задачу изучения предельного поведения распределений сумм независимых случайных величин к задаче изучения предельного поведения характеристических функций этих сумм. В разньп~ учебниках приведены различные формулировки теоремы непрерывности; данная здесь формулировка наиболее естественна для наших дальнейших рассуждений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
