XVI Теория вероятностей (1081428), страница 28
Текст из файла (страница 28)
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 5.17. Как проверить независимость двух непрерывных случайных величин? 5.18. Запишите выражение совместной плотности распределения для двух нормально распределенных независимых случайных величин. 5.19. Запишите выражение совместной плотности распределения двумерного нормального закона (в общем случае).
5.20. Что называют вектором средних и матрицей ковариаций двумерного случайного вектора, имеющего нормальное распределение? Чему равен коэффициент корреляции координат двумерного случайного вектора, имеющего нормальный закон распределения? 5.21. Запишите выражение плотности п-мерного нормального распределения. 5.22. Что называют вектором средних значений и матрицей ковариаций многомерного нормального распределения? Чему равен коэффициент корреляции координат и-мерного случайного вектора, имеющего многомерное нормальное распределение? 5.23. Какой нормальный закон называют стандартным? 5.24. Что называют эллипсом рассеивания двумерного нормального закона? Как определить угол поворота осей симметрии эллипса рассеивания двумерного закона относительно осей координат? 5.25.
Что называют эллипсоидом рассеивания многомерного нормального закона? Как можно получить и-мерный случайный вектор, распределенный по произвольному нормальному закону, с помощью п-мерного случайного вектора, распределенного по стандартному нормальному закону? 5.26. Какие свойства многомерного нормального распределения Вы знаете? 215 Воиросы и задачи 6.2Т. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения Р(х,у) = — (4агс18хагс18у+ 2з агсвйх+ 2иагсвйу+ к ). 1 2 4з2 5.28. Двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную функцию распределения х < 0 или у < 0; О, вши+ в1оу — вш(и+ у) 0<х<— 2 0<х<— 2 х> — иО 2 х> — ну 2 и 0<у< 2,.
и у>з/2; 2 Ф вши — сова+ 1 2 вшу — сову+ 1 > < у < —. >- 2 Найдите: а) вероятности событий (з/12 < Х < у/4, (я/12 < У < я/4), (Х > я/4, У > я/4) и (Х < я/3, У > я/6); б) частные функции распределения случайных величин Х иУ; в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Вычислите: а) вероятности событий (-1 < Х < 1, 1 < У < ~/3) и (Х >1,У> ~Г31; б) частные функции распределения случайных величин Х иУ; в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Ответ: а) Р( — 1 < Х < 1, 1 < У < ~ГЗ) = 1/24, Р(Х > 1, У > ~ГЗ) = = 1/24; б) Гх(х) = — (2агсМх+ и), Ру(у) = — (2агсФКу+ к); в) да, являются. 216 Б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 0 т в е т: а) Р(х/12 < Х < гг/4, я/12 < У < л/4) = (2~/3 - 3)/4, Р(Х > х/4, У > гг/4) = (~/2 — 1)/2, Р1Х < «/3, У > и/61 = 1/2; 5.29. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Х, У) задано табл. 5.10. Найдите: а) ряды распределения случайных величин Х и У; б) значения совместной функции распределения Р(х,у) случайных величин Х и У в точках (2,5; 25) и (9; 11), а также вероятность события (2 » (Х < 9, 10 < У < 30); в) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Тайища $.10 Ответ: а) ряды распределения случайных величин Х и У приведены в табл. 5.11 и 5.12; б) Р(2,5, 25) = 0,17, Р(9, 11) = 0,14, Р(2 < Х < 9, 10 < У < 301 = 0,50; в) нет, не являются. О, ( ) иве — сезя+1 2 11 О, вв Гà — сов Н+ 1 2 1, в) нет, не являются. х< 0; 0 < х < х/2; х > х/2; 9<0; О < у < х/2; р > х/2; 217 Вопросы и задачи Таб ища 5.11 Таблица 5.13 5.30.
Найдите совместную плотность распределения для непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) из задачи 5.28. Ответ: О, хф(О,Д илирф(0,-]; х Е (О, -] и 1( Е (О, -] . 5.31. Совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) имеет вид О, (х-3) +(р-2) >4; р(х,Я= С(3-Д(,-3) 4(3-3) ), ( -3)'4(3-3)~44. хФ[1,5); О, — (3~/4-( -3)3— 3 ~ 8~г ~ -( -3)'1 '+"' ' " ), 4(1,3); б) рх(х) = Найдите: а) постоянную С; 6) частные плотности распределения случайных величин Х иУ; в) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в круг (х-3)2+ Ь-2)2 (1; г) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Ответ: а) С = 3/(8я); 218 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ о, у к [0,4]; — ~2~/4 — (у — 2) 8к ~ -(у — 2~~1 ~ ), рб $0,4Я; Ь-г! руЫ = в) Р = 1/2; г) нет, не являются. О, х<Оили у<0; Р((~ Я) с -4х-гя Найдите: а) постоянную С; б) совместную функцию распределения; в) частные плотности распределения случайных величин Х иУ; г) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в область, ограниченную прямыми у = х, х + у = 2 и х = 0; д) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. Ответ: а) С=8; О, х(~0 или р((0; б) г(х,р) = ~(1-е ~)(1-е г"), х)Оку)0; ) Рх(х) = 4 -4* О.
РУЫ = 2 -гУ ~4е *, х)0; ~ 2е ", у)0; г) Р = 2(1 — Зе 4+2е е)/3; д) да, являются. б.33. Непрерывная двумерная случайная величина (Х,У) распределена равномерно в квадрате с вершинами (О, 0), (О, 1), (1, 0) и (1, 1). Найдите: а) совместную плотность распределения; 3.32. Совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) имеет вид Вопросы и эаяачп 219 б) совместную функцию распределения; в) частные плотности распределения случайных величин Х иУ; г) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в круг (х — 1)2+(у-1)2 <1/2; д) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Ответ: ) О, хф[0,1]илиуф[0,1]; 1 1, хЕ[0,1]куб[0,1]; О, х<Оилиу<0; ху, 0<х<1иО<у<1; б) Р(х,у)= х, 0<х<1иу>1; у, х>1иО<у<1; 1, х>1иу>1; ) О, х к [О, 1]; 1 О, у ф [О, 1]; 1, х Е [О, 1]; ][ 1, у б [О, 1]; г) Р = я/8; д) да, являются. 5.34. Непрерывная двумерная случайная величина (Х, У) имеет совместную плотность распределения С 1+х2+у2+х2у2 Найдите: а) постоянную С; б) совместную функцию распределения; в) частные плотности распределения случайных величин Х иУ; г) вероятность попадания случайного вектора (Х, У) в треугольник с вершинами в точках (-1; 1), (1; 1) и (О; 0); д) проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми. 220 б.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Ответ: а) С=1/я; б) Р(х,у) = ~-агсф3х+-)~ — агс13у+-~; 71 1ъ 1 1 в) Рх(х) = 1 РУ(9) = г) Р = —; д) да, явапотся. 1 5.35. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Х, У) задано в табл. 5.13. Проверьте, являются ли случайные величины Х и У независимыми.
Таблипа 5.13 Ответ: да, являются. 5.36. Двумерная случайная величина (Х1, Хз) распределена по нормальному закону с вектором средних т71 = (2, О) и матри- 1 /25 71 цей ковариаций Е = — ~ (. Найдите: 576 1 7 25( а) оси рассеивания двумерной случайной величины (Х1, Хз); б) вероятности события (Х1 ) 2,28) и (-0,2 < Хз < 0,2); в) вероятность попадания двумерной случайной величины (Х1, Хз) внутрь эллипса 25х~1 — 14х1хз + 25хз ~— 100х1+ 28хз+ +98 =0. Ответ: а) х1 — хз = 2 и х1+ хз = 2; б) Р(Х1 ) 2,28) ж 0,159, Р(-0,2 < Хз < 0,2) - 0,711; в) Р =1 — е 1-0,63.
5.37. '11зехмерный случайный вектор Х = (Х1, Хз, Хз) распределен по нормальному закону с вектором средних значений 221 Вохросы х заяочх гй = (-2, О, 1) и матрицей ковариаций 13 5 2 Е= — 5 35/2 7 81 2 7 19 Найдите: а) плотность распределения случайного вектора Х; б) одномерные плотности распределения случайных величин Х1, Хз и Хз. Ответ: а) рХ(У) = ехр~ — — ~7(х1+ 2) (1/2~г)з91/2 324 -4(х1+2)хз+бхз-4хз(хз — 1)+5(хз — 1) ]~. 9 81(х+2) 9 Д 81х б) рх,(х) = е 28 , рх,(х) = е зз , 1/2гг1/13 ' 1/2~г1/35 9 81(х — 1) рх(х)= е 88 5.38. Независимые случайные величины Хд и Хз имеют нормальное распределение с математическими ожиданиями гпх, = 3 и гпх, = 2 и средними квадратичными отклонениями ггх, = ох = 0,5.
Найдите радиус В круга с центром в точке (3; 2), вероятность попадания в который равна 0,997. Ответ: В 0,45. 6. <РУ'НКЦИИ ОТ СЛУ СВАЙНЫХ ВЕЛИЧИН На практике очень часто встречается случай, когда рассматриваемая числовая величина У является функцией от одной Х или нескольких Хь ..., Х„числовых величин, т.е., как говорят, связана с этой или этими величинами функциональной зависимостью У = У(Х) или У = У(Хы...,Х„). Очевидно, что если величина Х или величины Хы ..., Х„, через которые выражается У, являются случайными, то и У также будет случайной величиной. Таким образом, мы приходим к понятию функции оти случайной величины Х или ощ случайного вектора (Хы ..., Х„), которое будет рассмотрено в настоящей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
