Лекция л.5 решение ур. Лапласа в круге и шаре (1076074)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Краевые задачи для гармонических функций в круге и шаре. ФормулыПуассона.I. Задача на плоскости.Рассматривается следующая краевая задача Дирихле для функции, гармонической вкруге. u  0;(1)u  f ( P ), SЗдесь S - граница круга, радиуса а; f(P) – заданная известная функция (распределениеэлектростатического потенциала на окружности r = a ) Задачу (1) удобно решать вполярных координатах r ; . Тогда, u = u(r,  ),1   u 1  2uru=+= 0, (2)r r  r r 2  2Уравнение Лапласа в полярных координатах. Краевое условие на границе кругапринимает видu(a,  ) = f( ).Переменные r,  принадлежат интервалам 0  r  a ; 0    2.(3)Замечание. Аналогичным образом выглядит и постановка внешней первой краевойзадачи вне круга, где a  r  ; 0    2 , с условием ограниченности решения u вбесконечно удаленной точке.Поскольку искомое решение u(r,), должно быть однозначным по угловой координате:u(r, + 2) = u(r,) , то частные решения уравнения (2) будем искать в видеu n (r,) = a n ( r )cosn + b n ( r )sinn .(4)При подстановке (4) в уравнение (2), собирая подобные члены при линейнонезависимых функциях cosn и sinn , т.е.:1 d  dan  n 21 d  dbn  n 2rr(a)cosn+(b n) sinn = 0,nr dr  dr  r 2r dr  dr  r 2Получим для функций a n ( r ), b n ( r ) одинаковые ОДУ вида1 d  dan  n 21 d  dbn  n 2rra=0;b n = 0,r dr  dr  r 2 nr dr  dr  r 2(5)являющиеся простейшими уравнениями типа Эйлера, частные решения которых имеютвид r  n .

Очевидно, что мы ищем решение задачи внутри круга ограниченное в нуле,поэтому, для внутренней задачи мы выбираем решение r n . Наоборот, в случае внешнейзадачи в неограниченной области нам необходимо иметь решение. Ограниченное вбесконечности, и для этой задачи выбирается решение r  n .Таким образом, внутри круга частные решения уравнения Лапласа берутся в видеu n (r,) = r n (c n cosn + d n sinn ),(6)и полное решение рассматриваемой краевой задачи имеет вид рядаu (r,) =  r n (c n cosn + d n sinn ),(7)n0где c n ; d n - обычные неопределенные константы. Эти константы вычисляются,используя краевое условие (3):u (a,) =  a n (c n cosn + d n sinn ) = f( ).(8)n0Ряд в(8) является рядом Фурье заданной периодической функции f( ), с периодом 2 ,и коэффициентами Фурье a n c n ; a n d n . Стандартный ряд Фурье этой функции имеетвид:p0+  (p n cosn + qn sinn ),2n 1211 21 2где p0 =;p=;q=f()df()cosndnn f ( )sin n d .f( ) =00(9)0Используя эти равенства.

Получаем окончательное решение задачи в виде6np0r+    ( pn cosn + qn sinn ).(10)2n 1  a Замечание. Соответствующее решение аналогичной краевой задачи вне круга имеет,очевидно, видu (r,) =pu (r,) = 0 + 2n 1na r  ( pn cosn + qn sinn ). (11)I I . Формула Пуассона плоской задачи.Рассмотрим теперь функцию Грина внутренней задачи для круга, т.е. функциюG( M, M0), удовлетворяющую краевой задачеG M , M 0  0; M  M 0G P , M 0,0 PS11 g M , M0 ;G M , M 0  2 lnR M , M0В (12)g M , M0(12)- регулярная часть функции Грина, удовлетворяющая уравнениюЛапласа в круге всюду.

В предыдущей лекции такая функция была построена в явномвиде, с использованием комплексных координат на плоскости:G  z , z0  =a 2  zz01.ln2a z  z0(13)Воспользуемся теперь третьей формулой Грина из лекции о фундаментальных решенияхуравнения Лапласа:1 11d .u M0  =(14)lnuPuPln11 n2 L  R M , P n P1RM,P0 10 1 Заметим, что фундаментальное решение в этой формуле можно заменить функциейГрина уравнения Лапласа в области, поскольку она содержит в себе фундаментальное   решение, а обе функции u(M) и g M , M гармоничны в данной области.

Но функция0Грина, в отличие от фундаментального решения, удовлетворяет на границе однородномукраевому условию. Следовательно, получаемuM  = 1u  P  G  M , P d P .2 Ln(15)Применим формулу (15) для случая круга, взяв в качестве G( M, M0) явный вид (13)этой функции. Достаточно лишь переписать соответствующее выражение в полярныхкоординатах:a 2  zz0 =a 4  r 2r02  2a 2rr0 cos   0 ; z  z0 =r 2  r02  2rr0 cos   0 .Тогда, выражение (13) примет видa 4  r 2r02  2a 2rr0 cos    0 11G r, r0 ; ,0 = 1 ln+ln .222r  r0  2rr0 cos   0Производная по нормали в (15) совпадает с2a(16), что при r0 = a (то есть,- на границеr0круга) приводит к выражениюr2  a212 a r 2  a 2  2ra cos   0С учетом (17), и того, что=G r , r0 ; ,  0r0r0  a.(17)d  P = a d , окончательное выражение для решениякраевой задачи в кругe имеет вид222u  r,  = 1  2 2 a  rf   d .2 0 r  a  2ra cos    (18)Выражение (18) носит название интеграла Пуассона.

Оно позволяет выписать решениекраевой задачи Дирихле в круге не прибегая к ряду Фурье (11), воспользовавшись толькоинтегрированием явного выражения по угловой координате, что удобно при расчетах.III . Метод электростатических изображений для трехмерной задачиДирихле в шаре.Будем рассматривать теперь краевую задачу (1) внутри шара радиусаa .Предварительно построим функцию Грина для этой области. Несмотря на то, что втрехмерном пространстве нет комплексных координат, метод электростатическихизображений применим и в этом случае.3Напомним, что фундаментальное решение уравнения Лапласа в R имеет вид1 3 r, r0 ; ,0 ; ,0 =,4 R  r, r0 ; ,  0 ; ,0 гдеR  r, r0 ; ,0 ; ,0  =r 2  r02  2rr0 cos   ,0 ;,0(19)- декартово расстояние всферических координатах. Здесь   ,0 ; ,9  - угол между двумя единичными векторамивнаправленииточекM и M0изначалакоординат:  ,0 ; ,9 =cos cos0  sin  sin 0 cos(   0 ) .Функция (19) описывает электростатическое поле, создаваемое в окружающемпространстве электрическим зарядом единичной амплитуды, расположенном в точке скоординатами r = r0 ; = 0 ; =0 .Покажем, что если взять луч, исходящий из центра сферы в направлении  = 0 ;=0 ,то есть.

проходящий через точку расположения точечного источника, находящегосявнутри сферы радиус а , на расстоянии r0  а, и поместить на продолжении этого луча внесферы точечный источник противоположного знака в точке, радиус которой r0 связан с r0равенствомr0 r0 = a 2 ,(20)то можно подобрать амплитуду A этого источника так, что сумма полей данногоисточника и исходного обратятся в ноль всюду на поверхности сферы:Суммарное поле двух источников имеет видA1(21)42aa4 r 2  r02  2rr0 cos   , 0 ; ,024 r  2  2 r cos   , 0 ; ,0r0r0r = а , находим значение A =Полагая в (21)a, при котором выражение (21)r0обращается в ноль на поверхности сферы. Следовательно, функция Грина внутреннейкраевой задачи Дирихле для шара имеет вид1aG r, r0 ; ,0 ; ,0 =.4 r 2  r 02 2rr0 cos   ,0 ; ,04 r 2r 02 a 4 2a 2r r0 cos   ,0 ; ,0(22)Замечание.

Равенство (20) обычно называют соотношением обратных радиусов. Второеслагаемое формулы (22) является регулярной частью g r, r0 ; , 0 ; ,0 функции Грина,т.е. функцией, гармонической всюду внутри сферы.Теперь можно построить решение краевой задачи Дирихле (1) для шара, пользуясьпредставлением (15) , где интегрирование ведется по поверхности сферы S .В данном случае достаточно просто вычислить нормальную производнуюG  r, r0 ; ,0 ; ,0 1r0  a =4r0r2  a2a r 2  a 2  2ra cos   ,0 ; ,03.2Тогда, полагая правую часть краевого условия задачи (1) известной функцией f(, )2угловых координат и учитывая, что d  P = a sin d d , получим трехмерный вариантинтеграла Пуассона 2u  r, ,   = a  40 0(a 2  r 2 ) f ( ,  )sin d dr2 a 2  2ra cos   ,0 ; ,03.2(22).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций