Лекции #3 по Мат.Физ. (1076065)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 31.8. Поля точечных источников.Рассмотрим теперь, к каким решениям приводят скалярные стационарные волновыеуравнения (уравнения Гельмгольца)~~U + k 2 U = 1~ p0(М, М0); V + k 2 V = - 1 m0 (М, М0),i i в свободном пространстве двух или трех измерений, для функций Боргниса или потенциаловДебая, в случае Е – поляризованного поля, когда вектор p0 равен p0e3 , или Н –поляризованного поля, когда вектор m0 равен m0e3 , соответствующие возбуждению поляточечным источником (электрическим, или магнитным диполем). Выбирая декартовупрямоугольную систему координат, в которой (М, М0 ) = (x - x0)(y - y0)(z - z0), вслучае трех измерений, и взяв преобразование Фурье по всем трем координатамUˆ ( 1 , 2  3 ) = u x, y, z  eRi[ 1 x   2 y   3 z ]dxdydz ,3получим алгебраическое уравнение вида~( k 2 -  12 -  22 -  32 ) Uˆ ( 1 , 2  3 ) = ~ 1 3 / 2 p0 ei ( 1 x 0   2 y 0   3 z 0 ) ,i  (2 )то есть следующее выражение для образа Фурье Uˆ ( ,  ) функции U1Uˆ ( 1 , 2  3 ) =23i ( x   y   z )1p0 ~e 1 0 2 0 3 0 ,i ~(2 )3 / 2k 2   12   22   32после чего U выписывается в виде1e i[ 1 ( x  x 0)   2 ( y  y 0)   3 ( z  z 0 )]p0 d 1 d 2 3~2222i ~(2 )33k 1   2  3R(1.8.1)Введем полярные координаты в пространствах переменных (x,y,z) и ( 1 , 2  3 ) :U (x, y, z; x0 , y0 , z0) =x – x0 = R sin cos , y – y0 = R sin sin , z – z0 = R cos ;  1 =  sin cos ,  2 = sin sin ,  3 =  cos ; где R = [(x - x0) 2 + (y - y0) 2 + (z - z0) 2] ½,  =(  12 1/2 22   32 ) .

Тогда интеграл в (1.8.1) сведется к1p0~i  (2 )3  2 i R cose   ~2 2 sin d dd ,k  2где cos = cos cos + sin sincos( - ) . Для упрощения дальнейших вычисленийпредположим, что источник расположен на оси z. Тогда  = 0 и cos = cos , и интегралыпо углам  и  легко вычисляются:0 0 01p0~  (2 )2 R0e i R e  i R~ k22d .Разбивая последний интеграл на два, и делая во втором из них замену переменногополучим на -,U (x, y, z; x0 , y0 , z0) =1e i Rp0 d . ~(2 )2 R    2  k~ 2(1.8.2)Интеграл (1.8.2) вычисляется через вычет в полюсе первого порядка в точкеприводит к выражению~ = k , что~i kRU (x, y, z; x0 , y0 , z0) =  p0 e,(1.8.3)i ~ 4 R222 1/2где R = [(x - x0) + (y - y0) + (z - z0) ] , - расстояние от точки источника до точкинаблюдения. Функциюe~i kRназывают функцией Грина уравнения Гельмгольца4 RU +~k 2 U = (М, М0) в свободном пространстве, или его фундаментальным решением.

Еслиисточник расположен в начале координат, R совпадает с радиусом сферической системыкоординат r.Рассмотрим теперь схему построения функции Грина в двумерном (плоском) случае, когдаполе возбуждается, например, бесконечной нитью переменного тока, параллельной оси OZ , иволновое уравнение имеет вид 2U  2U ~ 2 k U = 1~ p0(x - x0)(y - y0) .22xyi (1.8.4)Возьмем преобразование Фурье от уравнения (1.8.4) по переменной x : 2U~2k(-  2 )U =2y1p0 ei x 0 (y - y0) .(1.8.5)~2 i Согласно общему методу построения функции Грина обыкновенного дифференциальногоуравнения,eU(  ,y)выписывается~ i k 2   2 y однородногочастныерешенияe~i k 2 2 y ;уравнения в виде i k~ 2   2 ( y  y0 )eU(  ,y) = C  e iчерез~k 2   2 ( y0  y );y  y0 ;;y  y0 .При этом, константа C выбирается из условия равенства скачка первой производной решенияU(  ,y) в точке y = y0 коэффициенту при  - функции в уравнении (1.8.5).

В результатеполучим:U(  ,y) = 1p0 ei x 0 e~2 2  ~i k 2   2 y  y0~k 2  2.Взяв обратное преобразование Фурье от полученного выражения, приходим к решению видаU (x, y; x0 , y0) = 14  ~p0 e~i k 2   2 y  y0ei ( x  x 0 )~k 2  2d.(1.8.6)Сделав в (1.8.6) замену переменной интегрированияU (x, y; x0 , y0) = 14  ~p0e~ / k =  , получим~i k [ 1   2 y  y0   ( x  x 0 )]12d.Для дальнейшего упрощения подынтегрального выражения, сделаем еще одну заменупеременного интегрирования  = cos  , что возможно на всем пути интегрирования( -  ,  ) лишь в случае комплексности переменной  .

Построим образ C действительнойоси ( -  ,  ) на плоскости комплексного переменного  при таком отображении. Разделяядействительную и мнимую части в равенстве  = cos(0 + i 1), получимcos0 ch1 =  ; sin0 sh1 = 0.(1.8.7)Очевидно, что отрезок [-1; 1] действительной оси  отображается при этом в отрезокдействительной оси [-; 0] плоскости  , как наиболее близкий к началу координат, так какоба уравнения удовлетворяются значениями 1 = 0; -   0  0. Полу бесконечныйинтервал ( -  , - 1] отображается в вертикальную полупрямую 0 = -  ; 0   1   , накоторой удовлетворяются оба уравнения (1.8.7), а полу бесконечный интервал, [ 1 ,  ) - вотрицательную часть мнимой оси 0 = 0 ; - .

  1  0 :i1C0-0В результате, выражение для U (x, y; x0 , y0) упрощается доU (x, y; x0 , y0) =14  ~p0  e~i k [sin  y  y0  cos ( x  x 0 )]d(1.8.8).CДальнейшее упрощение выражения (1.8.8) сводится к введению декартового расстоянияR = [(x - x0) 2 + (y - y0) 2] 1/2 между точкой источника и точкой наблюдения, что позволяетпереписать это равенство в видеU (x, y; x0 , y0) =14  ~p0 (x  x0 )y  y0~i k R[sin  cos]RRed.CНетрудно показать, что независимо от знака модуля | y - y0| , дроби в показателе экспонентымогут быть представлены как косинус и синус угла , между направлением вектора R иположительным направлением оси абсцисс, что дает возможность переписать интеграл в виде~U (x, y; x0 , y0) =1e i k R cos(   ) dp0 ~4  C.Сделав замену переменного    +, получим выражениеU (x, y; x0 , y0) =14  ~ep0~i k R cosd(1.8.9).C  С интегралом по прежнему контуру, сдвинутому вдоль действительной оси на величину угла .

Покажем, что на самом деле выражение (1.8.9) не зависит от угла  , зависимость откоторого в (1.8.9) может быть опущена. Для этого исследуем область сходимости интеграла в~(1.8.9), определяемую действительной частью показателя экспоненты Re(i k Rcos) =~k Rsin0 sh1. Эта область очевидно определяется неравенством~k Rsin0 sh1  0,и состоит из полу бесконечных полос {(2k + 1)  0  2(k + 1); 1  0} ; {2k  0 (2k + 1); 1  0}.i1-02340CКонтур C +  должен проходить в области заштрихованных полос, в пределах которых онможет сдвигаться и деформироваться произвольным образом, так как интегрирование идет вобласти голоморфности подынтегральной функцииe~i k R cos . Поэтому,сдвиг  можно взятьпроизвольным, в том числе и равным нулю.

В дальнейшем будем обозначать контуринтегрирования C через W1. В результате, получимU (x, y; x0 , y0) =14  ~p0  e~i k R cosd(1.8.10).,W1(1)~то есть, интегральное представление функции Ханкеля H 0 (k R) первого рода, нулевогопорядка, умноженное на коэффициент 1 p0 . Здесь декартово расстояние между точками4 ~22 1/2наблюдения и источника R = [(x - x0) + (y - y0) ] . Иначе говоря, фундаментальноерешение (функция Грина свободного пространства) уравнения (1.8.4) в плоском случае есть1 p H (1) (k~ R) .

Если рассматривать уравнение (1.8.3) без коэффициента 1 p перед  000i ~4 ~функцией (что соответствует единичному значению дипольного момента p0 , и волновомууравнению непосредственно относительно компоненты электрического поля: U = Ez , как вслучае неоднородного уравнения (1.4.2)), стандартное выражение для фундаментального~2(1) ~решения уравнения U + k U = (М, М0) в плоском случае имеет вид i H 0 (k R) .4~(1)Отметим теперь общий смысл представления функции Грина i H 0 (k R) плоского случая в4виде контурного интеграла (1.8.10). Подынтегральная функция~e i k R cos есть плоская волнапри каждом фиксированном значении . Если под контуром интегрирования W1 пониматьпрямоугольный путь интегрирования на первом рисунке, полу бесконечные ветви которогопроизвольно расположены в заштрихованных полу полосах, то лишь на его действительномучастке эта плоская волна имеет единичную амплитуду и действительную фазу, то естьявляется плоской волной в обычном смысле (однородной плоской волной).

На полубесконечных же отрезках интегрирования, где  является комплексным, это выражение имеет~переменную амплитуду e  k R sin  0 sh 1 и фазу i k~R cos  ch , и называется неоднородной01плоской волной. Таким образом, представления рассматриваемой функции Грина вида (1.8.10)есть разложение цилиндрической волны в непрерывный спектр однородных и неоднородныхплоских волн.Рассматривая эту функцию при R   , и используя асимптотическое приближение дляфункции Ханкеля при больших значениях аргумента, получим~2i ( k R   / 4)iU (x, y; x0 , y0) .(1.8.11)~4 k ReТо есть, поле приобретает вид цилиндрической волны с амплитудой, убывающей- 1/2пропорционально R.Аналогично, фундаментальное решение e~i kRтрехмерного случая имеет вид сферической4 R-1волны, убывающей по амплитуде с ростом R как R .Рассмотрим еще характер поведения компонент полей E и H в полярной или сферическойсистеме координат на больших расстояниях от источника.

Для этого удобнее переписать22выражение для расстояния R в полярной или сферической системе координат: R =[r + r0–2 r r0 cos ( -  0)] 1/2; или R =[r 2 + r0 2 - 2 r r0 cos] 1/2 , где = cos cos0 + sin sin0 cos( - 0). При r  1, для расстояния R можновоспользоваться приближением R  r - r0 cos, и аналогичным, - в плоском случае. Вплоском случае, используя формулы предыдущего пункта для компонент полейэлектрического и магнитного типа в частном случае круговой цилиндрической системыкоординат ( 1 = r, , 2 =  ), и представление (1.8.4),получим, чтоE (Ez ) = О (r - 1/2 ); H (Hz ) = О (r - 1/2 ); Er ( H r ) = О (r - 3/2 ).Аналогично, в трехмерном случае можно получить оценки видаE (E ) = О (r - 1 ); H (H ) = О (r - 1 ); Er ( H r ) = О (r - 2 ).Иначе говоря, на больших расстояниях от источника продольные компонентыэлектромагнитного поля убывают много быстрее поперечных, и поле становится практическипоперечным..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций