Главная » Просмотр файлов » Лекции #4 по Мат.Физ.Уравнение колебаний бесконечной струны

Лекции #4 по Мат.Физ.Уравнение колебаний бесконечной струны (1076069)

Файл №1076069 Лекции #4 по Мат.Физ.Уравнение колебаний бесконечной струны (Электронные лекции)Лекции #4 по Мат.Физ.Уравнение колебаний бесконечной струны (1076069)2018-01-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Уравнение колебаний бесконечной и полу бесконечнойструны, формула Даламбера, метод отражений.Рассмотрим уравнение колебаний однородной натянутой струныut t = a2 ux x(1)на бесконечном интервале    x  ., с начальными условиями общего видаu(x, 0) = (x) , ut(x, 0) = (x).(2)Такая постановка задачи является, разумеется, идеализированной (бесконечные струныне существуют). Это лишь означает, что начальные возмущения, распространяющиеся поструне с конечной скоростью, не успевают за рассматриваемый конечный отрезоквремени достичь концов струны, и их влияние можно не учитывать, считая струнубесконечной.Уравнение(1),будучиуравнениемгиперболическоготипаспостояннымикоэффициентами, приводится к каноническому виду методом характеристик: вводя новыепеременные  = x + at ; = x  at, приводим уравнение к видуu = 0.(3)Общим решением этого уравнения является функция u( ,) = f() + g( ), или, встарых переменныхu(x , t) = f(x + at) + g(x  at ),(4)где f и g - произвольные дважды дифференцируемые функции.Оставшиеся неиспользованными пока начальные условия (2) нужны для определенияконкретного вида функций fиg.

Удовлетворяя начальным условиям (2),получимсистему уравненийf(x) + g(x) = (x);(5)f ’(x)  g’ (x) =  (x)/a .Проинтегрировав второе уравнение, получим f (x)первообразная функции g (x) =  (x)/a ; где  (x) -(x). Складывая это равенство с первым уравнением (5),получимf (x) = (x)/2 +  (x)/2a ;а из (6) и первого уравнения (5) следует(6)g(x) =(x)/2   (x)/2a .(7)Возвращаясь к равенству (4), получим решение в видеu(x , t) = ( x + at)/2 +  (x + at)/2a +( x  at)/2   (x  at)/2a .Объединяя первое и третье слагаемое этой формулы, а также второе и четвертое,приходим к формуле Даламбераu(x , t) =  x  at     x  at 21+2ax  at  ( ) d ,(8)x  atпоскольку первообразную  (x) всегда можно представить через интегралx ( )d .0Чаще всего начальное возбуждение струны задается либо только начальнымотклонением((x) = 0),- щипковые музыкальные инструменты, либо тольконачальным импульсом (ударом):(x) = 0, - клавиры (рояли, пианино, клавесин,клавикорды).

В первом случае решение задается только первым слагаемым формулы (8), аво втором, - только вторым слагаемым.В первом случае решение состоит из полу-суммы двух волн (любая функция вида f (xat) является распространяющейся волной), бегущих справа налево, - ( x + at),и слеванаправо, -( x  at). Пусть начальное возмущение отлично от нуля на конечноминтервале [x0 ,x1]. На диаграмме (x, t) распространение начального отклоненияизображается в следующем видеtx - at = x0x + at = x1x - at = x1x + at = x0x0x1xПрофиль волнового возмущения остается неизменным на семействе характеристик x at= const,и отличен от нуля лишь в полосах x0  const x1 , что означает распространениеволн в пределах полос, ограниченных характеристиками x at = x 0 , x  at = x1 ,проходящими через крайние точки интервала [x0 ,x1]. Пользуясь данной диаграммой,можно построить суммарный профиль волн в любой фиксированный момент времени.Если, например, профиль имеет вид равностороннего треугольника, то суммарныйпрофиль в разные моменты времени будет иметь видt=0t=(x-x0)/4at=(x-x0)/2at=(x-x0)/aВ случае возбуждения струны только начальным импульсом решение содержит лишьвторое слагаемое формулы (8):u(x , t) =12axa  ( ) d .x  atРассмотрим простейший случай, когда начальный импульс постоянен и отличен от нуляна конечном интервале [x0 ,x1], и его амплитуда равна 2a.

При этом, решение будетразностьюu(x , t) =  (x + at)   (x  at)(9)двух первообразных подынтегральной функции. В данном случае эта первообразная () = . там, где начальный импульс отличен от нуля, и  () = 0 там, где он равеннулю. Следовательно,0 ; x  at  x 0 ; (x + at) =  x  at  x 0 ; x 0  x  at  x1 ; - волновой фронт перемещаетсяx1  x 0 ; x1  x  at ;налево; (x (10)0 ; x  at  x 0 ;at) =  x  at  x 0 ; x 0  x  at  x1 ; - волновой фронт перемещаетсяx1  x 0 ; x1  x  at ;направо. Здесь в средних строчках величина  x0 играет роль неопределенной константы,возникающей при интегрировании, которая выбирается так, чтобы при t = 0 прямаяx  at  x 0 проходила через точку x = x0 .Графически, суммарное возмущение может быть изображено в каждый фиксированныймомент времени сложением этих волновых фронтов, имеющих (с учетом знака) видПоследовательные результаты такого сложения в моменты времени tj = j(x1 – x0) /4a( j = 0, 1, …) изображены на следующих рисункахx0x1t=0x0t= (x1 – x0) /4ax0x0x1x1x1t= (x1 – x0) /2at= 3(x1 – x0) /4ax0t= (x1 – x0) /ax1Задача возбуждения полу бесконечной струны.Случай полу- бесконечного интервала 0  x   с точки зрения физики означает, чторассматриваются лишь такие значения временной переменной t , при которых начальныевозмущения струны не успели дойти до ее правого конца, и его влияние можно неучитывать, считая, что он расположен бесконечно далеко от левого конца.

В этом случае,к исходной постановке, - уравнениям (1), (2), добавляются краевые условия первого иливторого рода: u(0, t) = 0 , или ux(0, t) = 0. (Условие жестко закрепленного края, илисвободного края, например, упругого стержня).Решение такой задачи можно свести к решению ее же на бесконечном интервале    x  , применив метод отражения, суть которого содержится в условии нижеследующейтеоремы.2Теорема (метод отражений).

. Решение краевой задачи ut = a uxx ; u(x, 0) =(x) ;ut(x, 0) = (x) на интервале 0  x   с краевым условием u(0,t) =0 (или ux (0,t) =0)может быть построено как решение задачи на всей прямой    x  , если продолжитьфункции(x), (x), задающие начальные условия, в область    x  0 нечетным(или четным) образом.Вначале рассмотрим случай краевого условия u(0, t) = 0 , и построим функции  (x) и (x) следующего вида:  ( x ); x  0,  ( x ); x  0, (x) = .(x);x0.(x);x0. (x) = Применяя формулу Даламбера (8) с начальными условиями(11) (x) и  (x) на всейчисловой прямой    x  , и обеспечивая, тем самым, удовлетворение уравнению (1)и начальным условиям (2) при x 0 , вычислим, чему равна функция u(x , t) при x = 0:  at     at 1 at ( )d ,или, подставляя сюда явный вид (11)u(0 , t) =+2 a at2функций  ,  ,u(0,t) =  at     at 21 at1 0+ ( )d  (  )d .

Меняя переменную2 a 02 a at на   во втором интеграле, получим1 at1 0u(0 , t) = ( )d + ( )d = 0, то есть, краевое условие выполняется.2 a 02 a atВ случае краевого условия второго рода, построив продолжения начальных условий ввиде ( x ); x  0, ( x ); x  0, (x) =  (x) = .(x);x0.(x);x0.из той же формулы (8) получим производную u x (x , t) в виде(12)u x (x , t) =  x  at     x  at   x  at     x  at +.22aВ точке x = 0:u x (0 , t) =  at     at  at     at +.22aУчитывая продолжение (12) для функциипродолжение для функции (x) , и тот очевидный факт, что четное (x) приводит к нечетному продолжению ее производной,получимu x (0 , t) = at     at 2+  at     at 2a= 0..

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
242,17 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6547
Авторов
на СтудИзбе
300
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее