XVI Теория вероятностей (1081428), страница 9
Текст из файла (страница 9)
справедливо равенство Р(А1 +... + А„+...) = Р(А1) +... + Р(А„) +... Значение Р(А) называлот веролтпностпью событпил А. 61 2.5. Акскоматкческое окредеаекке аереаткостк Замечание 2.6. Если пространство элементарных исходов Й является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу ьл Е Й, 1 = 1,2,..., можно поставить в соответствие число Р(ы;) = р; > О так, что Р(и;) =~~~' р; =1. ма ей а=1 Тогда для любого события А С Й в силу аксиомы 3 вероятность Р(А) равна сумме вероятностей Р(ел) всех тех элементарных исходов, которые входят в событие А, т.е.
Р(А) = у Р(ы;). и;еА Таким образом, мы определили вероятность любого события, используя вероятности элементарных исходов. Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать совершенно произвольно, лишь бы они были неотрицательными и в сумме составляли единицу. Именно в этом и состоит идея аксиоматического определения вероятности.
ф В следующей теореме докажем утверждения, описывающие ряд полезных свойств вероятности. Теорема 2.8. Вероятность удовлетворяет следующим свойствам. 1. Вероятность противоположного события Р(А) = 1 — Р(А). 2. Вероятность иевозлсожиого событпил Р(И) = О. 3. Если А С В, то Р(А) < Р(В) („большему" события соответствует ббльшая вероятность). 62 2. ВНРОА'гнОсть 4. Вероятность заключена между О и 1: О < Р(А) < 1. 5.
Вероятность объединения двух событий Р(АОВ) = Р(А)+Р(В) — Р(АВ). 6. Вероятность объединения любого конечного числа событий Р(аз 0... 0 А„) = Р(Аз) +... + Р(А„)— — Р(АзАг)-Р(АзАз) — "-Р(А -зА )+ +Р(АзАзАз)+" +(-1)"~~Р(А~Аз".А~) м Поскольку 0=А+А, то, согласно расширенной аксиоме сложения, Р(й) = Р(А) + Р(А), откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утверждение 1. Утверждение 2 вытекает из равенства А=А+и и расширенной аксиомы сложения.
Пусть А с В. Тогда В = А+ (В 1 А). В соответствии с расширенной аксиомой сложения Р(В) = Р(А) +Р(В 1А). 2.о. Аиеиометичееиое опредеееиие ееролтиоети 63 Отсюда и из аксиомы неотрицательности приходим к утверждению 3. В частности, так как всегда А С й, то с учетом аксиомы неотрицательности получаем утверждение 4. Поскольку А 0 В = А+ (В ~ А), В = (В ~ А) + АВ, то, используя расширенную аксиому сложения, находим Р(А и В) = Р(А) + Р(В ~ А) Р(В) =Р(В~А)+Р(АВ).
Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность Р(В ~ А), выраженную из второго равенства, приходим к утверждению 5. Утверждение 6 можно доказать с помощью метода матема тической индукции по п. Так, для трех событий А, В и С Р(АОВОС) =Р(А)+Р(ВОС)-Р(А(ВОС)) = = Р(А)+Р(В)+Р(С) — Р(ВС) — Р(АВ 0АС) = = Р(А) + Р(В) + Р(С) — Р(ВС) — Р(АВ) — Р(АС) + Р(АВС). Для четырех и более событий это утверждение проверьте самостоятельно. в Замечание 2.7. Утверждения 5 и 6 называют теоремами сложения веролепееосепей для двух и для и событий соответственно. Приведем пример, показывающий, что без учета того, что собышил сов.иестиые, можно прийти к неправильному результату. 64 2.
ВЕРОЯТНОСТЬ Пример 2.10. Опыт состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. Найдем вероятность события А, означающего появление „герба" хотя бы один раз. Обозначим А; появление „герба" при 1-м подбрасывании, 1 = 1, 2. Ясно, что А =А1 ОАг, и в соответствии с классической схемой вероятности Р(А1) = Р(Аз) = —. 1 2 Если не учитывать, что А1 и Аз — совместные события, то можно получить „результат" Р(А) = Р(А1) + Р(Аг) = — + — = 1, 1 1 2 2 противоречащий здравому смыслу, поскольку ясно, что собы1пие А не является достоверным. Применяя теорему сложения для двух совместных событий и учитывая равенство Р(А1А2) = —, 1 4' находим 1 1 1 3 Р(А) = Р(А1)+Р(А2) -Р(А1Аз) = — + — — — = —.
Ф 2 2 4 4 Иногда вместо аксиомы 3 удобно использовать две другие аксиомы. Аксиома 3' (аксиома с,аожени.в): для любых попарно непересекающиеся собмп1нб А1, ..., А справедливо равенство Р(А1 +... + Ап) ж 1'(А1) +" + Р(А~). Аксиома 4 (аксиома непрерывности): если последовательность событий А1, ..., А„, ... такова, что А„С А„+1, п ЕМ, и А10...0А„0... =А, 65 2.0. Аксиоматическое опреденение неронтности то 1пп Р(А„) = Р(А). Можно доказать, что аксиомы 3' и 4 в совокупности равносильны аксиоме 3. Покажем, как конструктивно можно задать вероятность для некоторых наиболее часто встречающихся на практике пространств элементарных исходов, содержащих бесконечное число элементарных исходов.
Пусть й содержит счетное множество элементарных исходов 011, ..., м„, ... В этом случае любую вероятностную меру Р можно получить, задав вероятности р1 =Р( Л1), ..., р„=Р(01 ), элементарных исходов, где последовательность р1, ..., р„, должна удовлетворять только условиям неотрицательности р;~)0, 1ЕЯ, и нормированности р1 + " + рп + " ° = 1~ т.е. ~ р; является энакоположительным числовым рядом, сум1=1 ма которого равна единице.
Вероятность любого события А равна сумме ~ р; вероятностей всех входящих в А элементар- НЫХ ИСХОДОВ 01;. Предположим теперь, что пространство элементарных исходов Й представляет собой числовую прямую (-оо, +со) с борелевскоб и-алгеброб на ней. Для задания вероятностной меры на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого х Е К непрерывную слева функцию Р(х), удовлетворяющую условиям Р(-оо) = 1пп Р(х) =О, Р(+ос) = 11ш Г(х) =1, к-+-00 е-++со 3 — 10047 66 г.
ви оятность и каждому собьггию Ае = ( — оо, х) поставить в соответствие вероятность Р(А ) =г(х), а событию А = [х1, хг) — вероятность Р(А) = Р(хг) — Р(х1). Найденная таким образом для всех событий А = [х1,хг) числовая функция Р(А) будет удовлетворять аксиомам в определении 2.7. Для других событий из борелевской о-алгебры на числовой прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры, формулировку и доказательство которой можно найти в специальной литературе'. Определение 2.8. Тройку (О,З, Р), состоящую кз пространства элементарных исходов Й, с о-алгеброй событий З и определенной на З вероятности Р, называют веролтпностпным простпранстпвом.
Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет хорошо известные физические понятия: исход опыта, событие, вероятность события. 2.6. Решение типовых примеров Пример 2.11. Куб с окрашенными гранями распилен на 27 одинаковых кубиков. Найдем веролшностпь того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена одна грань (две грани, три грани). Общее число элсментпарнмт осводов в данном опыте И = = 27. Обозначим: А — событие, эаюпочающееся в том, что у выбранного кубика окрашена одна грань;  — две грани и С— 'См., например, Лове М. Теории вероятностей. Мс Иад-во иностр.
авт., 1962. 2.6. Решеиие шшовых примеров три грани. Событию А благоприятствует Фл = 6 элементарных исходов (число граней у исходного куба), событию  — Ин = 12 исходов (число ребер у исходного куба), а событию С вЂ” 8 исходов (число вершин у исходного куба). Поэтому 6 12 8 Р(А) = —, Р(В) = —, Р(С) = —. 27' 27' 27 Пример 2.12. Из 33 карточек с написанными на них различными буквами русского алфавита наугад извлекаются пять карточек и располагаются слева направо в порядке извлечения.
Найдем вероятность появления слова „РАДИО" (событие А). Поскольку карточки обратно не возвращаются и порядок выбора существен, то общее число элементарных исходов равно числу раэнетцениб без ноеизорениб из 33 элементов по пять элементов: Ж = Аззз = 28480320 Событию А благоприятствует только один элементарный исход (Ил = 1).
Значит, Р(А) = =~3,5 10 з. 1 28480320 Пример 2.13. Из колоды в 52 игральные карты выбирают наудачу три карты. Найдем вероятность того, что среди этих карт будут тройка „пик", семерка „пик", туз „пик". Поскольку порядок выбора в данном случае не существен н карты обратно в колоду не возвращаются, то число элементарных исходов равно числу сочеиьаниб без повторений иэ 52 элементов по три элемента, т.е. Ф = Сзз — — 22100. Рассматриваемому событию А благоприятствует единствен- нын исход (Фл = 1).
Поэтому Р(А) = — - 0,000045. 1 22100 68 2.ВЕРОЯТНОСТЬ Пример 2.14. Группа, состоящая из восьми человек, занимает место за круглым столом. Найдем вероятность того, что два определенных человека окажутся сидящими рядом. Так как упорядочивается все множество из восьми элементов, то мы имеем дело с пересшановкоб из восьми элементов. Поэтому ~7=Рз =8! Рассматриваемому событию А благоприятствуют такие перестановки, когда два отмеченных лица садятся рядом: всего восемь различных пар мест за столом и за каждую пару мест данные лица могут сесть двумя способами.
При этом остальные шесть человек могут разместиться на оставшихся местах произвольно. Значит, ФА=2 8 Ре=2 8 61 и Р(А) = — - 0,29. 2 7 Для сравнения приведем еще одно решение поставленной задачи. Заметим, что поскольку нас интересуют только два определенных лица, то порядок размещения остальных не играет роли. В свою очередь, если первый человек сел на определенное место, то второй может сесть на оставшиеся семь мест. При этом в двух случаях оба лица окажутся рядом и Р(А) = —.
2 7 Пример 2.15. Из десяти первых букв русского алфавита составлены всевозможные трехбуквенные „слова". Найдем вероятность того, что случайно выбранное „слово" окажется „словом" „ИИИ". 2.б. Решевие типовых примеров Число различных „слов" равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по три элемента, т.е. Поскольку благоприятствующий исход только один, то Р(А) = 0,001. Пример 2.16. Опыт состоит в четырехкратном случайном выборе с возвращением одной буквы из букв алфавита „А", „Б", „К", „Ое и еМ" и записывании РезУльтата выбоРа слева направо в порядке поступления букв. Найдем вероятность того, что в результате будет записано слово „МАМА". Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями иэ пяти элементов по четыре элемента, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
