Лекции #6 по Мат.Физ (1076071)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Распространение тепла в пространстве и уравнение диффузии.Физической основой для вывода уравнения распространения тепла в некотором объемевещества является закон Фурье для случая распространения тепла в однородном тонкомстержне, температуру в любом поперечном сечении которого можно считать постоянной:Количество тепла Q , проходящее через площадку S за время t в направлении вдольx:Q =  k(x, u)u ( x , t )S t.x(1)Здесь  / x– производная по нормали к площадке в направлении передачи тепла, u(x, t), температура,k(x, u) – коэффициент теплопроводности. Знак минус присутствует (1) ввиду того, чтотепло переходит от более нагретого объема к менее нагретому. В общем трехмерном случаеu и k являются функциями всех трех переменных x, y, z .

Выделим параллелепипед свершиной в точке (x, y, z), и ребрами величины (x,y,  z). Тогда, общий баланс тепла,прошедшего через две противоположные грани, ортогональные оси x , есть k(x+ x, y, z , u) u ( x , y, z, t )u ( x  x , y , z , t )y z  t + k(x , y, z , u)y z  t..xxАналогичные балансы потоков тепла могут быть записаны относительно оставшихся двухпар противоположных граней: k(x, y+ y, z , u) u ( x , y, z, t )u( x , y   y , z , t )x z  t + k(x , y, z , u)x z  t;yy k(x, y, z + z , u) u ( x , y, z, t )u ( x , y , z   z , t )xy  t + k(x , y, z , u)xy t.zzПри достаточно малых величинах граней (x,y,  z).

все три выражения могут быть сдостаточной степенью точности переписаны с помощью формулы конечных приращений ввидеu( x , y , z , t )u( x , y , z , t )k(x, y, z , u)x y z  t; k(x, y, z , u)x y z t;xyxyu( x , y , z , t )k(x, y, z , u)x y z  t.zzСумма всех трех слагаемых дает поток теплаQ1, уходящего через поверхностьпараллелепипеда за время  t, и равна, очевидно, выражениюQ1 =  div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} x y z  t.С другой стороны, то же приращение тепла(2)Q в объеме параллелепипеда может бытьподчитано с помощью формулы, определяющей количество теплаQ2, которое нужнопередать однородному телу, чтобы повысить его температуру на величинуu запромежуток времени  t:Q2 = cx y z ut  t.(3)Здесь c – удельная теплоемкость материала; - его плотность; xy z –объем.В рассматриваемом объеме могут также действовать сторонние источники тепла,воздействие которых можно описать плотностью распределения источников F(x, y, z, t).Суммарное выделение тепла в рассматриваемом объеме за время  t определится какQF = F(x, y, z, t) x y z  t.(4)Общий баланс тепловых потоков записывается какQF  Q1 = Q2 , что приводит кравенствуF(x, y, z, t) x y z  t + div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} x y z  t.

= cx yz ut  t.(5)В силу произвольности величин x, y, z,  t, из равенства (5) следует уравнениеF(x, y, z, t) + div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} = c ut .(6)В достаточно узком температурном интервале, когда коэффициент теплопроводности k независит от температуры u, уравнение (6) становится линейным. В наиболее простом случае,когда все величины c, , k являются константами, уравнение приобретает наиболее простойвидut = a2 u + f(x, y, z, t),где a = k / c , f(x, y, z, t) = F(x, y, z, t) / c .2Краевые и начальные условия.(7)Так как уравнения (6), (7) по временной переменной t , - д.

у. первого порядка, то ставитсяодно начальное условие: u(x, y, z, 0) =(x, y, z). Краевые условия могут быть несколькихтипов:1. На границе S тела поддерживается заданная температураu|S = (t).2. На границе тела задан тепловой поток. Исходя из закона Фурье, имеемkunS= q, илиunS= q / k = h.В случае теплоизолированной границы3. На границе S поддерживается теплообмен по закону Ньютона q S =unS= 0.(u1  u)S, где - коэффициент теплообмена; u1 - температура внешней среды вне границы S . Если тотже тепловой поток q S записать через закон Фурье q S = kпримет вид (unS, то краевое условиеu+ hu) =(t), где h =  / k; (t) = h u1 (t).nЗамечание. В одномерном случае, когда распространение тепла происходит вдольдостаточно тонкого стержня длины l, задача приобретает вид уравнения теплопроводностиF(x, t) +{ k(x,u)u(x)} = c ut ; с краевыми условиями одного из трех типов:xxu(0,t) = (t), u(l,t) =  (t); ux (0,t) = 1 (t), ux (l,t) = 1 (t); ((u+ hu)nx lu+ hu)nx 0= (t),=  (t).Уравнение диффузии.Еслинекоторыйобъемзаполненгазообразнымвеществомснеравномернойконцентрацией, то происходит диффузия этого вещества из мест с более высокойконцентрацией, в места с более низкой концентрацией.

Будем рассматривать процессдиффузии в объеме, заполненном пористым веществом, считая, что концентрация газа (илираствора) внутри описывается функцией u(x,y,z,t). Вывод уравнения диффузии вполнеаналогичен выводу уравнения теплопроводности (6), за исключением физического смыславходящих функций и констант. Основной закон, описывающий массу газа, протекающегочерез площадку S за промежуток времени  tQ =  D(x, y ,z ,t)u ( x , y , z , t )S tn(8)носит название закона Нернста. Здесь D(x, y ,z ,t) - коэффициент диффузии. Аналогичнопредыдущему, для малого параллелепипеда имеем поток вещества в видеQ = div{ D(x, y,z,t) gradu(x, y, z, t)} x y z  t.Кроме того, есть еще два потока вещества:вещества за счет источников, и(9)Q1 = F(x, y, z, t) x y z  t., - притокQ2 =  quxyzt., - убыль вещества за счетпоглощения в среде пропорционально коэффициенту поглощения q. Сумма этих потоковможет быть приравнена изменению количества вещества в рассматриваемом объеме заотрезокt, пропорционально скорости ut изменения концентрации, свременикоэффициентом пропорциональностипористости:(x, y, z, t), который носит название коэффициентQ + Q1 + Q2 = (x, y, z, t) ut xyzt.

В результате, приходим куравнению диффузии ut = div{ Dgradu} qu + F.(10)В общем случае все величины, входящие в уравнение (10), зависят отx, y, z, t. Водномерном случае, когда рассматривается диффузия вещества внутри тонкой полой трубки,и все коэффициенты пропорциональности являются константами, уравнение приобретаетвидut = a2 uxx  u + f(x, y, z, t),где a = D / ,2(11) = q / , f(x, y, z, t) = F /  .Единственное начальное условие имеет вид u(M, 0) =(M), - заданной начальнойконцентрации.

Краевые условия могут быть также трех типов: 1) u|S = u0 ,- на границеподдерживается заданная концентрация; 2)границу; 3) DunпроницаемостиS= (u1  u)SunS= 0, - вещество не диффундирует через, - через границу идет диффузия с коэффициентом, а u0 и u1 - заданные функции времени..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций