XVI Теория вероятностей (1081428), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Замечание 2.4. Число С(тм...,т„) называют также полиномиальным (мультиномиа ььньем) козЯЯициентом, поскольку оно появляется как коэффициент при х~1' ...х„" в разложении функции (х|+... + х„)'" по степеням хм ..., х„. Пример 2.'Г. Из цифр 1, 2 и 3 случайным образом составляют шестизначное число.
Требуется найти вероятность Р(А) того, что в этом числе цифра 1 будут встречаться один раз, цифра 2 — два раза и цифра 3 — три раза. Элементарными исходами опыта являются всевозможные размещения с повторениями из трех элементов по шесть элементов, т.е. Д! = Ав = 3в = 72е 2. ВЕРОЯТНОСТЬ Число исходов, благоприятствующих данному событию, равно Ил =С(1,2,3) =60. Поэтому Р(А) = — 0,082.;К 60 729 В заключение приведем решение часто встречающейся в приложениях вероятностной задачи, которую формулируют в рамках классической схемы.
Пусть имеется и = п1+... +пь различных элементов, причем из них п1 элементов первого типа, пз — второго типа, ..., пав Й-го типа. Случайным образом из этих элементов выбираются т элементов. Вероятность события А, состоящего в том, что среди выбранных элементов окажется ровно т1 < п1 элементов первого типа, тз < пз второго типа, ..., ть < пь элементов Й-го типа, т1 +... + ттц, = т, обозначают Р(т1,...,ть).
Определение 2.4. Рассмотренный способ выбора элементов называют гипергеометрической схемоб а совокупность вероятностей Р(т1,..., ть) в гипергеометрической схеме при фиксированных и, т, и;, 1 = 1, Й, и различных т;, 1 = 1, Й, т1+... + ть = т, называют гипергеометрическим распределе кием.
Теорема 2.7. Вероятности Р(т1,...,ть) в гипергеометрической схеме определяют по формуле Ст Спр "" и~ Р(тм...,ть) = и ~ Поскольку порядок выбора элементов не существен, то при определении общего числа элементарных исходов и числа благоприятствующих исходов будем пользоваться формулой для числа сочетаний (см. теорему 2.3).
Общее число элементарных исходов есть число сочетаний из и элементов по т, т.е. С„' . Далее т1 элементов первого типа можно выбрать С„"" ,способами, 2.3, Геометрпчеепое опредеееппе вероптпоети пзз элементов второго типа — С™,' способами, ..., тпв элементов й-го типа — С„",'" способами. При этом любой способ выбора элементов определенного типа можно комбинировать с любыми способами выбора элементов остальных типов. Значит, в силу основной формулы комбинаторики (см. теорему 2.1) число благоприятствующих событию А исходов равно С„","С„,'...Спв'. Поэтому С 'Сев' С"" п1 ве ''' вв п1 и что и доказывает теорему. > Пример 2.8.
Иэ колоды в 36 карт наудачу извлекают 10 карт. Найдем вероятность Р(А) того, что среди выбранных карт окажутся четыре карты пиковой масти, три — трефовой, две — бубновой и одна — червовой. Для этого воспользуемся гипергеометрической схемой, вкоторойп= Зб,п1 =пз =пз = 9, пз1 = 4,пзз = Зпаз = 2,пз4 = 1. Следовательно, С4СзСзС1 Р(А) =Р(4,3,2,1) = ' ' ' ' =0,0001. У Во многих случаях вычисление вероятности по схеме классической вероятности удобно проводить с помощью условной вероятности, которую мы введем в следующей главе. 2.3. Геометрическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного мкожесшеа элеиенпьарных исходов й тогда, когда й представляет собой подмножество пространства К (числовой прямой), йз (плоскости), Ж" (и-мерного евклидова пространства).
В пространстве Й в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, т.е. подмножества, которые имеют длину. В пространстве Жз — те подмножества, которые имеют площадь, и т.д. 56 2. ВЕРОЯТНОСТЬ Под мерой р(А) подмножества А будем понимать его длину, площадь или объем (обобщенный объем) в зависимости от того, какому пространству принадлежит Й: в Й, в Йз или в Жз (ж"). Будем также считать, что пространство элементарных исходов Й имеет конечную меру, а вероятность попадания „случайно брошенной" точки в любое подмножество Й пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.
В этом случае говорят, что рассматривается „геометрическал схема" или „точку наудачу бросают в область Й". Определение 2.6. Вероятпностпью события А называют число Р(А), равное отношению меры множества А к мере множества Й: р(А) р(А) = И(Й)' где р(А) — мера множества А. Данное определение вероятности события принято называть геометприческим опредеяением ееро*тпностпи. Заметим, что в литературе вероятность события А, определенную выше, на основе геомегпрической схемы, часто называют геометпрической еероягпносгпью.
Геометрическая вероятность, очевидно, сохраняет отмеченные ранее свойства вероятности Р(А) в условиях классической схемы. Замечание 2.5. Приведенное определение геометрической вероятности с математической точки зрения не является корректным, поскольку в п-мерном пространстве существуют подмножества, не имеющие меры. Поэтому для строгости необходимо в качестве событий А рассматривать только элементы бореясвской о-алгебры В (см. 1.3), что, впрочем, более чем достаточно для практических потребностей.
Пример 2.9. Ромео и Джульетта договорились встретиться в определенном месте между двенадцатью часами и часом З.З. Геометричесиое оиредеееиие еероетиости 57 дня. Необходимо найти вероятность встречи, если приход ка; ждого из них в течение указанного часа происходит наудачу, причем известно, что Ромео ждет Джульетту ровно 20 минут, а Джульетта Ромео — 5 минут.
Для решения задачи воспользуемся геометрической схемой вероятности. Обозначим момент прихода Ромео через х, а Джульетты через р. Тогда любой элементарный исход ы в данной задаче можно ото- У 60 г0 60 х 0 6 ждествить с некоторой точкой (х; у) на плоскости хОу. ВыРис. 2.1 берем за начало отсчета 12 часов, а за единицу измерения 1 минуту и построим на плоскости хОУ пространство элементарных исходов й. Очевидно, что это будет квадрат со стороной 60 (рис. 2.1).
Событие А (Ромео и Джульетта встретятся) произойдет тогда, когда разность у — х не превысит $1 = 20, а разность х — у не превысит $г = 5, т.е. условие встречи определяет систему неравенств < р — х < 20; х — р < 5. Я = 60г (60-11) (60-1г) 2 2 Тогда, согласно определению 2.5, находим Р(А) = — = ' - 0,36. Яп 3600 Область А элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, на рис. 2.1 заштрихована.
Ее площадь Ял равна площади квадрата без двух угловых треугольников, т.е. 58 2. ВЕРОЯТНОСТЬ 2.4. Статистическое определение вероятности В основе статистическою определения вероятности лежит общий принцип, в соответствии с которым методы теории вероятностей применимы только к таким испытаниям, которые могут быть, по крайней мере теоретически, повторены бесконечное число раз, и при этом имеет место свойство успюбчввостпи частиот появления связанных с этими испытаниями событий (см. Введение).
Пусть произведено и повторений опыта, причем в пл из них появилось событие А. Обозначим г,4 = пл(п наблюденную частоту события А. Практика показывает, что в тех экспериментах, для которых применимы методы теории вероятностей, частота события А с увеличением числа опытов и стабилизируется, т.е. стремится к некоторому пределу (допуская некоторую вольность речи). Определение 2.6. Вероятпносгпью собыптя А называют (эмпирический) предел Р(А), к которому стремится частота гл события А при неограниченном увеличении числа и опытов. Данное определение вероятности события принято называть стпотписгпическим опредеяениела еероятп~оспт. Можно показать, что при статистическом определении вероятности события сохраняются свойства вероятности события, справедливые в условиях классической схемы, т.е.
1) Р(А) >0; 2) Р(й) =1; 3) Р(А+ В) = Р(А) + Р(В), если АВ = Э. С практической точки зрения статистическое определение вероятности является наиболее разумным. Однако с позиции теории вероятностей как раздела современной математики недостаток статистического определения очевиден: нельзя провести бесконечное число повторений опыта, а при конечном числе в.б.
Авсвометвческое овреяелевве вереетвоств 59 повторений наблюденная частота, естественно, будет разной при различном числе повторений. Заметим,что связь между классическим и статистическим определениями была выявлена еще в период становления теории вероятностей как теории азартных игр. Было установлено, что при корректном использовании классического определения вероятность событий практически совпадает с их частотами при большом числе повторений эксперимента. И хотя игроков интересовала частота определенных событий, решение задач, полученное на основе классического определения вероятности, их вполне устраивало. Иными словами, даже игроки азартных игр знали о совпадении статистического определения с другими (классическим и его обобщением— геометрическим).
Собственно говоря, задача определения связи вероятности с частотой не потеряла актуальности и в наши дни, когда в теории вероятностей повсеместно используется аксиоматическое определение вероятностей Колмогорова (см. 2.5). Это привело к появлению и широкому внедрению в практику обширного раздела теории вероятностей — математической статистики. 2.5. Аксиоматическое определение вероятности Для того чтобы понять смысл аксиоматпического определения вероятпносттти, рассмотрим классическую схему.
В этом случае вероятность любого элелтентпарного исхода ьт;, т = 1, М, Р(атт) = 1/Ж. Всроятпностпь любого событпия А при этом равна Р(А) = = МА/И, где ФА — число исходов, благоприятпстпвуютцих собышию А. Вероятность Р(А) можно записать также в следующем виде Р(А) = ~~» Р(ю;), ьвЕА 60 2.ВЕРОЯТНОСТЬ где суммирование ведется по всем значениям индекса т', при которых элементарные исходы и; образуют событие А. Однако задать вероятность события по такому принципу уже в случае геометрической схемы нельзя, так как при этом вероятность любого элементарного события равна нулю. Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных исходов й, не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятностей событий, которые имеют место для всех предыдущих определений (классического, геометпрического, ставтаисшического).
Напомним, что этими свойствами являются следующие: 1) Р(А) >0; 2) Р(й) =1; 3) Р(А1+ ... + А,„) = Р(А1) + ... + Р(А ), если события Аы ..., А попарно несовместпны. Именно эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3 постулируется для суммы счетного множества попарно несовместных событий. Определение 2.7. Пусть каждому событию А (т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов й, принадлежащему о-алгебре х1) поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р (заданную на о-алгебре хт) называют веролтпностпъю (иливеролтпностпнот1 мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам: Аксиома 1 (аксиома неотприиатпельностпи): Р(А) > 0; Аксиома 2 (аксиома нормированностпи): Р(й) = 1; Аксиома 3 (расширенном аксиома сложения): для любых попарно несовместных событий Аы ..., А„, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
