Главная » Просмотр файлов » Лекции #5 по Мат.Физ

Лекции #5 по Мат.Физ (1076070)

Файл №1076070 Лекции #5 по Мат.Физ (Электронные лекции)Лекции #5 по Мат.Физ (1076070)2018-01-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Решение одномерного уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.Рассмотрим однородное уравнение теплопроводностиut = a2 uxx ,(1)с начальным условиемu(x, 0) = (x),(2)в том случае, когда влиянием краев области распространения тепла (краев областинепрерывностикоэффициентатеплопроводности)можнопренебречь.Это означает, что рассматривается ограниченный интервал времени [0, T], в пределахкоторого тепловой поток еще не достиг границ. В этом случае удобно рассматривать задачу(1), (2) на бесконечном интервале    x  .

Для решения такой задачи удобно применитьк уравнению (1) преобразование Фурье, потребовав, чтобы решение u(x,t) было равномерно . обозначив образ Фурье решения относительноубывающей функцией при |x|пространственной переменной через1U(, t) = u ( x ,t ) e2   i xdx , получим относительно U(, t) , после двукратногоинтегрирования по частям, О.Д.У. первого порядка видаU t (, t) + a22 U(, t) = 0.(3)Общее решение уравнения (3) запишется в видеC() ea  t22.(4)Неопределенная константа C() должна быть определения в явном виде с помощьюначального условия (2). Для этого возьмем от решении (4) обратное преобразование Фурьеu(x,t) =12 C ( ) ea  t22ei xd ,(5)и, положив в (5) t = 0, получим равенство12 C ( ) ei xd = (x).(6)Из равенства (6) следует, что C() =  (), где() – образ Фурье12  ( x)e i xdxфункции (x).

, задающей распределение температуры u(x,t) в начальный момент времени.Следовательно,1u(x,t) =a  t2  ( ) e22ei xd ,(7)- явное решение поставленной задачи на бесконечной прямой. Подставим выражение для() в интеграл (7):12   ( ) e i d ea  t22ei xd , и изменим порядок интегрирования по  и  : u(x,t) =12 ( )  e i e a22tei xdd .(8)eРассмотрим отдельно внутренний интеграл i e a22tei xd . Выпишем общийпоказатель подынтегральной экспоненты– a2 t + i(x   ) , - полином второго2порядка, и выделим в нем полный квадрат:– [(at ) – 2 a tx   2–x   22a t24a t]–x   224a t= – [a t – x   i]2 –2a t.

Тогда, рассматриваемый интеграл примет вид24a te x   i2x    224a t [ a  t  x   ie]22a td .(9)В оставшемся интеграле сделаем замену переменной интегрирования a t – x   i2a t= , что приводит интеграл к видуex    2  i2a t24a ta tx xe  i2a t2d .(10)В интеграле (10) интегрирование ведется по прямой параллельной действительной оси илежащей в нижней полуплоскости комплексного переменного  на расстоянииx   . Но2a tпоскольку подынтегральная функция является аналитической во всей комплекснойплоскости, то контур интегрирования можно сдвинуть параллельно вверх на тот же отрезок,вплоть до совпадения с действительной осью, придя к интегралуe2d =.Окончательно, получимex    224a t.(11)a tПосле подстановки этого выражения в качестве внутреннего интеграла в (8), получимu(x,t) =ex    224a t2a  t ( ) d .Функцию G(x, ,, t) трех переменных(12)ex    24a 2t4 a t2, - ядро интегрального оператора в (12),называют функцией Грина уравнения теплопроводности на бесконечном интервале    x , или фундаментальным решением.

В этих обозначениях решение задачи (12) может бытьзаписано в видеu(x,t) = G ( x ,  , t )  (  ) d(13)Замечание. Если отсчет времени начинается не с нуля, а с произвольного начальногозначения t 0 , то выражение для функции Грина имеет видex    224a (t  t 0 )4 a ( t  t 0 )2.(14)Если обозначить a ( t  t ) через  , то выражение (14) примет вид20ex    24,4 (15)позволяющий исследовать качественно поведение этой функции при различных значенияхвходящих переменных. Так как при малых значенияхбыстро убывает с ростом величины ( x   )2 экспонента в числителе оченьот нуля и далее, а сама функция (15) четнаотносительно точки x   , то ее график является острым пиком с амплитудой14 быстро стремящимся к нулю по обе стороны от точки x   .

По мере увеличения,амплитуда пика убывает, а область существенного отличия функции (15) от нулясимметрично увеличивается : пик постепенно расплывется, становясь все более пологим.В качестве примера применения формулы (13) рассмотрим задачу с начальным условиемT ; x  0,(x) =  1 T2 ; x  0.Тогда0u(x,t) = T2ex    22d + T1 4a t2a  tex    22d ,4a t2a  t0что легко преобразуется к видуu(x,t) =T20e   x  2d24a tx2a t0T1e +  x  224a tВ интегралах формулы (16) сделаем замену переменногоdx2a tx   2a tu(x,t) =T2x2a t e2d +T1Обозначая неотрицательную величинуed .(16)= . Получим(17)x2a tx2a tпереписать в виде2,= f(x,t), правую часть (17) можно0T2e20T2d –e20T1d + f ( x,t )e2d + f ( x,t )T1e2d .0В интегралах, содержащих отрицательные пределы интегрирования, заменим переменную на –  , и, приводя подобные члены, получимT1  T2e2d +T1  T20так какe 2d =f ( x,t ) e20T  T2T  T2+ 1d = 12f ( x,t ) e2d ,0 / 2.

Окончательно,0u(x,t) =T1  T2 T1  T2x+(),222a tгде (z) =2ze2(18)d , - табличный интеграл ошибок.0Из формулы (18) видно, что предельный тепловой режим призначению(0) = 0 , и предельной температуре u =t   соответствуетT1  T2, т. е. полному ее2выравниванию на всей прямой с данным предельным значением.

Аналогично, при x = 0 (вточке разрыва начальных значений) температуразначениювсегда постоянна и равна тому жеT1  T2.2Задача на полупрямой.Пусть теперь область пространства, где строится решение есть полупрямая 0  x  .Физически это соответствует случаю, когда начальное распределение температуры таково,что за рассматриваемый отрезок времени тепловой поток успевает достичь левого краяобласти, но не достигает ее правого края.

На границе области, как обычно, требуетсяпоставить краевое условие. Будем считать, что если краевое условие было в началенеоднородным ( на границе задан принудительный температурный режим u(0,t) = (t), илиux (0,t) = 1 (t), - заданный тепловой поток), то стандартная редукция к задаче соднородным краевым условием путем добавления к решению явной функции проведена. Тоесть, мы имеем дело с однородным краевым условием первого u(0,t) =0, или второгоux (0,t) =0 рода.Докажем, что для построения решения такой краевой задачи, как и в случае уравненияколебаний струны, достаточно продолжить начальное условие u(x,0) = (x) на полупрямую   x  0 четным или нечетным образом.2Теорема.

Решение краевой задачи ut = a uxx ; u(x, 0) =(x) ; на интервале 0  x  с краевым условием u(0,t) =0 (или ux (0,t) =0) может быть построено как решение задачина всей прямой    x  , если продолжить функцию (x),задающую начальное условие,в область   x  0 нечетным (или четным) образом.   (  x );    x  0;  ( x) ; 0  x   .Действительно, пусть  (x) = ~ (x,t) продолженной задачи в виде (12), и рассмотрим его в точке x =Запишем решение u0:eu~ (0,t) =24a t  2a  t ( ) d = 00e22 2a  t4a t ( ) d +ee224a t  2a  tзаменим в первом интеграле переменную2 (  ) d +e22 2 a  t  ( ) d ,04a tи на   .

Получим22 2 a  t  ( ) d04a t= 0, То есть, u~ (x,t) удовлетворяет краевомуусловию первого рода.В случае четного продолжения (  x );    x  0; (x) = взяв первую производную  ( x) ; 0  x   .~ (x,t) в формуле (12), и положив x = 0 получимпо x от u0u~ x(0,t) =+0ee224a t4a t  t3 (  ) d +  0e224a t4a t  t3224a t4a t  t3 ( ) d = 0, что и требовалось. ( ) d =0e224a t4a t  t3 ( ) d.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
261,14 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6508
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее