Лекции 4 по Мат.Физ. (1076073), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Будучи функцией Грина уравнения Гельмгольца на всей плоскости R2, онодолжнобытьпредставимоввидеразложенийпочастнымрешениям~~~Z n (k r ) e i n  , Z n (k r0 ) e i n 0 этого уравнения, где Z n (k r ) - цилиндрические функции,быть симметричным по паре переменных r,  ; r0 , 0 , и удовлетворять условиюограниченности в начале координат, и условию, обеспечивающему нужное поведения поляпри r   , или r0   , то есть, представлять собой расходящуюся цилиндрическую волну.Легко видеть, что всем этим условиям удовлетворяет представление~~(1)i n (   0 )  J n ( k r ) H n ( k r0 ),i H (1) (k~ R) = i cn e~0(1) ~4 n4 J n (k r0 ) H n (k r ),r  r0 ;r  r0 ,обеспечивающее непрерывность представления при r = r0 , для любых значенийнеопределенных коэффициентов cn .

Для нахождения этих коэффициентов осуществим в этомпредставлении предельный переход при r0   . Пользуясь асимптотическими формулами221/2(1.9.14), а также приближением для R = [r + r0 - 2 r r0 cos( - 0)]при r0   :R  r0 - r cos( - 0) , получим, сокращая одинаковые сомножители,~ i k r cos(   0 )e=~ c n J n (k r ) eni n (    0)  i n  / 2e.Сравнивая это равенство с (1.9.15), получаем, что cn = 1.разложение функции Грина имеет видСледовательно, искомое~~i n (   0 )  J n ( k r ) H n ( k r0 ),i H (1) (k~ R) = i e~0(1) ~4 n4 J n (k r0 ) H n (k r ),(1)r  r0 ;r  r0 ,(1.9.16)Формулы (1.9.15), (1.9.16) разложения плоской волны и фундаментального решения почастным решениям уравнения Гельмгольца широко используются при решении краевых задачвнутри и вне круговых областей..

Характеристики

Список файлов лекций