Лекции #2 по Мат.Физ (1076063)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 21.6 Потенциалы электромагнитного поля. Поля точечных источников.Наличие границ раздела сред (границ препятствий), на которых необходимо ставитьдополнительные граничные (краевые) условия, сильно осложняет математический аппаратэлектродинамики. В частности, компоненты электрического и магнитного полей оказываютсясвязанными граничными условиямив случае достаточно произвольных границ, и задачапостроения полей E или H не распадается на независимые скалярные задачи для волновыхуравнений (1.4.2), (1.4.3) относительно отдельных компонент этих полей.

Например, в случаеграничного условия (1.5.3), на поверхности металла S оказываются связанными три компонентыэлектрического поля. В случае условий (1.5.2) на поверхности диэлектрика оказываютсясвязанными шесть компонент полей E , и столько же компонент полей H (внешних e иeвнутренних i). Импедансное краевое условие (1.5.4) связывает три компоненты поля E с тремяeкомпонентами поля H .Для преодоления возникающих трудностей в теории граничных задач электродинамики развитспециальныйаппарат,позволяющийуменьшитьчисловектор-функций,подлежащихопределению., путем введения вспомогательных искомых векторных и скалярных полей,называемых потенциалами.Рассмотрим, например, стационарную систему Максвелла (1.3.2), (1.3.3) в предположенииоднородности средыrot H + i ~ E = j e ;rot E - i H = 0,соответствующую случаю возбуждения лишь токами электрического типа, и введем векторноеeeполе A , называемое векторным потенциалом электрического типа, и такое, что H = rotA .Подставляя это выражение в оба уравнения системы, получимrot rotAe + i ~ E = j e ;rot ( E - i Ae) = 0.Из последнего равенства следует существование такого скалярного поляскалярным потенциалом электрического типа, чтоe, называемогоE - i Ae = - e .(1.6.1)i Ae - Заменяя электрическое поле в первом уравнении системы наeи пользуясьтождеством (1.4.1), получим~ (div Ae - i ~  e) -  Ae - k 2 Ae = j e .eПоскольку поля A и(1.6.2) e пока произвольны, с целью упрощения равенства (1.6.2) их подчиняютдополнительному условиюdiv Ae - i ~  e = 0,(1.

6.3)называемому калибровкой Лоренца. После этого, из (1.6.2) следует неоднородное волновоеуравнение для векторного потенциала~Ae + k 2 Ae = - j e .(1.6.4)Возьмем теперь уравнение (1.2.3) и подставим в него выражение для электрического поля E изравенства (1.6.1)div(- ~  e + i ~  Ae) = .eРаскрывая скобки и заменяя div A на i ~ eиз (1.6.3), получим неоднородное волновоеуравнение для скалярного потенциала~ e + k 2  e = -  / ~ .(1.6.5)Как уже отмечалось выше, в задачах электродинамики статические заряды, как правило, нерассматриваются. В этом случае уравнение (1.6.5) становится однородным.Если рассматривать симметричный случай системы Максвеллаrot H + i ~ E = 0 ;rot E - i H = j m,с возбуждением поля токами только магнитного типа, то совершенно аналогично вводятсявекторный A и скалярный  потенциалы магнитного типа: E = rotA , связанные калибровкойmmmЛоренцаdiv Am + i   m = 0,(1.6.6)mприводящей к неоднородному волновому уравнению для A ,~Am + k 2 Am = - j m ,(1.6.7)и однородному~ m + k 2  m = 0,(1.6.8)для  .

При этом, магнитное поле H выражается через A , mmmв виде H = - i~ A m - m .В общем случае неоднородной системы (1.3.2), (1.3.3), когда возбуждение задают обасторонних тока, - электрический и магнитный, воспользовавшись принципом суперпозиции,emможно выразить поля E и H через два векторных потенциала A и A . При этом, скалярныепотенциалы e, mможно исключить из рассмотрения, воспользовавшись калибровочнымисоотношениями (1.6.3), (1.6.6), что приводит к выражениям:E = i  Ae -1grad (div Ae) + rot Am;~i (1.6.9)1H = - i ~ Am +grad (div Am) + rot Ae.i (1.6.10)Отметим еще, что в случае нестационарной системы уравнений Максвелла потенциалы вводятсяаналогичным образом. Так, в предположении постоянства параметров среды, в нестационарномemслучае вместо волновых уравнений (1.6.4), (1.6.7) для A и Aполучаются нестационарныеволновые уравнения с потерямиA e2AeA - - = - j e,2tt(1.6.11)A m2AmA - - = - j m;2tt(1.6.12)emа калибровочные соотношения имеют видdiv A + e+   e = 0,tdiv Am - m= 0.teЕсли электромагнитное поле возбуждается токами только одного типа (электрическими илимагнитными), введение векторного и скалярного потенциаловсводят векторную задачуэлектродинамики, требующую нахождения, в общем случае, шести скалярных функций(компонент электромагнитного поля), к четырем искомым скалярным функциям.

Можноуменьшить это число еще на единицу введением другого типа потенциалов: векторныхпотенциалов Герцаeиmэлектрического и магнитного типов. Для этого достаточно определить скалярныепотенциалы  , e e = - div e ,mкак дивергенции вспомогательных векторных ролей  , emв виде m = - div m .Калибровочные соотношения Лоренца останутся при этом справедливыми, если положитьAe = - i ~  e ,(1.6.13)A m = i   m.(1.6.14)emПереписывая волновые уравнения (1.6.4), (1.6.7) для A и Aчерез  и emс использованиемравенств (1.6.13), (1.6.14), получим~ e + k 2  e = 1~ j e ,(1.6.15)~ m + k 2  m = - 1 j m .(1.6.16)i i Решая отдельно каждую из двух задач, соответствующую возбуждению поля одним типомeстороннего тока ( j , или jm), можно каждый раз свести ее к трем искомым скалярнымфункциям (компонентам потенциалов Герцаeилиm).

Решение для общего случаявозбуждения может быть получено, как и прежде, используя принцип суперпозиции, чтоприводит к следующим выражениям для полей E и H, имеющим более компактный вид, если вравенствах (1.6.9), (1.6.10) заменить векторные потенциалы потенциалами Герца:~E = k 2  e + grad (div  e) + i  rot  m;~H = k 2  m + grad (div  m) - i ~ rot  e.(1.6.17)(1.6.18)Рассмотрим теперь подробнее выражения для правых частей системы Максвелла (1.3.2), (1.3.3)je; jm, наиболее характерные для практических задач электродинамики. Согласно общемуподходу, принятому в задачах математической физики для дифференциальных уравнений,ключевой является задача с точечными источниками возбуждения, то есть задача для функцииГрина.

Задачи с любым другим непрерывным распределением сторонних токов решаются вявном виде путем интегрирования произведения плотности распределения источников нафункцию Грина по области локализации источников. В случае системы Максвелла точечнымисточником поля электрического типа является электрический диполь с плотностьюэлектрического тока je(M) = p0  (M, M0), где p0 - постоянный вектор, называемый дипольныммоментом электрического диполя, а  (M, M0), - дельта функция Дирака. Вектор p0 совпадает понаправлению с прямой, проходящей через пару разноименных колеблющихся зарядов диполя.

Вслучае возбуждения электромагнитного поля источником магнитного типа (магнитнымдиполем), плотность тока определяется в виде jm= m0  (M, M0), где m0 – постоянный вектор,называемый дипольным моментом магнитного диполя. Вектор m0 ортогонален плоскости малоговитка с током.1.7. Система Максвелла в ортогональных криволинейных координатах.Использование систем ортогональных криволинейных координат при постановке и решенииграничных задач электродинамики преследует цель максимально упростить вид граничныхусловий. Обычно выбирается та система ортогональных координат, в которой поверхностьразрыва свойств среды (или поверхность рассеивающего объекта) описывается в новыхортогональных координатах уравнениемi= const , где  i - одна из трех криволинейныхкоординат. Помимо этого, применение криволинейных ортогональных систем координатпозволяет, в ряде случаев, дополнительно уменьшить число независимых скалярных функций, решенийволновогоуравнения,черезкоторыеявновыражаютсявсекомпонентыэлектромагнитного поля, сведя их до двух функций (скалярных потенциалов).Напомним выражения для основных дифференциальных операторов векторного анализа вкриволинейных ортогональных координатах.

Если обозначить новые ортогональные координатычерез1= 1(x, y, z) , 2= 2(x, y, z), 3= 3(x, y, z); а единичные взаимноортогональные орты этой координатной системы (каждый из которых ортогонален поверхности i = const) через e1 , e2 , e3 , то основные векторные дифференциальные операторы примутвидgrad u = e1 uh1 1divA =1h1 h2 h3+ e2  u + e3  u ;h2  2h3 3 h2 h3 A1    h1 h3 A2    h1 h2 A3  ; 2 3  11e1h2 h3rotA = 1h1 A11e2h1 h3 2h2 A21e3h1 h2. 3h3 A3(1.7.1)(1.7.2)(1.7.3)Здесь h 1 ( 1 ,  2 ,  3 ) , h 2 ( 1 ,hi = x  i2   y  i2   z  i 2 ,  3 ) , h3 ( 1 ,  2 ,  3 ) - коэффициенты Ламэ:2 . При этом, оператор второго порядка div(gradu),совпадающий в декартовых координатах с оператором Лапласа  , имеет видdiv(gradu) =1h1 h2 h3   1u h h 23h1  1   2uh h13h2  2u  (1.7.4)   h h   1 2 h  3 33 Среди всех возможных ортогональных систем координат наибольший интерес представляют те,коэффициенты Ламе которых удовлетворяют специальным условиям:h 1 = g1 ( 1 ,  2 , )g( 3 ); h 2 = g2 ( 1 ,  2 , )g( 3 ); h3  1,что эквивалентно условию(1.7.5)  h 2   h 1  0 .

В этой ситуации возможно ввести два3  h 1 3  h 2 скалярных потенциала U и V, через которые выражаются в явном виде все шесть компонентэлектромагнитного поля. В самом деле, рассмотрим поля двух типов:E e = rotrot(e3 U); H e =  i ~ rot(e3 U);(1.7.6)E m = i  rot(e3 V); H m = rotrot (e3 V),(1.7.7)и стационарную однородную систему Максвелла с постоянными параметрами среды. Первое изуравнений системы rot H + i~ E = 0 очевидно удовлетворяется полями (1.7.6) при любойдважды непрерывно дифференцируемой функции U, что проверяется их непосредственнойподстановкой в это уравнение. Подставляя поля (1.7.6) в выражение rot E - i H ,соответствующее второму уравнению системы, приводим его к виду~rot[rotrot(e3U)  k 2 e3U].(1.7.8)Следовательно, второе уравнение системы Максвелла будет удовлетворено, если функция Uудовлетворяет уравнению~rotrot(e3U)  k 2 e3U = 0.(1.7.9)Чтобы получить одно скалярное уравнение относительно функции U, преобразуем(1.7.9),расписав операцию rotrot(e3U) с помощью символического детерминанта (1.7.3):  h2  h3U  +е 12h1 h3  3h 2 h3  3  h3 h1 1 е1 1e31h1 h2   1 h2 h3U   h h   1 2 1 3 h1  h3U  h h  2  3 2 h1  h3 U  h h  2  2 3 ~ 2  k e3U = 0.Пользуясь свойствами коэффициентов Ламэ (1.7.5), то есть тем, что h3h2h1;h1(1.7.10) 1 , и отношениямогут быть вынесены за операцию дифференцирования по переменной 3 , добавляяh2и вычитая в фигурных скобках слагаемое(1.7.2), dive3 =  h1 h2  h3U  , а также учитывая, что, согласно3  h3 3 1 h1 h2  , приводим равенство (1.7.10) к видуh1 h2  3 e3 U + gradU + e U div e  k~ 2 e U = 0.333 3 3(1.7.11)Второе слагаемое в (1.7.11) можно исключить, так как мы требуем выполнения равенства(1.7.8).В результате, получаем одно скалярное уравнение относительно функции U :~U  U div e3 + k 2 U = 0. 3(1.7.11)Аналогично, подставляя в систему Максвелла поля (1.7.7), и убеждаясь, что второе уравнениеrot E - i H = 0 удовлетворяется автоматически, получаем для функции V скалярноеуравнение~ V  V div e3 + k 2 V = 0. 3(1.7.12)Функции U и V носят название электрической и магнитной функций Боргниса.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций