Лекция л.6 потенц-лы простого и двойного слоя (1076075)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Гармонические потенциалы простого и двойного слоя .В предыдущих лекциях было показано, что фундаментальные решения уравнения Лапласа, тоесть, те, которые удовлетворяют однородному уравнению Лапласа во всем пространстве R3 (R2),за исключением единственной точки M0 , в которой эти решения имеют особенности типаполюса первого порядка (или логарифмическую особенность), имеют вид11;4 R( M , M 0 )11ln(М, M0) =.R( M , M 0 )2 (М, M0) =(1.1)(1.2)Здесь R(М, M0)= {(x – x0 ) 2 + (y – y0 ) 2 + (z – z0 ) 2}1/ 2, в случае R3 , и R(М, M0)= {(x – x0 )2+ (y – y0 ) 2 }1/ 2 , в случае R2.Пусть теперь некоторое поле создается непрерывным распределением масс, или непрерывнымраспределение электрического заряда, на некоторой поверхности , с плотностью (P).Скалярный потенциал, удовлетворяющий однородному уравнению Лапласа всюду внеповерхности  , имеет видV(M) =14 ( P) R(M , P) d P(1.3)в случае R3 , иV(M) =121 ln R( M , P)  ( P)d P(1.4)Lв случае R2 , где L - кривая, вдоль которой распределена плотность (P) в плоском случае, иносит название потенциал простого слоя.Другим типом потенциала является потенциал двойного слоя.

Его физический смысл состоит вследующем. Рассмотрим диполь, то есть два разноименных близко расположенных заряда –  и+ . Пусть l - расстояние между ними. Величину l = N называют дипольным моментом.Потенциал диполя в некоторой точке M(x, y, z) равен111N 1V =–= ( – ) =( – ) , где r1 и r2 - расстояния от точки M до точек, вr2r2r1r1r1 l r2которых расположены заряды. Если l мало по сравнению с расстоянием до точки M, то потеореме о конечных приращенияхd 1V = N, где производная берется по направлению отрезка, на концах которогоdl Rрасположены заряды ( в направлении от заряда –  до  ), аR = {(x –  ) 2 + (y –  ) 2 + (z –  ) 2}1/ 2 - расстояние от точки M до некоторой средней точкиdP( , ,  ) отрезка l. Так как= (l), где l – единичный вектор в направленииdl1d 11дипольного момента, то= – 2 (lR).

Но R =R = r – единичный вектор вRdl RRd 111направлении R . Следовательно,= – 2 (l r) = – 2 cos(l,r). Если взять теперь двеdl RRRэквидистантные поверхности  и ’, находящиеся на малом расстоянии  друг от друга, накаждой из которых плотно расположены заряды разного знака, с плотностью распределения  ,то при   0 дипольный момент dN элемента поверхностей dP будет равен  dP . Еслиобозначить через n общую нормаль к полученной двусторонней поверхности, то потенциалd1статического поля элемента dP поверхности в точке M(x, y, z) будет равен d Pd n P RM , P=–12RM , Pcos(n,r)(P)dP . Потенциалом двойного слоя назовем интеграл141  nP ( P)d P .(1.5)Очевидно, что в другой записи потенциал двойного слоя имеет видcos(r, n)1W(M) = ( P)d P .4  R 2(1.6)W(M) = –RM , PM,PПотенциал двойного слоя в случае двух независимых переменных отличается лишь видомфундаментального решения в подынтегральном выражении:W(M) = –121W(M) =21  nP ln RM , P ( P)dsP .(1.7)LLcos(r, n)RM , P ( P)ds P .(1.8)Здесь L - некоторая кривая,  - плотность потенциала на этой кривой.Очевидно, что пока точка M находится строго вне поверхности  (кривой L ), потенциалыпростого и двойного слоя удовлетворяют однородному уравнению Лапласа, и вообще, допускаютдифференцирование любого порядка по координатам точки M .

Наша цель теперь, - изучитьсвойства этих потенциалов в случаях, когда точка M принадлежит носителю ( или L),плотности потенциалов, или стремится к этому носителю.Рассмотрим вначале двумерный случай потенциала двойного слоя с постоянной плотностью  0= const :1W0(M) =20 Lcos(r , n)RM , Pds P .(1.9)Возьмем достаточно узкий сектор угловой величины d с вершиной в точке M . Он вырежет накривой L малую дугу величины ds с концами P и Q. Через точку P проведем дугу окружности сцентром в точке M . Стороны сектора вырежут на этой окружности дугу величины dl .nPRddsdlQMУгол между дугами ds и dl очевидно равен углу между внешней нормалью n в точке P и R (каку углов с взаимно перпендикулярными сторонами).

При этом, dl = Rd ,дуги . и dl =cos(n,r)ds ( с точностью до бесконечно малых большего прядка ). Следовательно,cos (r , n )= d ,(1.10)RM , Pи геометрический смысл подынтегрального выражения в (1.9) - угол d, под которым виден изcos(r, n)точки M элемент дуги ds. При этом, весь интеграл ds P равен, очевидно, величинеLRM , Pугла, под которым видна из точки M вся кривая L.Замечание. Отметим, при этом, что величина угла положительна, если эта точка расположена состороны вогнутости кривой (угол между n и r - острый), и отрицательна, если точкарасположена со стороны выпуклости этой кривой (угол между n и r - тупой).Рассмотрим теперь случай замкнутой кривой L .

Тогда, если точка M принадлежит открытойобласти, ограниченной этой кривой, то рассматриваемый интеграл равен 2 , - углу видимостивсей замкнутой кривой изнутри. Если точка M принадлежит границе области, т. е. самой кривойL, то этот угол видимости равен, очевидно, . И если точка M вне области с границей L , то, сучетом замечания, суммарное приращение угла видимости при обходе точкой P всей кривойравно нулю.

Таким образом, можно объединить все три случая в виде следующего результата 0 ; M внутри L ,W0(M) =12 0 ; M на L ,(1.11)0 ; M вне L.Аналогичные рассуждения будут справедливы и для потенциалов (1.5), (1.6) в случае трехнезависимых переменных, если рассмотреть эти потенциалы с постоянной плотностью 0 :cos( r , n)1 0  2d P .W0 (M) =RM , P4Разница состоит лишь в том, что вместо плоского угла d означает в этом случае телесныйугол, вместо dl возникает d - элемент сферы, вырезаемый из нее конусом телесного угла d ,и ds – элемент поверхности  , вырезаемый из нее тем же конусом. Формула (1.10) полностьюсохраняет свой вид . Точно также, как и в плоском случае, двойной интеграл равен 4 - полномутелесному углу, под которым замкнутая поверхность  видна из точки М, расположеннойвнутри  , или 2 - половине полного телесного угла , если М – на самой поверхности  , инулю, если М – вне  .

Поэтому, для W0 (M) и в случае трех независимых переменныхсправедливы формулы 0 ; M внутри ,1W0(M) = 0 ; M на ,(1.12)20 ; M вне .Прямое значение потенциала двойного слоя .Рассмотрим теперь более подробно потенциал двойного слоя (1.6) в случае, когда точка M =P0 также принадлежит поверхности , то есть интеграл запишется в видеcos(r, n)1W(P0) =(1.13) ( P)d P ,4  R 2P0 , Pи может рассматриваться только как несобственный.

Он носит название прямого значенияпотенциала двойного слоя.Заметим, что особенность подынтегрального выражения в (1.13) на самом деле имеет порядок 1  1  , а не O  2  , ввиду того, что cos( r , n) в числителе дроби, являясь косинусом углаO RP , P  RP , P  0  0 между rP , P и нормалью к  в точке P, также стремится к нулю при P P0 .0Можно показать, что этот интеграл существует, и принимает конечные значения. Будем в0дальнейшем обозначать его как W , называя прямым значением потенциала двойного слоя награнице области (если поверхность  – замкнута). При этом нам придется ограничить классрассматриваемых поверхностей поверхностями класса Ляпунова.Определение. Поверхность называется поверхностью Ляпунова, если выполняются следующиеусловия:1.

В каждой точке поверхности существует определенная нормаль (касательная плоскость).2. Существует такое число d  0 , что прямые, параллельные нормали в некоторой точке Pповерхности , пересекают не более одного раза часть  'P поверхности  , лежащую внутрисферы радиусом d с центром в P .3. Угол (P, P1 ) , образованный нормалями в точках поверхности P и P1 , удовлетворяетусловию (P, P1 )  Ar , где r – расстояние между P и P1 , A – постоянная, и 0    1.Замечание. В двумерном случае аналогичным образом вводится понятия кривых Ляпунова, Онинеобходимы для обоснования существования прямого значения потенциала двойного слоя вдвумерном случае:W(P0) =12cos( r , n) ( P)dsP .L RP ,P(1.14)0В многочисленных учебниках и монографиях по теории гармонических потенциаловприводится доказательства существования интегралов (1.13), (1.14) как несобственных наповерхностях (кривых) класса Ляпунова.

Поэтому мы не останавливаемся здесь на этихдоказательствах.Для прикладных задач более важным является вопрос о применимости потенциалов двойногослоя для построения решений краевых задач для уравнения Лапласа. И если в открытой областиD с границей Ляпунова  (или L ) потенциал двойного слоя удовлетворяет однородномууравнению Лапласа, то полное решение первой краевой задачи предполагает такжеудовлетворение краевому условию Дирихле на  :lim W  M  = f(P0 ).(1.15)M P0Необходимо выяснить, возможен ли такой предельный переход, и как получаемый предел0связан с прямым значением W (P0) потенциала двойного слоя на  .Пусть точка M расположена внутри  , и n – нормаль, внешняя к поверхности  .

Выберемпроизвольную точку P0   . Разобьем потенциал (1.6) на два слагаемых:cos( r, n)cos( r , n)11W(M) =(1.16) ( P )d P + ( P )d P ,224  P RM , P4  \  P RM,P  0 0где  P - сколь угодно малая окрестность точки P0 на поверхности0  P0  , переписав плотность (P) в виде14(P) – ( P0) + ( P0) , приведем к видуcos( r, n)cos( r , n)1[ ( P)   ( P0 )]d P + ( P0 ) d P .22RM , PR4 PM ,PP  . Первый интеграл по(1.17)  0 0После этого, в (1.16) уже можно сделать предельный переход M  P0 . Действительно, впоследнем интеграле в (1.16) точка P0не принадлежит области интегрирования, иподынтегральное выражение не имеет особенности.

Последний интеграл в (1.17) при M  P0 ,1 ( P0 ) . Первый интеграл в (1.17) при M = P0 не являетсясогласно (1.12), принимает значение2несобственным, поскольку плотность потенциала  ( P)   ( P0 ) в нем обращается в ноль при P =P0 , также как и cos( r , n) , и для него можно провести следующую оценку:14 P0Приcos( r , n)[ ( P )   ( P0 )]d P2RM,Pстягивании1| cos(r , n ) | max  ( P )   (P0 )24  PRM P  0,P  0окрестности  P0 вточку,d P .max  ( P )   ( P0 )P (1.18)0.Интеграл 014P  0| cos( r, n) |d P является прямым значением потенциала двойного слоя для малой частиRP2 , P0 P поверхности Ляпунова0сколь\P 0угодномалымпри , то есть, существует как несобственный и может быть сделанстягивании  P0 вточку.Последнийинтегралcos( r , n)0 ( P)d P в (1.16) при   P0   0 становится прямым значением W (P0) потенциала2RP , P0двойного слоя.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций