Лекции #4 по Мат.Физ.Уравнение колебаний бесконечной струны (1076069)
Текст из файла
Уравнение колебаний бесконечной и полу бесконечнойструны, формула Даламбера, метод отражений.Рассмотрим уравнение колебаний однородной натянутой струныut t = a2 ux x(1)на бесконечном интервале x ., с начальными условиями общего видаu(x, 0) = (x) , ut(x, 0) = (x).(2)Такая постановка задачи является, разумеется, идеализированной (бесконечные струныне существуют). Это лишь означает, что начальные возмущения, распространяющиеся поструне с конечной скоростью, не успевают за рассматриваемый конечный отрезоквремени достичь концов струны, и их влияние можно не учитывать, считая струнубесконечной.Уравнение(1),будучиуравнениемгиперболическоготипаспостояннымикоэффициентами, приводится к каноническому виду методом характеристик: вводя новыепеременные = x + at ; = x at, приводим уравнение к видуu = 0.(3)Общим решением этого уравнения является функция u( ,) = f() + g( ), или, встарых переменныхu(x , t) = f(x + at) + g(x at ),(4)где f и g - произвольные дважды дифференцируемые функции.Оставшиеся неиспользованными пока начальные условия (2) нужны для определенияконкретного вида функций fиg.
Удовлетворяя начальным условиям (2),получимсистему уравненийf(x) + g(x) = (x);(5)f ’(x) g’ (x) = (x)/a .Проинтегрировав второе уравнение, получим f (x)первообразная функции g (x) = (x)/a ; где (x) -(x). Складывая это равенство с первым уравнением (5),получимf (x) = (x)/2 + (x)/2a ;а из (6) и первого уравнения (5) следует(6)g(x) =(x)/2 (x)/2a .(7)Возвращаясь к равенству (4), получим решение в видеu(x , t) = ( x + at)/2 + (x + at)/2a +( x at)/2 (x at)/2a .Объединяя первое и третье слагаемое этой формулы, а также второе и четвертое,приходим к формуле Даламбераu(x , t) = x at x at 21+2ax at ( ) d ,(8)x atпоскольку первообразную (x) всегда можно представить через интегралx ( )d .0Чаще всего начальное возбуждение струны задается либо только начальнымотклонением((x) = 0),- щипковые музыкальные инструменты, либо тольконачальным импульсом (ударом):(x) = 0, - клавиры (рояли, пианино, клавесин,клавикорды).
В первом случае решение задается только первым слагаемым формулы (8), аво втором, - только вторым слагаемым.В первом случае решение состоит из полу-суммы двух волн (любая функция вида f (xat) является распространяющейся волной), бегущих справа налево, - ( x + at),и слеванаправо, -( x at). Пусть начальное возмущение отлично от нуля на конечноминтервале [x0 ,x1]. На диаграмме (x, t) распространение начального отклоненияизображается в следующем видеtx - at = x0x + at = x1x - at = x1x + at = x0x0x1xПрофиль волнового возмущения остается неизменным на семействе характеристик x at= const,и отличен от нуля лишь в полосах x0 const x1 , что означает распространениеволн в пределах полос, ограниченных характеристиками x at = x 0 , x at = x1 ,проходящими через крайние точки интервала [x0 ,x1]. Пользуясь данной диаграммой,можно построить суммарный профиль волн в любой фиксированный момент времени.Если, например, профиль имеет вид равностороннего треугольника, то суммарныйпрофиль в разные моменты времени будет иметь видt=0t=(x-x0)/4at=(x-x0)/2at=(x-x0)/aВ случае возбуждения струны только начальным импульсом решение содержит лишьвторое слагаемое формулы (8):u(x , t) =12axa ( ) d .x atРассмотрим простейший случай, когда начальный импульс постоянен и отличен от нуляна конечном интервале [x0 ,x1], и его амплитуда равна 2a.
При этом, решение будетразностьюu(x , t) = (x + at) (x at)(9)двух первообразных подынтегральной функции. В данном случае эта первообразная () = . там, где начальный импульс отличен от нуля, и () = 0 там, где он равеннулю. Следовательно,0 ; x at x 0 ; (x + at) = x at x 0 ; x 0 x at x1 ; - волновой фронт перемещаетсяx1 x 0 ; x1 x at ;налево; (x (10)0 ; x at x 0 ;at) = x at x 0 ; x 0 x at x1 ; - волновой фронт перемещаетсяx1 x 0 ; x1 x at ;направо. Здесь в средних строчках величина x0 играет роль неопределенной константы,возникающей при интегрировании, которая выбирается так, чтобы при t = 0 прямаяx at x 0 проходила через точку x = x0 .Графически, суммарное возмущение может быть изображено в каждый фиксированныймомент времени сложением этих волновых фронтов, имеющих (с учетом знака) видПоследовательные результаты такого сложения в моменты времени tj = j(x1 – x0) /4a( j = 0, 1, …) изображены на следующих рисункахx0x1t=0x0t= (x1 – x0) /4ax0x0x1x1x1t= (x1 – x0) /2at= 3(x1 – x0) /4ax0t= (x1 – x0) /ax1Задача возбуждения полу бесконечной струны.Случай полу- бесконечного интервала 0 x с точки зрения физики означает, чторассматриваются лишь такие значения временной переменной t , при которых начальныевозмущения струны не успели дойти до ее правого конца, и его влияние можно неучитывать, считая, что он расположен бесконечно далеко от левого конца.
В этом случае,к исходной постановке, - уравнениям (1), (2), добавляются краевые условия первого иливторого рода: u(0, t) = 0 , или ux(0, t) = 0. (Условие жестко закрепленного края, илисвободного края, например, упругого стержня).Решение такой задачи можно свести к решению ее же на бесконечном интервале x , применив метод отражения, суть которого содержится в условии нижеследующейтеоремы.2Теорема (метод отражений).
. Решение краевой задачи ut = a uxx ; u(x, 0) =(x) ;ut(x, 0) = (x) на интервале 0 x с краевым условием u(0,t) =0 (или ux (0,t) =0)может быть построено как решение задачи на всей прямой x , если продолжитьфункции(x), (x), задающие начальные условия, в область x 0 нечетным(или четным) образом.Вначале рассмотрим случай краевого условия u(0, t) = 0 , и построим функции (x) и (x) следующего вида: ( x ); x 0, ( x ); x 0, (x) = .(x);x0.(x);x0. (x) = Применяя формулу Даламбера (8) с начальными условиями(11) (x) и (x) на всейчисловой прямой x , и обеспечивая, тем самым, удовлетворение уравнению (1)и начальным условиям (2) при x 0 , вычислим, чему равна функция u(x , t) при x = 0: at at 1 at ( )d ,или, подставляя сюда явный вид (11)u(0 , t) =+2 a at2функций , ,u(0,t) = at at 21 at1 0+ ( )d ( )d .
Меняя переменную2 a 02 a at на во втором интеграле, получим1 at1 0u(0 , t) = ( )d + ( )d = 0, то есть, краевое условие выполняется.2 a 02 a atВ случае краевого условия второго рода, построив продолжения начальных условий ввиде ( x ); x 0, ( x ); x 0, (x) = (x) = .(x);x0.(x);x0.из той же формулы (8) получим производную u x (x , t) в виде(12)u x (x , t) = x at x at x at x at +.22aВ точке x = 0:u x (0 , t) = at at at at +.22aУчитывая продолжение (12) для функциипродолжение для функции (x) , и тот очевидный факт, что четное (x) приводит к нечетному продолжению ее производной,получимu x (0 , t) = at at 2+ at at 2a= 0..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
