Лекции 4 по Мат.Физ. (1076073)
Текст из файла
Лекция 41.9 Основные сведения из теории цилиндрических функций.Полученное в предыдущей лекции фундаментальное решение уравнения Гельмгольцаi H (1) (k~ R) (функция Грина в свободном пространстве) на плоскости R2 является частным04случаем цилиндрических функций, возникающих как зависящие от радиальной координатычастные решения этого уравнения в полярных координатах, при построении этих решенийметодом разделения переменных. Действительно, выписав это уравнение~21 U 1 2 U r 2U = 0,(1.9.1)kr r r r 2и представив искомое решение U в виде R(r) (), получим, разделяя переменные в (1.9.1):1 R ~ 2 r ( k 2 ) R = 0.’’() + () = 0;r r r rВ случае естественного условия периодичности угловой части () частного решения с~2периодом 2 , константа разделения должна быть равна n .
Вводя переменную = k r,получим для радиальной части уравнение Бесселя1 R n2 (1 2 ) R (1.9.2)При построении решений уравнения (1.9.2) обычно рассматривают его для произвольногодействительного нецелого значения параметра . Если строить эти решения в виде степенныхрядов R() = an n0n , получим два линейно независимых решения вида(1) n J () = 2 n 0 (n 1)(n 1) 2 J- () = 22n;(1) n n 0 ( n 1)( n 1) 2 2n,называемых функциями Бесселя положительного и отрицательного - индексовсоответственно.
Очевидно, что первая из этих функций регулярна при любом конечномзначении и обращается в ноль при = 0, а вторая имеет в этой точке особенностьстепенного типа. При действительных и эти функции принимают действительныезначения.Кроме этой пары линейно независимых решений, можно построить другую пару такихрешений, принимающих комплексные значения. Непосредственной подстановкой в уравнение(1.9.2) при n = 0 функции ХанкеляH 0(1) ( ) = 1 ei cosdW1можно убедиться, что она удовлетворяет этому уравнению. Для этого достаточно, послеподстановки, воспользоваться интегрированием по частям вдоль контура W1 , учитываяобращение в ноль вне интегральных слагаемых. Точно так же убеждаемся, что при nотличных от нуля и равных произвольному нецелому числу , уравнению (1.9.2)удовлетворяет функцияH(1) ( ) = 1 ei cose i ( / 2) d(1.9.3)W1называемая функцией Ханкеля первого рода - го порядка.
Второе линейно независимоерешение при действительных значениях и можно получить из (1.9.3) операциейкомплексного сопряжения.Возьмем комплексное сопряжение от (1.9.3):(1)H() = 1e i cose i ( / 2) d.(1.9.4)W1Контур W1 получен из W1 операцией комплексного сопряжения и имеет следующий видi10-W10Замена переменной интегрирования навыражению(1)He() = 1W1i cos + сдвигает контур W1 влево на , приводяe i ( / 2) d,а последующая замена на - и деформация контура в пределах полу полос сходимости,одновременно с изменением направления интегрирования на противоположное, превращаетего в контур W2 , изображенный на рисунке.-02340W2W1Тогда интеграл (1.9.4) приобретает видH(1) ( ) = 1 eWi cose i ( / 2) d= H ( ) .( 2)(1.9.5)2Здесь H ( ) - функция Ханкеля второго рода порядка .Выясним теперь, что представляют собой функции(1)( 2)индекса H ( ) ; H ( ) :( 2)H(1)e() = 1i cose i ( / 2) dХанкеляотрицательного.(1.9.6)W1При замене в (1.9.6) переменной интегрирования на - , получаем интеграл-e1i cose i ( / 2) d,по контуру W1, проходимому в противоположномW1направлении.
Вынося из под интеграла множитель eполучимH (1) ( ) = ei H(1) ( ) .i, и меняя направление интегрирования,(1.9.7)Аналогично, убеждаемся, чтоH ( 2) ( ) = e - i H( 2) ( ) .(1.9.8)Между функциями Бесселя и Ханкеля индекса существует следующая связь.Возьмем полу сумму функций Ханкеля первого и второго рода [ H ( ) + H ( ) ]/ 2. Таккак подынтегральные выражения в (1.9.3), (1.9.5) одинаковы, то остается лишь сложитьконтуры интегрирования. Из последнего рисунка ясно, что при этом мы получим интеграл(1)12ei cose i ( / 2) d,W0где контур W0 показан на следующем рисунке( 2)(1.9.9)W0-02340Рассмотрим интеграл (1.9.9) для целых значений n индекса .
Деформируя контур W0 впрямоугольный, действительная часть которого совпадает с отрезком [-/2; 3/2], и сдвигаяего влево на /2 , получим1(1.9.10)e i sin e i n d ,2 так как интегралы по полу бесконечным отрезкам взаимно сокращаются в силупериодичности подынтегральной функции. Разделяя в выражении (1.9.10) действительную имнимую части, получим1 cos( sin n )d ,2 а мнимая часть обращается в ноль, будучи интегралом в симметричных пределах от нечетнойфункции sin( sin n ) . Ясно, что полученная функция принимает действительныезначения, удовлетворяет уравнению Бесселя (1.9.2), и обращается в ноль при = 0 для всех nотличных от нуля, а при n = 0 обращается в 1.
В силу теоремы единственности решенийбыкновенных д. у. , эта функция должна совпадать с функцией Бесселя Jn(). Можнопоказать, что и при нецелых значениях индекса интеграл (1.9.10) принимает лишьдействительные значения. Следовательно,12ei cose i ( / 2) d= J () = [ H ( ) + H ( ) ] / 2.(1)( 2)(1.9.11)W0Аналогично тому, как в случае о. д.
у. второго порядка с постоянными коэффициентамиy’’ + k2y = 0 из двух линейно независимых комплексно-значных решений eikx и e - ikx можнополучить два линейно независимых действительных решения cosx и sinx с помощью формулЭйлера, кроме представления (1.9.11) функции Бесселя через функции Ханкеля J () =[ H ( ) + H ( ) ] / 2, вводится второе действительное решение уравнения Бесселя(1)( 2)N () = [ H(1) ( ) - H( 2) ( ) ] /2i,(1.9.12)Называемое функцией Неймана. Пользуясь этими представлениями, а также формулами(1.9.7), (1.9.8) для функций Ханкеля отрицательного индекса, получим следующую связьмежду этими функциямиH ( ) = i(1)e i J ( ) J ( )sin ; H ( ) = i( 2)e i J ( ) J ( )sin ;N () =cos J ( ) J ( )sin .(1.9.13)При целых значениях функции Бесселя J () и J- () перестают быть линейноmнезависимыми: J- m () = (-1) J m (), что следует, например, из (1.9.9).
В этом случае,второе линейно независимое решение уравнения Бесселя, - функция Неймана N m () ,строится как результат предельного перехода в (1.9.13):N m () = limcos J ( ) J ( )sin mNm, вычисляемого по правилу Лопиталя: J ( } J ( } (1) m() = 1 [ ]= m, с использованием рядов для функцийБесселя. Проделав необходимые выкладки, приходим к следующему представлению дляфункции Неймана целого индекса:Nm() = 2 Jm()( ln1 2+C) - 1 2m m 1(m n 1)! n!n022n-( 1) n 1111 1 ... . 1 ...
2nm2n 2 n 0 n!(n m)! 2 Очевидно, что для m = 0 функция Неймана имеет логарифмическую особенность при = 0.m 2nИз нужных для вычислений формул приведем еще рекуррентные равенства, связывающиецилиндрические функции разных индексов, которые могут быть получены несложнымивыкладками из их интегральных представлений типа (1.9.3), (1.9.9):Z - 1 (x) Z + 1 (x) = 2 Z' ( x) ; Z - 1 (x) + Z + 1 (x) = 2 Z (x) / x.В дальнейшем, для оценки поведения решений плоских краевых задач при , важнуюроль будут играть асимптотические приближения цилиндрических функций:2H(1) ( ) i ( / 2 / 4)e; H ( ) ( 2)2 i ( / 2 / 4)e;(1.9.14)J () 2cos( / 2 / 4) ; N () 2sin( / 2 / 4) .О ( - 3/2 ) и(1)( 2)справедливы при условии . Из этих формул видно, что функции H ( ) , H ( )ведут себя как расходящаяся и сходящаяся цилиндрическая волна, а функции J (), N (), Все вышеприведенные асимптотические формулы имеют погрешностькак стоячие волны.Из асимптотических формул следуют также приближенные формулы для корней функцийБесселя и Неймана, как принимающих лишь действительные значения:m = (/2 + m + 3/4) ; m = (/2 + m + 1/4) .Справедлива следующая прямая аналогия между цилиндрическими и тригонометрическимифункциями:H(1) ( ) ei ; H( 2) ( ) e- i ; J () sin ; N () cos .Обратимся еще к формуле (1.9.10) для функции Бесселя.Сдвигая переменнуюnинтегрирования на , и пользуясь равенством J- n () = (-1) J n (), получим2i sin i n ed ,eJn( ) = 120То есть, функции Бесселя Jn( ) целого индекса совпадают с коэффициентами Фурьеразложенияфункции e i sin тригонометрических функций e i n e i sin =врядФурьепоортонормированнойсистеме:i n J n ( )e .nФункция e i cos есть плоская волна e i x , распространяющаяся вдоль оси x .Возвращаясь к переменнойe~ i k r cos( 0 )заменой~ = k r, и приводя последнее равенство к плоской волне на - /2 , и на - 0 , распространяющейся подпроизвольным углом 0 к оси x , к началу координат, получим~ i k r cos( 0 )e=~i n ( 0 ) i n / 2.e J n ( k r )e(1.9.15)n22(1) ~Вернемся теперь к фундаментальному решению i H 0 (k R) , где R = [r + r0 - 2 r r04cos( - 0)] 1/2 .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
