Лекции #4 по Мат.Физ. 1 1 (1076066)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Приведение уравнений в частных производных второго порядка кканоническому виду.Общее квазилинейное уравнение в частных производных второго порядка имеет видa11 u x x (x, y) + 2a12 u x y (x, y) + a22 u y y (x, y) + (x , y ,u , u x , u y ) = 0,(1)где ai j = ai j (x, y). Если  - линейная функция своих аргументов u , u x, , u y , то уравнение(1) называют линейным. Преобразование уравнения (1) к простейшему виду производитсязаменой переменных =  (x, y) ;  =  (x, y).(2)Все частные производные пересчитываются при этом в новых переменных ;  , полагаяu = u( (x, y);  (x, y)). Тогда,u x = u x + u x ; u y = u y + u y;(3)u x x = u   x x + u   ( x )2 + 2 u   x  x + u ( x )2 + u   x x ;(4)u y y = u   y y + u   ( y )2 + 2 u   y  y + u  ( y )2 + u   y y ;(5)u x y = u   x y + u   x  y + u  x  y + u   x y + u  y x + u  x  y.(6)Подставляя (3) – (6) в уравнение (1), получим[a11( x )2+ 2 a12 x  y+ a22 ( y )2 ] u+ 2[a11 x  x + a12( x  y +  y x ) +a22 y  y ] u  + [a11( x )2 + 2 a12 x y + a22 (y )2 ] u  + ( , ,u ,u  ,u  ) = 0,или,a11 u  + 2 a12 u  +a 22 u + ( , ,u ,u  ,u  ) = 0,(7)гдеa11 = a11( x )2+ 2 a12 x  y + a22 ( y )2a12= a11 x  x + a12( x  y +  y x ) + a22 y  ya 22= a11( x )2 + 2 a12 x y + a22 (y )2.Выражение дляa11 может быть преобразовано к видуa11 (y) [   x y22p2 2 a12a112 a12  xa 22 ].

Обозначая x = p, составим квадратное уравнениеa11  ya11ypa 22a11= 0,(8)корнями которого являютсяp1,2 = a12 a12  a11 a 2 22a11Следовательно,a11.(9)a11 преобразуется к видуa12 = a11 ( y) [ x +ya12  a11 a 2 222a112a12  a12  a11 a 2 2x][+].a11y(9)Выражение для a 22 преобразуется к такому же видуxa 2 2 = a11 (y) [ 2+a12 ya12  a11 a 2 22a11][x+ya12 a12  a11 a 2 22a11].(10)Обращение в ноль каждой из скобок в (9), (10) эквивалентно следующим уравнениям 1-гопорядка в частных производныхx +a12 a12  a11 a 2 22a11y = 0 ;x +a12 a12  a11 a 2 22a11 y = 0,(11)x +a12 a12  a11 a 2 22a11y = 0 ; x +Первый возможный случай: a12  a11 a 2 22a12 a12  a11 a 2 22a11 y = 0. 0 при всех x , y . Тогда существуют дванезависимых решения, соответствующие системеdx =a11a12 2a12 a11 a 2 2dy ; dx =a11a12 2a12 a11 a 2 2dy , или2dy a12  a12  a11 a 2 2dy a12  a122  a11 a 2 2=;=.dxdxa11a11Общие интегралы (x, y) = C1 ;(12) (x, y) = C2 уравнений (12) называют характеристиками,а сами уравнения (12), - характеристическими уравнениями.

Если принять за новыенезависимые переменные = (x, y);  =  (x, y) , то оба коэффициентаобратятся в ноль, и в новых переменных уравнение (7) приобретет вид2 a12 u  + ( , ,u ,u  ,u  ) = 0,a11,a 22или~ ( , , u, u , u )u  ==  ( , ,u ,u  ,u  ) / 2 a12 .(13) 0 при всех (x,y), позволяющему привести уравнение (1) к виду (13),В случае a12  a11 a 2 22оно называется уравнением гиперболического типа, а (13) является его канонической(наиболее простой) формой.Следующий случай : a12  a11 a 2 2 = 0 при всех (x,y), - уравнение параболического типа.2В этом случае оба уравнения (12) имеют одно и то же решение, и можно ввести только однуновую переменную (x, y) = C1 =  .

Поэтому, в качестве второй переменной  можно взять (x, y), независимую от (x, y) . Так как из условия обращения в нольлюбую функциюдискриминанта a12  a11 a 2 2 следует, что a12 =2a12= a11 x +xa 2 2 ( xa11ya 2 2 тоa11+  y x ) + a22 y  y , что преобразуется впроизведение двух скобокa12= ( a11  x +a 22При этом, коэффициент( a11  x +a 22 y )( a11  x + a 2 2  y).a11( x )2 + 2 a11a11 =(14)a 22 x  y + a22 ( y )2 = y )2 , и обращается в ноль, ввиду выбора в качестве  характеристики(x, y) = . Следовательно, и первая скобка в равенстве (14) обращается в ноль, то есть,a12= 0. Следовательно, ненулевым остается только коэффициентa 2 2 , и каноническаяформа уравнения (1) параболического типа имеет видu  =~ ( , , u, u , u )=  ( , ,u ,u  ,u  ) /Последний случай a12  a11 a 2 22имеют вид  x +a12  i Da11(15) 0 при всех (x,y), - уравнение эллиптического типа.В этом случае имеем две характеристики– сопряженными величинами:a 22 . = (x, y);  =  (x, y), являющиеся комплексно = 0 + i 1;  =  , так как характеристические уравненияy = 0 ;x +a12  i Da11 y = 0, где D = | a122  a11 a 22 |, и если = (x, y) есть решение первого из них, то, очевидно  , - решение второго.

Следовательно,уравнение эллиптического типа (1) приводится к каноническому видуu =~ ( , , u, u , u ) .(16)Вводя дифференциальные операторы первого порядка1 i2   0 1 ; перепишемu в виде22=1 i2   0 1 ;=2 1 операторы, получаем u  =  2 4  0 12. Используя введенные дифференциальные . Отсюда следует вторая каноническая формауравнения эллиптического типа~  0  1 u =  ( , , u, u , u ) ,с оператором Лапласа    =0 1литературе..(17)2 2  2   21 0=42 , обычно употребляемая в.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций