Лекции #1 по Мат.Физ. Линейные уравнения (1076060)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первогопорядка.I. Линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка в R3называют равенствоP(x,y,z)uuu+ Q(x,y,z)+ R(x,y,z)= 0.xyz(1)Здесь u = u(x,y,z) – искомая функция, P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) - достаточногладкие функции своих аргументов. Если рассматривать их как компоненты векторного3поля в R , то равенство (1) геометрически означает ортогональность этого векторногополя градиенту u искомой функции.

С каждым гладким векторным полем связанопонятие векторных линий (или интегральных кривых) этого поля, определяемых какрешения системы О.Д.У видаdxdydz==,P ( x, y , z )Q ( x, y , z )R ( x, y , z )(2)которая, введением параметра независимого t , может быть переписана в обычном видеdxdydz Q ( x, y, z ) ; P ( x, y, z ) ; R ( x, y , z ) .dtdtdtХорошо известно, что решения системы (2) могут быть выписаны в виде первыхинтегралов1 (x, y, z) = C1 ; 2 (x, y, z) = C2 ; 3 (x, y, z) = C3 .Взяв два из этих интегралов,1 (x, y, z) = C1 ; 2 (x, y, z) = C2 , получимдвухпараметрическое семейство линий, называемых характеристиками . Покажем, преждевсего, что левая часть любого интеграла (x, y, z) = C системы (2) удовлетворяетуравнению (1). Действительно, вдоль любой интегральной кривой d 0, так как  =C.Следовательно, вдоль такой кривойd=dx +dy +dzxyz 0 .

При этом, dx = Pdt ; dy = Qdt ; dz = Rdt,если x = x(t); y = y(t) ; z = z(t) – интегральная кривая в параметрической форме.Подставляя эти выражения в тождество, получим(P+Q +R)dt  0 , или, так как dt  0 ,xyz+ Q(x,y,z)+ R(x,y,z)0.(3)xyzТождество (3) означает, что интеграл удовлетворяет уравнению (1). Если теперь взятьP(x,y,z)два любых первых интеграла 1 (x, y, z) = C1 ;2 (x, y, z) = C2 системы (2), то(1 (x, y, z); 2 (x, y, z)), где  - произвольная дифференцируемая функция, такжебудет ее интегралом, поскольку вдоль интегральных кривых (1 (x, y, z);2 (x, y, z))= ( C1; C2 ) = C . Получаем, чтоu(x ,y, z) = (1 (x, y, z); 2 (x, y, z))(4)является решением уравнения (1).

Покажем, что такое решение является единственным, тоесть, если(x,y,z) - решение уравнения (1), то существует такая дифференцируемаяфункция (p, q) двух переменных, что(x,y,z) = (1 (x, y, z); 2 (x, y, z)).Действительно, так как все три функции(x,y,z) ; 1 (x, y, z); 2 (x, y, z) являютсярешениями уравнения (1), тоP+Q +R = 0;xyz 1 1 1P+Q +R = 0;xyz(5) 2 2 2P+Q +R = 0.xzyРавенства (5) – однородная линейная система трех алгебраических уравненийотносительно функций P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z), которые, очевидно, не равны нулютождественно.

Следовательно, определитель этой системы должен быть равен нулю:x 1x 2xy 1y 2yz 1= 0.z 2zНо этот определитель является якобианом(6)D ( , 1 , 2 )функций (x,y,z) ;D ( x, y, z )1 (x, y, z);2 (x, y, z), причем, ввиду независимости первых интегралов 1 (x, y, z); 2 (x, y, z) , покрайней мере, один из миноров второго порядкаD ( 1 , 2 );D ( x, y )D ( 1 , 2 ) D ( 1 , 2 );D ( x, z )D( y, z )отличен от нуля. В курсе математического анализа доказывается теорема о том, что в этойситуации функция(x,y,z) является функционально зависимой от функций 1 (x, y, z);2 (x, y, z). Что выражается в виде равенства =(1 (x, y, z); 2 (x, y, z).

Это и доказывает наше утверждение.II. Нелинейным (квазилинейным) неоднородным уравнением в частных производныхпервого порядка называют уравнение видаP(x,y,z)zz+ Q(x,y,z)= R(x,y,z) .xyЗдесь z = z(x, y) – искомое решение,(7)от которого зависят также коэффициентыуравнения (7). Это уравнение можно привести к линейному однородному, если искатьрешение в виде неявной функцииu(x,y,z(x, y)) = 0.(8)Действительно, если z(x, y)) – решение уравнения (7), превращающее равенство (8) втождество, топроизводныхP(x,y,z)uu  z+xz x0;uu  z+yz y0;и подставляя значенияzu u  zu  u=/ ;=/, в уравнение (7), получим уравнение (1):xx z yy zuuu+ Q(x,y,z)+ R(x,y,z)= 0.xyzСледовательно, процедура построения решения уравнения (7) сводится к предыдущей, норешение z = z(x, y) находится как неявная функция(1 (x, y, z); 2 (x, y, z)= 0.(9)III.

Предыдущие решения не были единственными, в силу произвольности функции  .Задачи на построение единственного решения ставится следующим образом.Найти решение уравнения (1), или (7), проходящее через кривую, заданную уравнениями1 ( x, y, z)= 0, 2 ( x, y, z)= 0.Задача решается следующим образом. Если два первых интеграла 1 (x, y, z) = C1 ;2 (x, y, z) = C2 системы (2) построены, составляется система четырех уравнений1 (x, y, z) = C1 ;2 (x, y, z) = C2 ;1 ( x, y, z)= 0 ;2 ( x, y, z)= 0,(10)из которой последовательно исключаются переменныеx, y, z. Остается одноравенство( C1; C2 ) = 0 , или C1 =  (C2 ), связывающее константы C1; C2 , причемфункция, или  явно определена.

После этого единственное решение задачивыписывается в виде (4), если решается задача с уравнением (1), или в виде (9), еслирешается задача с уравнением (7).Замечание.Задача может иметь неединственное решение, если окажется, что двапоследних равенства системы (10) являются первыми интегралами системы (2), то есть,линия, ими определяемая является характеристикой. В этом случае через такую линиюпроходит бесконечное множество интегральных поверхностей.Примеры.1.

Найти общий интеграл уравненияz z+= 1.x  yСоставляя характеристическую систему уравнений dx = dy = dz , находим два первыхинтеграла этой системы в виде x – y = C1 ; z – x = C2 . Общее решение выписываетсяпри этом в виде( x – y ; z – x) = 0, где  - произвольная дифференцируемаяфункция. Можно выписать решение и в виде, разрешенном относительно z :z = x + ( x – y ), где  - также произвольная дифференцируемая функция.2.

Построить интегральную поверхность уравненияxzz– y= 0, проходящую через кривую x = 0 ; z = y2 .yxИнтегрируя систему уравненийdydzdx==, получаем два первых интеграла:x0yz = C1 ; x2 + y2 = C2 . Исключая x , y , z из системы уравненийz = C1 ; x2 + y2 = C2 ; x = 0 ; z = y2 , получаем связь между C1 и C2 в виде C1 =C2 , откуда следует z = x2 + y2 ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций