Главная » Просмотр файлов » Лекции #2 по Мат.Физ

Лекции #2 по Мат.Физ (1076063), страница 2

Файл №1076063 Лекции #2 по Мат.Физ (Электронные лекции) 2 страницаЛекции #2 по Мат.Физ (1076063) страница 22018-01-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поле (1.7.6)называют полем электрического типа, поскольку из самого способа его построения ясно, чтокомпонента (H e )  его магнитного поля H e равна нулю: магнитное поле является касательным3(трансверсальным) к координатной поверхности 3 = const , а поле (1.7.7), - полем магнитноготипа, с компонентой электрического поля (E e ) равной нулю. Нередко в литературе3употребляются также названия ТМ - волны для поля (1.7.6), и ТЕ - волны, - для поля (1.7.7),(сокращения от Transversal Magnetic, Transversal Electric).Справедливо следующее утверждение:Если коэффициенты Ламэ криволинейной ортогональной системы координат удовлетворяютусловиям (1.7.5), любое решение E , H однородной системы Максвелла (1.3.2), (1.3.3) можетбыть представлено в виде суммы полей электрического и магнитного типов: E =Ee + Em ;H = He+ Hm.Нетрудно установить связь выражений для полей электрического и магнитного типа (1.7.6),(1.7.7) с их же представлением через потенциалы Герца.

Так, учитывая, что магнитныйeиэлектрический  потенциалы Герца должны удовлетворять однородным волновым уравнениямm(1.6.15), (1.6.16), можно в равенствах (1.6.17), (1.6.18) заменить первые два слагаемых наrotrot  e или rotrot m, получив выраженияE = rotrot  e + i  rot  m;H = rotrot m - i ~ rot  e,(1.7.13)(1.7.14)Откуда следует, что в ортогональных криволинейных координатах, подчиненных условию(1.7.5), e = e3 U ;  m = e3 V.Установлено, что условия (1.7.5) выполняются лишь для тех координатных систем, в которыхпеременная3 либо остается декартовой координатой вдоль некоторой оси, либо являетсярасстоянием от некоторой фиксированной точки.

Такими системами координат являются:1. Общая цилиндрическая система координат, в которойоси z , а { 1 ,23 = z , - декартова координата вдоль}, - любая криволинейная ортогональная система координат на плоскости,ортогональной оси z.2. Сферическая система координат { r , , }, где r - расстояние от начала координат( 0  r   );  - угол места ( 0    );  - азимутальный угол ( 0    2).3. Обычная ортогональная декартова система координат  1 = x ;  2 = y; 3 = z .Так как в декартовой и цилиндрической системах координат dive3 = 0 (e3 - постоянный вектор),то уравнения (1.7.11), (1.7.12) для функций Боргниса U , V переходят в обычные стационарныеволновые уравнения~U + k 2 U = 0;~ V + k 2 V = 0,а векторы Герца e, m имеют единственную ненулевую компоненту вдоль оси z: {0,0,U},{0,0, V }.

Рассмотрим случай декартовой системы координат.Подставляя в формулы (1.7.6), (1.7.7) для полей электрического и магнитного типовединственные отличные от нуля компоненты e3 U , e3 V векторов Герца e, m , и учитывая,что функции U и V удовлетворяют волновым уравнениям 2U  2U  2U~ k 2 U = 0,222xyzполучимвдекартовых 2V  2V  2V~ k 2 V = 0,222xyzкоординатахследующиевыражениядлявсехкомпонентэлектромагнитного поля:1. Поля электрического типа 2U 2U 2U ~ 2~ U ; H = i ~ U ; H =0.Ex =; Ey =; Ez =+ k U ; Hx = - i yz2 xz y zyxz2. Поля магнитного типа 2V 2V 2V ~ 2VVEx = i ; Ey = - i ; Ez =0; Hx =; Hy =; Hz =+ k V. xz y zyxz 2В случае краевой задачи с граничными условиями на границе бесконечного цилиндра -z прямоугольного сечения, например, с условием идеальной проводимости на его боковойповерхностиU  {0  x  a ; 0  y  b}: [n, E] = 0, оно, очевидно, удовлетворяется, если= 0,  V /  n  = 0.

Таким образом, векторная краевая задача распадается на двенезависимые скалярные краевые задачи относительно скалярных потенциалов U и V,удовлетворяющих волновому уравнению и краевым условиям первого и второго родасоответственно. Такая ситуация характерна, например, для задач возбуждения регулярныхпрямоугольных волноводов.Обратимся теперь к случаю общей цилиндрической системы координат. Поступая как и вслучае декартовой системы координат, приходим к следующим выражениям для полей двухтипов:1.Поля электрического типа 2U ~ 21  2U1  2U1 UE1 =; E2 =; Ez =+ k U ; H1 = - i ~;2h1  1 zh 2  2 zh 2  2z1 UH2 = i ~; Hz =0.h1  12. Поля магнитного типа1  2V1  2V1 V1 VE1 = i ; E2 = - i ; Ez =0; H1 =; H2 =;h1  1 zh 2  2 zh 2  2h1  1 2V ~ 2Hz =+ k V.z 2И в этом случае векторная краевая задача распадается на две независимые скалярные краевыезадачи относительно скалярных потенциалов U и V.

В случае простейшего краевого условия наповерхности идеального проводника [n, E] = 0, гдебесконечного цилиндра - – граница поперечного сечения z   , оно выполняется, если скалярные потенциалыудовлетворяют условиям U= 0,  V /  n = 0. Этот случай типичен для задачвозбуждения регулярных волноводов с идеально проводящими стенками и поперечнымсечением, допускающим введение криволинейных ортогональных координат на плоскости,ортогональной оси z, для которых задается уравнением  1 = const.В частном случае, когда в цилиндрической системе координаткоординатами на плоскости (1 1 ,2являются полярными= r ; 0  r   , - полярный радиус;  2 =  ;0    2, -полярный угол), волновое уравнение приобретает вид~21   U  1  2 U  2 U r  2U = 0.kr  r   r  r  2z 2И аналогичное, - для функции V.В случае сферической системы координат dive3 = 2 / r , и уравнения (1.7.11), (1.7.12) имеютвид~~U  U 2 + k 2 U = 0; V  V 2 + k 2 V = 0.r rr rЧтобы получить вместо них обычные стационарные волновые уравнения, достаточно ввестизамену искомой функции: U = ru ; V = rv , что приводит их к виду~~u + k 2 u = 0;  v + k 2 v = 0.Функции u , v носят название потенциалов Дебая.

В результате, потенциалы Дебая u , v будутудовлетворять волновому уравнению вида2uu~1   2 u 11 r  2 2 2(sin  )  k 2 u = 0,22r  r   r  r sin  r sin  (1.7.15)(уравнению Гельмгольца в сферических координатах).Подставляя в формулы (1.7.6), (1.7.7) для полей электрического и магнитного типовединственные отличные от нуля компоненты e3 ru , e3 rv векторов Герца e, m , а такжеучитывая, что потенциалы Дебая удовлетворяют уравнениям типа (1.7.15), получим выражениядля всех компонент полей E и H в сферических координатах:1. Поле электрического типа 2 (ru ) ~ 21  2 (ru )1  2 (ru )Er =+ k ru; E =; E =;r  r r sin   r r 2 i~  (ru )i~  (ru )Hr = 0; H =; H =.r sin  r (1.7.16)2.

Поле магнитного типаEr = 0;E = i  (rv)i  (rv); E =;r sin  r 2 (rv) ~ 21  2 (rv)1  2 (rv)Hr =+ k rv; ; H =; H =.r  r r sin   r r 2Применяя сформулированный выше принцип суперпозиции E =(1.7.17)Ee + Em ; H = H e + H mдля произвольного поля в сферических координатах, приходим к выводу о возможностивыразить каждое из этих полей (электрического или магнитного типа) через одну скалярнуюфункцию u или v, удовлетворяющую волновому уравнению (1.7.15). Более того, в случаекраевой задачи для сферы радиусом r = R , например с условиями ее идеальной проводимости,можно заметить, что условия обращения в ноль тангенциальных составляющих полейEe , Emна поверхности сферы (содержащих, как следует из (1.7.16), (1.7.17), только компоненты E ,E ) будет выполнены, если потребовать выполнения краевых условий (ru ) r = R = 0;rvr = R = 0 .(1.7.18)Иначе говоря, в случае векторной краевой (граничной) задачи для сферы, она полностьюраспадается в сферических координатах на две независимые скалярные краевые задачи дляволновых уравнений (1.7.15) с краевыми условиями (1.7.18).

То же самое справедливо и длякраевых условий других типов, рассмотренных в п. 5 .Несмотря на то, что выше рассматривалась лишь однородная система уравнений Максвелла(1.3.2), (1.3.3), все построения, связанные с потенциалами электромагнитного поля, остаютсяприменимыми и к неоднородной системе, поскольку, согласно принципу суперпозиции,еевсегда можно свести к однородной, выделив в явном виде поля источников в свободномпространстве, и рассматривая однородную систему для полей, рассеянных границамипрепятствий. В этом случае неоднородными становятся граничные (краевые) условия.

Явныевыражения для полей характерных источников рассмотрим в следующем пункте..

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
489,83 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6499
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее