XVI Теория вероятностей (1081428), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В заключение отметим, что наряду с характеристической функцией в теории вероятностей используют также: — для неотрицательной случайной величины Х преобразоввкке Лапласа — Спаилпаьеса Да) = Ме 'х, Кеа ) 0; — для неотрицательной целочисленной случайной величины Х производящую функцию ~'(л) = Мах> ф (1. Ясно, что преобразование Лапласа — Стилтьеса Да) и провзводящэя функция у*(л) связаны с характеристической 422 О.
ПРЕДЕЛЪНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ функцией той же самой случайной величины соотношениями Преобразование Лапласа — Стилтьеса и производящая функция, по сути дела, имеют те же самые свойства, что и характеристическая функция, но их существенно проще использовать уже хотя бы потому, что они являются действительными функциями.
9.4. Центральная нредельнан теорема Рассмотрим последовательность Хь Хэ, ..., Х„, ... кеэависи.кых одинаково распределенных случабкых величии, имеющих .иатиекашическое охсидакие МХ„= гк. Предположим также, что существует дисперсия Х)Х„ = оэ. Закок больших чисел (слабый) для этой последовательности можно представить в следующей форме: — ,') (Х; — МХ;) = — (߄— кт) — + О, 1 1 к и в-+во к~1 где в Е„=) Х; суммарное значение первых к случайных величин последовательности, а сходимость можно понимать как в смысле сходи- мости ко веролшкостии (слабый закон больших чисел), так и в смысле сходимости с вероятностью 1 (усиленный закон больших чисел).
Однако сразу возникает вопрос: поскольку случайные величины Х„имеют не только математическое ожидание, но и дисперсию, то нельзя ли доказать более „тонкую" предельную теорему, позволяющую точнее описать предельное поведение 423 9.4. Цеитрааьиаа иредеаъиае теорема распределений величин ߄— птпу Такал теорема существует, ее называют центральной предельной теоремой. Теорема 9.7 (центпральнал предельном тпеорема).
Пусть Х1, Хз, ..., Х„, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, МХ„= тп, алХ„= оз. Тогда Р " <х — + Ф(х), где Ф(х) — функция стпандартпного нормального распределения. ~ Прежде всего заметим, что поскольку функция стандартного нормального распределения Ф(х) является непрерывной функцией, то сходимость к ней последовательности функций распределения в каждой точке представляет собой слабую сходимостпь, и, значит, для доказательства центральной предельной теоремы можно воспользоваться тпеоремоб непрермвностпи. Обозначим у1($) харантперистпииесную функцию случайных величин Х„, а д„(т) — характеристическую функцию случайной величины (Яо — птп)/~/поз.
Воспользовавшись свойствами 2 и 3 характеристических функций> найдем Поскольку ут(т) имеет производные первых двух порядков (свойство 4 характеристических функций), то 1пЯС/~~~ох) можно в любой точке 8 представить первыми тремя слагаемыми формулы Маклорена: 424 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ или, ~(~/~г) / г 2птг (и)' если учесть (см. теорему 9.5), что /1(0) = 1, /т(0) = ттпм /1 (О) = т тпг и тпг = тп = о . Поэтому т Х ~ т'тпг ) 1пд„(т) =п 1п/т( — ) — — ~ (,/~ог! ~/„ог~ 2 и, значит, д„(1) — + е ' /г. и-+оь Для завершения доказательства теоремы остаюсь заметить, — Рг что е т тг — характеристическая функция /(т) стпандартпноео нормальноео распределения (см.
пример 9.11). ~ь Центральная предельная теорема выявляет ту особую роль, которую играет нормальное распределение на практике. Нормальный закон всегда имеет место в тех ситуациях, когда случайная величина порождена большим количеством случайных факторов, действующих независимо друг от друга. Уже само название „нормальный закон" объясняется тем широким распространением, которое он находит в самых различных областях научных исследований. Следствием из центральной предельной теоремы является интегральная теорема Муавра — Лапласа (см.
3.6, интпезральнал формула Муавра — Лапласа). Теорема 9.8 (интпееральнал тпеорема Муавра — Латьласа). Обозначим Б„суммарное число успехов в и испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и вероятностью неудачи д = 1 — р. Тогда с ростом и последовательность функций распределения случайных величин (Б„— пр)/ /Юру сходится к функции стандартного нормального распределения, т.е. Р " (х + Ф(х). 425 9.4. Центральнан предельное теорема < Пусть Х; — число успехов в 4-м испытании. Тогда МХ; = Р, ВХ1 = Р~. Представляя Я„в виде оа — Х1 + ° ° + Ха и используя центральную предельную теорему, приходим к утверждению теоремы. ° Пример 9.17, Для определения скорости о движения объекта делают п измерений и1, ..., е„, причем ьье измерение проводят с погрешностью Х; (т.е.
гч = о+ Х;), при этом погрешности измерений являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами с математическим ожиданием МХ; = 0 (отсутствуют систематические погрешности наблюдений) и дисперсии РХ; = оэ. Оценим вероятность того, что средняя наблюденная скорость 91 +... + Фа оср— и будет отличатьсл от истинной скорости и не более чем на с. Имеем РЦ.„о~ <.) Р~ с« .) Считая теперь, что число и измерений велико, воспользуемся центральной предельной теоремой, согласно которой случайная величина о1+ ° ° + оо / г 426 9.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ приближенно распределена по стандартному нормальному за- кону. Значит, Р«) — )< ) Ф( )/ — ) — Ф(- )) — )=2Ф ( ))' — ). Значения интпеграла Лапласа Фе(х) приведены в табл. П.З. 9.5. Решение типовых примеров Пример 9.18. По многолетним наблюдениям, средняя скорость ветра в некотором пункте равна 16 км/ч. Оценим с помощью первого неравенстпва Чебышева веролтпностпь того, что в случайный момент времени скорость ветра в этом пункте превысит 80 км/ч. Обозначим через Х скорость ветра при наблюдении в случайный момент времени и, воспользовавшись первым неравенством Чебьппева, получим 16 1 Р(Х >80) < — =-.
80 5 Пример 9.1у. Используя втпорое неравенстпво Чебышева, оценим вероятность того, что глупа«1ная величина отклонится от своего среднего значения тп более чем на З«т, где «т — среднее квадратичное оп«пленение случайной величины Х. В соответствии со вторым неравенством Чебьппева г Р()Х вЂ” тп~ > Зо) < (Зо)г Пример 9.20. Пусть Х), Хг, ..., Х„, ... — последовательность независимых глупа«гных величин, причем случайная величина Х„имеет гал«л«а-распределение с параметрами у„= п и Л„= /й. Покажем, что последовательность Хы Хг, ..., Х„, ...
удовлетворяет закону больших чисел в форме Чебьппева. 427 9.5. Репзеиие типовых примеров Дисперсия случайной величины Х„равна ОХ = — =1. 7о п Поскольку дисперсии ПХо ограничены 1, то к последовательности Х1,Хз,...,Х„,... применим закон больших чисел в форме Чебышева. Пример 9.21. Пусть Х»,Хз,...,Х„,... — последовательность случайных величин, удовлетворяющих условиям ОХ„< С и 11ш соп(Х;,Ху) = О. (з-11-+со Докажем, что к этой последовательности применим закон больших чисел. Согласно второму неравенству Чебьппева, (1" з=1 з=1 =Р( '1-хе м('1.хз) >, < ',о('1 х). 1 з=1 з=1 Поэтому для решения поставленной задачи достаточно пока- зать,что 1:»(- у Х) — + О. зеп Действительно, в соответствии со свойствами дисперсно о(-~х;) = —,в(',» х;) = з=1 звп в = — (~ Х)Х;+ 2 ~ сои(Х;зХ1)).
зьм 1(з(1(о »4' 428 9. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Из условия задачи следует существование для любого е ) 0 такого М, что соч(Х;,Ху) < е при всех 1, у, длл которых 1 — у' )»». Поэтому сумма коеаривций содержит не более пФ слагаемых, больших е. Поскольку всего слагаемых в этой сумме п(п — 1)/2 и в соответствии со свойством 4 ковариации ) (»;,»,)~<~ехо»,<с, получаем О(~> Х;) ~ (Сп+ 2СпФ+ еп(п — 1). «=1 Значит, (1 ~ ~ Сп+ 2СпЖ+ еп(п — 1) С(1+ 2Ф) в -~х) < г +е в=1 что в силу произвольности е доказывает утверждение. Пример 9.22. Найдем харакпьеристическую функцию случайной величины Х, рлд распределенил которой представлен в табл.
9.2. В соответствии с определени- ем характеристической функции Я) = ~ем»гр =0 2(е гп+егп)+ +0 Це "+е")+О 4ее'" = 014сов(21)+О 2совй+О 4 = = 08 сов'1+ 02совс = 02 соей(4совй+ 1). Пример 9.23. Найдем характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей геометприческое распределение с параметром р. 429 9.5. Ретевие типоыев примеров Используя ряд распределения случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром р, получаем у(Ф) = Яе'~~р(1 — р)1 =р~) (еа(1-р))о = У=О Пример 9.24. Найдем характеристическую функцию случайной величины Х, имеющей равномерное на интервале (а, Ь) распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
