Лекции #7 по Мат.Физ (1076072)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Спектр краевой задачи и теорема Стеклова.Стандартное уравнение колебаний ограниченной неоднородной струны длинысреде,оказывающейсопротивлениепропорциональное,скоэффициентомl вq(x),отклонению u струны от положения равновесия имеет вид2u   u k ( x )  – q(x)u =  2 .x x t(1)Оно подчинено двум начальным условиямu(x,0) = (x); u t (x,0) = (x);и двум краевым условиямu x (0,t) – h1 u(0,t) = 0;(2)u x (0,t) + h2 u(0,t) = 0;общего вида, соответствующим упругому закреплению на краях.Методом разделения переменных уравнение (1) приводится к двум уравнениямT’’(t) + T(t) = 0;dX d  k ( x) – q(x)X +  X = 0;d xdx (3)второе из которых снабжено соответствующими краевыми условиями в точках x = 0 иx=l:X’(0) – h1 X(0) = 0;(4)X’(l) + h2 X(l) = 0.Уравнение (3) вместе с условиями (4) является краевой задачей для этого О.Д.У. наотрезке [0, l].На частных примерах таких задач мы видели, что совокупность ихрешений образует полную ортогональную систему собственных функций, (базис)соответствующих дискретному набору собственных значений спектрального параметра(константы разделения), что позволяет искать решение исходной задачи в виде рядовФурье с коэффициентами, зависящими от переменной t.

Сами эти коэффициентынаходятся затем из требования выполнения начальных условий задачи. В данном разделебудет описана общая схема построения такого базиса, исключающая необходимостьдоказывать его существование в каждом частном случае. Сформулируем соответствующееутверждение, характеризующее основные свойства собственных функций и собственныхзначений.Теорема.1. Существует счетное множество собственных значений1 2 ….   n….,которым соответствуют нетривиальные решения задачи (3), (4), - собственныефункцииX1(x) , X2(x) ,….

X n (x) , …. .2. При q(x)  0 все собственные значения  n положительны.3. Собственные функции X n (x) и X m (x)весомпри n m ортогональны между собой с (x) на отрезке 0  x  l :l X n ( x ) X m ( x )  ( x )dx= 0; n  m(5)04. (Теорема разложимости В.А. Стеклова) Произвольная функция F(x), дваждынепрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая краевым условиям F(0) = F(l) = 0 ,разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям{Xn(x)}:F(x) = Fn X n ( x ) , Fn =n 11Xnll0022 F ( x ) X n ( x )  ( x )dx , ||Xn|| =  X n ( x )  ( x )dx .Вначале докажем свойства 3.

и 2. Для этого выведем сперва основное интегральноетождество. Обозначим через L (X) операторdX d  k ( x) – q(x)X . Пусть u(x) и v(x)d xdx - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые на интервале aфункции , имеющие непрерывную первую производную на отрезке aРассмотрим выражение L (u)v – L (u)v == x b x  b .du dv d d  k ( x) v– k ( x)  ud xdx d xdx dk ( x )[u  v  v u] . Интегрируя это равенство по x от 0 до l , получимdxодномерную формулу Гринаb u L[ v ]} v L[ u ] dx = k ( x )[u v   vu ] ba .(6)aПусть теперь u(x) = X n (x) ; v(x) = X m (x) , - собственные функции краевой задачи(3), (4),удовлетворяющие уравнениямL [X n (x)] = –  n X n (x)  (x) ; L [X m (x) ] = – m X m (x)  (x) .(7)Подставляя эти функции в тождество (6), где a = 0 ; b = l , учитывая уравнения (7), икраевые условия (4), обращающие правую часть (6) в ноль, получим( n –lm)  X n ( x ) X m ( x )  ( x )dx = 0.0И, так как  n m , то из этого равенства следует (5).

Что и требовалось.Обратимся теперь к доказательству свойства 2. Возьмем нормированную собственнуюlфункцию X n (x), то есть такую, что  X n ( x )  ( x )dx = 1 (если она не нормирована, то20делением ее на константу ||Xn|| получаем нормированную) и рассмотрим равенствоL [Xn] = –  n  (x) X n (x) . Умножив его на X n (x), и интегрируя по x на отрезке[0, l], получим равенствоll002 X n ( x ) L[ X n ( x )]dx = –  n  X n ( x )  ( x )dx = –  n , так как X n (x) нормирована.Или, в явном виде:dXnd  n = –  X n ( x )  k ( x )d xdx0ldx +l q ( x ) X n ( x ) dx .2(8)0Интегрируя по частям в первом интеграле, получим n = – k ( x) X n ( x)dXndx dXn+  k ( x )  dx0ll0l2 dx +  q ( x ) X n2 ( x ) dx .0(9)Пользуясь краевыми условиями (4), подстановку в этом равенстве приводим к видуk (l )h2 X n2 (l ) + k ( 0)h1 X n2 ( 0) .

Окончательно получим n = k (l )h2X n2 (l )+k ( 0)h1 X n2 ( 0) dXn+  k ( x )  dx0ll2 dx +  q ( x ) X n2 ( x ) dx . (10)0В равенстве (10) k (l ) , k ( 0) , h1 , h2 , k ( x ) , q ( x ) , - неотрицательные величины ифункции по их физическому смыслу. Следовательно, n  0, - что и требовалось.Замечание. В случае более простых краевых условий, чем (4), доказательство проводитсяаналогично. При этом, в случае условий X’(0)= 0; X’(l) = 0 достаточно в (10)положить h1 = h2 = 0 , а в случае условий первого рода X(0) = 0; X (l) = 0 ,равенство нулю подстановки в (9) очевидно, и (10) приобретает вид dXn n =  k ( x )  dx0ll2 dx +  q ( x ) X n2 ( x ) dx .0Что касается пунктов 1 и 4 , то их доказательство проводится преобразованиемдифференциального уравнения (3) к интегральному, используя понятие функции Грина, ипоследующемуисследованиюспектраполученногоинтегральногооператора,сиспользованием соответствующих теорем функционального анализа.Действительно,изкурсаО.Д.У.следует,чтодифференциальноеуравнениеdX d  k ( x) – q(x)X = 0; которое обычно записывается в сокращенном виде какd xdx L[X] = 0, имеет два линейно независимых решения Y1 (x) и Y2 (x) , с помощью которыхстроится функция Грина краевой задачи (3), (4) в видеY ( x )Y2 ( ); x   ;G(x, ) = C  1Y2 ( x )Y1 ( ); x   .(11)Функция Y1 (x) удовлетворяет, при этом правому краевому условию, а Y2 (x) , - левому.Константа C определяется из условия равенства скачка первой производнойG’(x, )| x =  + 0 – G’(x,  )| x =  -- 0 величине k ( ) .

С помощью функции Грина (11)решение любого уравнения L[X] = f (x) на отрезке 0 x  l записывается в видеlX (x) =  G ( x , ) f ( ) d . Если теперь переписать исходное уравнение (3) в виде0L[X] = –  X , то оно преобразуется, с помощью функции Грина, к видуlX (x) = –   G ( x , )  ( ) X ( ) d ,(12)0То есть, к однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода с ядромK(x, ) = G ( x, )  ( ) . При этом, в силу непрерывности функции Грина, ядро K(x, )l lквадратично интегрируемо:2K ( x , ) dxd  A = const. Это означает, в свою0 0очередь, что соответствующий интегральный оператор является вполне непрерывным(компактным) как оператор из L2[0, l] в L2[0, l].

Заметим также, что уравнение (12)можно привести к уравнению с симметричным компактным интегральным операторомпростой заменой решения Xˆ ( x ) =вид ( x ) X (x). Ядро при этом принимает симметричный ( x ) G ( x , )  ( ) . Соответствующие теоремы из функционального анализаутверждают, что спектр такого оператора является действительным и дискретным ( 1 2  ….   n ….,), и ему соответствует дискретный набор собственных функций , X1(x) , X2(x) ,…. X n (x) , …. , нетривиальных решений однородного уравнения (12):lXn (x) = –  n  G ( x , )  ( ) X n ( ) d .0Тем самым, доказывается пункт 1. утверждения.

Что касается четвертого пункта, (теоремыразложимости В.А. Стеклова) то он является следствием теоремы Гильберта – Шмидта отом, что если A являетсясимметричным компактным линейным оператором всепарабельном гильбертовом пространстве H , то в H существует полная ортогональнаясистема собственных векторов оператора A..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций