Лекция л.7 интегр.ур-я теории потенциала (1076076)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Интегральные уравнения теории гармонического потенциала.Будем рассматривать два типа краевых задач для уравнения Лапласа:Задачу Дирихле: u  0;(1)u  f ( P ), SИ задачу Неймана: v  0;(2) v n  g ( P ). SПри этом, для каждого типа краевой задачи рассматриваются как внутренняя задача вобласти D , ограниченной поверхностью S , класса Ляпунова, так и соответствующаявнешняя краевая задачи вне области D. Ограничим наше рассмотрение случаем плоскихдвумерных задач, где граница S области, - замкнутый контур Ляпунова.

Решение краевойзадачи (1) удобно искать в виде потенциала двойного слоя:u(M) =121 n ln R  M , P   ( P)dsP ,SP(3)а решение задачи (2), - в виде потенциала простого слоя:v(M) =121 ln R  M , P   ( P)dsP .(4)SОпуская точку M на границу S : M  P0  S , и требуя выполнения краевого условияпервого рода задачи (1), а также пользуясь формулой предельного значения дляпотенциала двойного слоя из лекции о свойствах этого потенциала, получим11 ( P0 ) +22 n lnSP1R P0 , P ( P)dsP = f ( P0 ) .(5)Уравнение (5) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода с ядромK ( P0 , P ) =1ln, имеющим особенность интегрируемую с квадратом.nP R P , P0Если рассматривается внешняя задача (1), то тот же предельный переход, с учетомнаправления нормали, которая всюду считается внешней, приводит к уравнению111ln ( P)dsP = f ( P0 ) .  ( P0 ) +(6)n2 S P R P , P20Аналогично, используя свойства нормальной производной потенциала простого слоя,для задачи Неймана (2), получим интегральное уравнение111 ( P0 ) +ln ( P)dsP = g ( P0 ) ,(7)2 S nP R P , P200А для внешней задачи Неймана уравнение11 ( P0 ) +22 n lnSP01R P0 , P ( P)dsP = g ( P0 ) .(8)Интегральные уравнения (5) – (8) позволяют перейти от двумерной задачи (1), или (2) кодномерной, - на контуре S , что значительно удобнее при численных расчетах.Для обоснованного применения этих уравнений предварительно нужно убедиться вразрешимости этих уравнений и единственности их решений.

Ограничим нашерассмотрение случаем областей с гладкими выпуклыми границами S , не содержащимипрямолинейных участков. Такое ограничение позволяет сделать ядра уравнений (5) – (8)положительно определенными, так как1lnds p = d  0, - угол, под которым виден элемент ds p контура S из точкиnP R P , P0P0 . То же самое справедливо и для1lnds p .nP R P , P00Рассмотрим теперь однородное уравнение (5):11 ( P0 ) +22 n lnSP1R P0 , P ( P)dsP = 0,которое переписывается в виде1ln ( P)dsP = 0.  ( P0 ) + nP R P , PSТак как n lnSP01R P0 , P(9)dsP =  (см.

лекцию о свойствах потенциала двойного слоя), тоуравнение (9) переписывается в виде n lnSP1 ( P )   ( P)  ds = 0. PR P0 , P  0Напомним, что в упомянутой лекции было показано, чтоcos n , RPP0 ,PR(10)1lnnP R P , P0  0, ввиду принятых выше ограничений на геометрию контура S=P0 ,P( косинус в числителе всюду не положителен). Пусть теперь P 0 - точка на контуре, вкоторой плотность потенциала  ( P )достигает максимального значения:  ( P 0) =max ( P ) . Выберем в равенстве (10) P0= P 0 :Scos  n , R   P P 0,P  )  ( P )   ( P)  ds = 0. (0 PR P 0, PS(11)Первый сомножитель подынтегрального выражения неотрицателен, а второй –знакопостоянен (в силу выбора точки P 0 ).

Следовательно,  ( P 0)   ( P) = 0, или ( P 0)   ( P)(12)для всех P  S, то есть  ( P ) = const , но из (12) очевидно следует, что эта константаможет быть только нулем. Следовательно,  ( P )  0 , то есть, однородное уравнение (5)имеет лишь тривиальное решение, и , следовательно, неоднородное уравнение (5)однозначно разрешимо.Если обратиться к интегральному уравнению (8) случая внешней задачи Неймана, изаменить в нем нормаль на внутреннюю по отношения к контуру S (т.е. на внешнюю по2отношению к области R \ D), с переменой знака перед интегралом, то левая часть такогоинтегрального уравнения приводится к виду с теми же знаками слагаемых, что и ууравнения (5), причем ядро интегрального оператора будет сопряженным по отношению кядру уравнения (5) (точки P0 и P переставлены местами).Из теории интегральных уравнений Фредгольма второго рода (см. курсфункционального анализа и интегральных уравнений) известно, что в случае однородныхуравнений с сопряженными ядрами, если одно из них имеет лишь тривиальное решение,то же самое справедливо и для второго.

Отсюда следует, что интегральное уравнение (8)также однозначно разрешимо.Рассмотрим теперь интегральное уравнение (6) для внешней задачи Дирихле.Соответствующее ему однородное уравнение тем же способом, что и ранее, приводится квидуcos  n , R   P P 0,P  )  ( P )   ( P)  ds = 0,(13) (0 PR P 0, PSгде  ( P 0) = max ( P ) . И, в силу знакоопределенности сомножителей подынтегральногоSвыражения, получим, что ( P 0)   ( P)(14)для всех P  S, то есть  ( P ) =  0 = const. Константа 0 является нетривиальнымрешением однородного уравнения (6).

То есть, решение уравнения (6) уже не являетсяединственным. Согласно теории уравнений Фредгольма второго рода, решениесоответствующего уравнения с сопряженным ядром, то есть уравнения (7), также неявляется единственным, а для существования его решения необходимо выполнениеусловия ортогональности правой части g ( P0 ) этого уравнения нетривиальному решениюоднородного уравнения (6): 0  g ( P)dsP = 0, то естьS g ( P)dsP =0,(15)S- условие равенства нулю полного заряда на контуре S, которое уже встречалось впредыдущих лекциях.В свою очередь, если некоторая функция h(P) – нетривиальное решение однородногоуравнения (7),то для существования решения уравнения (6) (хотя и не единственного),должно выполняться условие ортогональности его правой части f ( P0 ) и функции h(P): h( P) f ( P)dsP =0.(16)SУсловие (16) допускает простую физическую интерпретацию. Пусть цилиндрическийпроводник, имеющий в сечении плоскую область D с границей S , заряжен до некоторогопотенциала V.

В проводнике весь заряд находится на его поверхности. Пусть h ( P ) плотность поверхностных зарядов. Тогда, потенциал, создаваемый этим распределением,является потенциалом простого слоя вида (4), с плотностью h ( P ) :v(M) =121 ln R  M , P  h ( P )dsP .SНормальная производная этого потенциала изнутри области D равна нулю, т.к. внутрипроводника потенциал равен константе.

При M  P0  S изнутри получаем однородноеинтегральное уравнение (7) с функцией h ( P ) в качестве его нетривиального решения,которая, очевидно, должна быть пропорциональна функции h(P)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций