XVI Теория вероятностей (1081428), страница 14
Текст из файла (страница 14)
СХЕМА БЕРНУЛЛИ Приведем примеры реальных испытаний, которые в той или иной степени „вписываются" в рамки сформулированной модели испытаний по схеме Бернулли. 1. Последовательное подбрасывание н раз симметричной монеты (здесь успехом является появление „герба" с вероятностью р = 1/2) или последовательное бросание и раэ игральной кости (здесь успехом можно считать, например, появление шестерки с вероятностью р = 1/6).
Эти две реальные схемы испытаний являются примером идеального соответствия схеме испытаний Бернулли. 2. Последовательность н выстрелов стрелкй по мишени можно лишь приближенно рассматривать как схему испытаний Бернулли, так как независимость результатов стрельбы может нарушаться либо иэ-эа „пристрелки" спортсмена, либо вследствии его утомляемости.
3. Испытания н иэделий в течение заданного срока при контроле уровня их надежности, как правило, хорошо согласуются с моделью испытаний по схеме Бернулли, если на испытания поставлены идентичные образцы. При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей является нахождение вероятности события Аю состоящего в том, что в н испытаниях успех наступит ровно й раэ, й = О, н. Для решения этой задачи используют следующую теорему, обозначая вероятность Р(Аь) через Р„(й).
Теорема 3.8. Вероятность Р„(й) того, что в и испытаниях по схеме Бернулли произойдет ровно й успехов, определяется формулой Бернулли Р(й) Срд й бн. (3.7) ~ Результат каждого опыта можно записать в виде последовательности УНН...У, состоящей иэ н букв „У" и „Н", причем буква „У" на ~-м месте означает, что в 1-м испытании произошел успех, а „Н" — неудача.
Пространство элементарных исходов й состоит из 2" исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. З.б. Схема Беряуххя Каждому элементарному исходу ы =УНН...У можно поставить в соответствие вероятность Р(ат) = Р(УНН...У) В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,У являются независимыми в совокупности, и потому по теореме умножения вероятностей имеем Р( )=р'д" ', т'=б,п, Формрлу (3.7) называют также биномиальноб, так как ее правая часть представляет собой (Й+ 1)-й член формулы бинома Ньютона 11]. 1 = (р+ д)" = С„д" + С~р д" ~ +...
+ Сйр "д™ +... + Сир". Набор вероятностей Р„(Й), Й = 6, п, называют биномиальным распределением ееролтпностпеб. Из формулы Бернулли вытекают два следствия. 1. Вероятность появления успеха (события А) в и испытаниях не более Й1 раз и не менее Йз рзз равна: йт Р(Й,<Й<Й,~= ~С»р'д™. й=йт (3.8) если в и испытаниях успех „У" имел место т раз, а неуспех „Н", следовательно, п — т раз. Событие А» происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход ат, в котором т' = Й. Вероятность любого такого элементарного исхода равна р"д" ". Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить Й букв „У" на и местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют.
Число таких способов равно Сй. Так как Ай есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности Р(А») = Р„(Й) формулу (3.7). ~ 102 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Это следует из того, что событвл Аь при разных й явллютсл несовместными. 2. В частном случае при й1 = 1 и Йэ = п из (3.8) получаем формулу для вычисления вероятности хотя бы одного успеха в и испытаниях: Р(й>Ц 1 а (3.9) Пример 3.11.
Монету (симметричную) подбрасывают п = = 10 раз. Определим вероятность выпадения „герба": а) ровно пять раэ; б) не более пяти рэз; в) хотя бы один раз. В соответствии с формулой (ЗЛ) Бернулли имеем: /1~ 1о 262 а) Р1о(5) = С1о ~-) = — =0,246; ~2) 1024 ) ( ) с1о+ с1о+ с1о+ с|о+ с1о+ с1о 1024 — 0,623; 638 1024 ~ ~1о в) Р(й > Ц = 1 — ~ — ~ 0,999. 1,2~ Пример 3.12. Вероятность выигрьппа на один лотерейный билет равна 0,01. Определим, сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность хотя бы одного выигрьппа в лотерее была не менее заданного значения Р, = 0,9. Пусть куплено и билетов.
Предположим, что общее число билетов, разыгрывающихся в лотерее велико (во много раз больше купленных билетов). При этом можно считать, что каждый билет выигрывает независимо от остальных с вероятностью р = 0,01. Тогда вероятность получить й выигрьппных билетов можно определить, используя формулу Бернулли. В частности, согласно (3.9), имеем при д = 1-р: РР>Ц 1 в 1 (1 )э>Р 103 З.б. Схема Беряулля откуда получаем 1п(1 — Р,) 1п0,1 1п(1-р) 1п0,99 Таким образом, нужно купить не менее 230 лотерейных биле- тов. При больших значениях числа испытаний и использование формулы Бернулли затруднительно в вычислительном плане. Здесь существенную помощь могут оказать приближенные формулы. Пусть число испытаний п по схеме Бернулли „велико", а вероятность успеха р в одном испытании „мала", причем „малб" также произведение Л = пр.
Тогда Р„(й) определяют по приближенной формуле Р„(й) — —,е Л" й! Й=О,п, Замечание 3.5. Слова „малб" и „велико" здесь и далее носят относительный характер. Рекомендации по выбору численных значений соответствующих величин будут приведены ниже. Пример 3.13. Вероятность выпуска бракованного сверла равна 0,015. Сверла укладывают в коробки по 100 штук. Найдем вероятность того, что в коробке, выбранной наудачу, не окажется ни одного бракованного сверла.
называемой формулой Пуассона. Совокупность вероятностей Р(*я; Л) = Л"е "/й!, й = О, 1, ..., называют распределением Пуассона. Значения функции Р(й; Л) для некоторых Л приведены в табл. П.1. Формула Пуассона справедлива также для числа неудач, но только в том случае, когда „малб" Л' = пд. 104 3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Очевидно, что мы имеем дело со схемой Бернулли, причем и = 100, р = 0,015 и й = О. Поскольку число и испытаний „велико", а вероятность успеха р в каждом испытании „мала", воспользуемся приближенной формулой Пуассона, в которой Л =пр= 100 0,015 =1,5.
Тогда искомая вероятность е-ц51 50 Р - , ' = Р(0; 1,5). По табл. П.1 находим Р(0; 1,5) = 0,22313. Локальная формула Муавра — Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний и „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и у неудачи, то для всех Й справедлива приближенная формула ъ/ййр (л) ~ Ч3(х), называемая лональной формулой Муавра — Лапласа, где Й вЂ” пр /йЯ ' -е~/2 у(х)= — е *~. ~2х Функцию у называют плопзностпью спзандарпьного нормального (или гауссоеа) распределения. Значения функции ~р для некоторых х приведены в табл. П.2.
Поскольку функция ~р является четной, то при определении ~р для отрицательных х нужно воспользоваться равенством 105 З.б. Схема Бераулаи Пример 3.14. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Определим вероятность того, что при 400 выстрелах произойдет ровно 300 попаданий. В данном случае евеликиа и число п = 400 испытаний, и вероятности р = 0,8 успеха и д = 1 — р = 0,2 неудачи в одном испытании, поэтому воспользуемся локальной формулой Муавра — Лапласа при й = 300.
Получим: ~/щщ= ~(40)) 0,8З,2=8, й — пр 300 — 320 х— — 5 — — 2, ~/йЯ 8 у(-2,5) 8 Отсюда, учитывал четность функции у(х), с помощью табл. П.2 окончательно получаем 0>01753 0 0022. 8 Интегральная формула Муавра — Лапласа. Если число и испытаний по схеме Бернулли „велико", причем „велики" также вероятности р успеха и д неудачи, то для вероятности Р(й1 < й < йз) того, что число успехов й заключено в пределах от й1 до йз, справедливо приближенное соотношение Р(й1 <й(йз) Ф(хз)-Ф(х1)) называемое интегральной формулой Муавра — Лапласа, где й1 — пр йз — пр /аЯ ' /йЯ 1 Ф(х) = ~р(у)ду= — / е "~~йу. ~/2~г 106 3.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. СХЕМА БЕРНУЛЛИ Функцию Ф(х) называют фуииииеб спзондортпного нормального (или гоуссоео) распределения, Определение З.Т. Функцию Фо(х) = /р(9) оу = — ~ е " / ср ~/2я,/ о о называют инпиегралом Лапласа. В табл. Н.З приведены значения Фе(х) для положительных х. В силу четности /Р(х) интеграл Лапласа Фе(х) являетсл нечетной функцией, т.е. Фе(-х) = Фо(х) и, кроме того, 1 ф(х) =фо(х)+-. 2 Используя интеграл Лапласа, интегральную формулу Муавра — Лапласа можно записать в виде Р(Й1 ( й ( йд ~ Фо(хз) - Фо(х1) Пример 3.1б.
Найдем вероятность того, что при 600 бросаниях игральной кости выпадет от 90 до 120 „шестерок". Воспользуемся интегральной формулой Муавра — Лапласа, в которой нужно положить 90-600.1/6 1/600 1/6 ° 6/6 120-600 1/6 0/600 1/6 6/6 Тогда искомая вероятность приближенно равна: Р Фо(2,19) — Фо(-1,10) 107 З.б. Схема Бернулли В соответствии с табл. П.З имеем Р 0,48574+ 0,36433 = 0,85007.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
