Лекции #3 по Мат.Физ. Уравнение попересных колебаний тонкой упругой струны (1076064)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Уравнение поперечных колебаний тонкой упругой струны и продольныхколебаний упругого стержня.Будем считать, что колебания струны происходят в одной плоскости, то есть, еесмещение от положения равновесия можно описать одной функцией u(x,t) , где x пространственная координата вдоль невозмущенной струны, t – время, u – декартовакоордината в той же плоскости, ортогональная x .

Струна рассматривается как гибкаяупругая нить. Математически выражение свойствагибкости заключается в том, чтонапряжения, возникающие в струне, направлены всегда по касательной к профилювозмущенной струны в каждый момент времени (струна не сопротивляется изгибу).Величина натяжения в струне, возникающего за счет ее упругости, вычисляется по законуГука. Будем рассматривать малые поперечные колебания струны, что означает, что можнопренебречь величиной ux по сравнению с единицей.uTxxx + xРассмотрим силы, действующие на малый участок струныx.

Внешние силы,действующие на струну, также как и силы инерции, направлены в поперечномнаправлении, вдоль оси u . Проекция сил натяжения на ось x равна T(x + x)cos( x +x ) – T(x)cos(x), а на вертикальную ось:T(x + x)sin( x + x ) – T(x)sin(x). Выразим cos и sin через тангенс: cos=11  tg 21=1  u x ( x, t )2 1, так как, (ux)2 мало по сравнению с единицей, и,следовательно, можно считать, что проекция сил натяжения T(x + x) – T(x) на ось x независит от переменной t.

Сумма проекций всех сил, действующих на участок струны, наось x должна быть равна нулю (колебания имеют поперечный характер), то есть, T(x +x) – T(x) = 0. Так как приращение x произвольно , то отсюда следует, что T(x + x)= T(x) = T 0 , - сила натяжения не зависит также и от x. Аналогично, sin ==u x ( x, t )1  u x ( x, t )2tg1  tg 2 ux .

Следовательно, проекция сил натяжения на ось u равнаT0 (ux (x + x , t ) – ux ( x, t))  T0 ux x x, если использовать формулу конечныхприращений. Сила инерции вдоль оси u равна произведению ускорения на массу участкаструны, то есть(x)x ut t , где (x) - погонная плотность струны. Она направленапротивоположно сумме сил натяжения и внешних сил, распределенных с плотностью p(x,t) .

Следовательно, полный баланс сил вдоль оси u равен[T 0 ux x + p(x, t) – (x) ut t ]уравнение в частных производныхx = 0. В силу произвольности x , отсюда следуетut t = a2 ux x + g(x, t).(1)Здесь a = T0 / (x), g(x, t) = p(x, t) / (x).2Замечание. Если упругие свойства струны меняются от точки к точке, что соответствуетпеременному модулю упругости k(x) в законе Гука, то баланс сил натяжения,действующих на участок струны следует писать в виде k(x + x)ux (x + x , t ) –k(x)ux ( x, t)) (x)ut t =u ( x ,t )( k(x)), и уравнение (1) примет более общий видxxu ( x ,t )( k(x)).

+ p (x, t).xx(2)Рассмотрим теперь упругий стержень постоянного поперечного сеченияSсплотностью (x).xx+ xxУпругие продольные колебания материала стержня описываются функциейu(x,t),характеризующей продольное отклонение малого слоя стержня [x , x+ x] от положенияравновесия.

По формуле конечных приращений, u( x+ x,t) u(x,t) + ux(x,t)  x .Следовательно, относительное удлинение стержня в каждой точке описывается величинойux(x,t) . Но тогда, по закону Гука, напряжение T в каждой точке (сила натяжения) равнаESux(x,t), гдеE - модуль упругости Юнга. Равнодействующая сил натяжения,действующая на участок стержня [x , x+ x] : T(x + x) – T(x) = ES[ux(x+  x ,t) –ux(x ,t)]  ES uxx (x ,t)  x .

В стержне действуют также внешние силы, распределенныес плотностью p(x, t), так что на рассматриваемый участок действует суммарная силаS  x p(x, t). Двум этим силам противодействует, по принципу Даламбера, сила инерции– (x)ut t S x . Общий баланс сил для выбранного участка стержня имеет вид– (x)ut t S x + ES uxx (x ,t)  x + S  x p(x, t) = 0 .Сократив в (3) объемный множитель S(3) x , получим уравнение продольных колебанийупругого стержня в видеE uxx (x ,t) + p(x, t) = (x)ut t .Если(x) = const, то уравнение принимает видut t = a2 uxx + g(x, t).2Здесь a = E /(4) , g(x, t) = p(x, t) /  .Замечание. Если, как и в случае струны, модуль Юнга E является переменной величиной:E = k(x), то уравнение (3) приобретает вид (2).Краевые условия.На краях струны или упругого стержня, если их длина ограничена и равна l, должнысоблюдаться свои условия, соответствующие состоянию этих точек, которое, вообщеговоря, отличается от состояния внутренних точек. Так, например, простейшие условия,соответствующие жесткому закреплению краев, если x [0, l] , требуют пребыванияэтих точек в невозмущенном состоянии во все моменты времени.

Математически, этосоответствует краевым условиям первого рода:u(0,t) = 0; u(l, t) = 0.(5)Наоборот, если края свободны (не закреплены), то в точке x = 0 отсутствует силанатяжения, и баланс сил на отрезке [0, x] запишется в видеES ux(  x ,t) + S  x p(x, t) – (x)ut t S  x = 0.(6)Устремляя в равенстве (6)  x к нулю, получим краевое условие второго родаux( 0 ,t) = 0. Точно также, на правом конце получим аналогичное условие второго родаux(l ,t) = 0, если  x 0 в балансе сил для отрезка [ l –  x, l]:– ES ux( l – x ,t) + S  x p(x , t) – (x)ut t S  x = 0.Итак, условие незакрепленныхкраев соответствует краевым условиям второго родаux( 0 ,t) = 0, ux(l ,t) = 0.(7)Замечание. Краевые условия второго рода (7) физически применимы, в основном, кслучаюпродольных колебанийнезакрепленныйупругихкрай означает отсутствиестержней,таккакнатяжения струнывислучаеструныневозможностьпоперечных колебаний.Рассмотрим теперь наиболее общий случай краевых условий, - упругое закреплениекраев (например, с помощью пружины).

В этом случае в балансе сил появляетсядополнительное слагаемое – ku(0,t), или – ku(l,t), - упругое противодействиеотклонению от положения равновесия. Общие балансы сил на правом и левом концебудут иметь видES ux(  x ,t) + S  x p(x, t) – (x)ut t S  x – ku(0,t) = 0.– ES ux( l –  x ,t) + S x p(x , t) – (x)ut t S  x – ku(l,t), = 0.Устремляя  x к нулю, получим краевые условия третьего родаux( 0 ,t) – hu(0,t) = 0; ux( l ,t) + hu(l ,t) =0 ,где h = k/ ES.(8)Начальные условия.Поскольку по временной координате t уравнения (2), (4) имеют второй порядок, длявыделения единственного решения, как будет доказано в последствии, необходимопоставить два начальных условия. В общем случае они сводятся к заданному отклонениюот положения равновесия в начальный момент времени t = 0 , и заданному значениюскорости (импульса) отклонения в этот момент.

Математически это выражается в видедвух равенствu(x, 0) = (x), ut(x, 0) = (x),где(x) и (x), - заданные функции.(9).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций