Лекции #2 по Мат.Физ (1076063), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поле (1.7.6)называют полем электрического типа, поскольку из самого способа его построения ясно, чтокомпонента (H e )  его магнитного поля H e равна нулю: магнитное поле является касательным3(трансверсальным) к координатной поверхности 3 = const , а поле (1.7.7), - полем магнитноготипа, с компонентой электрического поля (E e ) равной нулю. Нередко в литературе3употребляются также названия ТМ - волны для поля (1.7.6), и ТЕ - волны, - для поля (1.7.7),(сокращения от Transversal Magnetic, Transversal Electric).Справедливо следующее утверждение:Если коэффициенты Ламэ криволинейной ортогональной системы координат удовлетворяютусловиям (1.7.5), любое решение E , H однородной системы Максвелла (1.3.2), (1.3.3) можетбыть представлено в виде суммы полей электрического и магнитного типов: E =Ee + Em ;H = He+ Hm.Нетрудно установить связь выражений для полей электрического и магнитного типа (1.7.6),(1.7.7) с их же представлением через потенциалы Герца.

Так, учитывая, что магнитныйeиэлектрический  потенциалы Герца должны удовлетворять однородным волновым уравнениямm(1.6.15), (1.6.16), можно в равенствах (1.6.17), (1.6.18) заменить первые два слагаемых наrotrot  e или rotrot m, получив выраженияE = rotrot  e + i  rot  m;H = rotrot m - i ~ rot  e,(1.7.13)(1.7.14)Откуда следует, что в ортогональных криволинейных координатах, подчиненных условию(1.7.5), e = e3 U ;  m = e3 V.Установлено, что условия (1.7.5) выполняются лишь для тех координатных систем, в которыхпеременная3 либо остается декартовой координатой вдоль некоторой оси, либо являетсярасстоянием от некоторой фиксированной точки.

Такими системами координат являются:1. Общая цилиндрическая система координат, в которойоси z , а { 1 ,23 = z , - декартова координата вдоль}, - любая криволинейная ортогональная система координат на плоскости,ортогональной оси z.2. Сферическая система координат { r , , }, где r - расстояние от начала координат( 0  r   );  - угол места ( 0    );  - азимутальный угол ( 0    2).3. Обычная ортогональная декартова система координат  1 = x ;  2 = y; 3 = z .Так как в декартовой и цилиндрической системах координат dive3 = 0 (e3 - постоянный вектор),то уравнения (1.7.11), (1.7.12) для функций Боргниса U , V переходят в обычные стационарныеволновые уравнения~U + k 2 U = 0;~ V + k 2 V = 0,а векторы Герца e, m имеют единственную ненулевую компоненту вдоль оси z: {0,0,U},{0,0, V }.

Рассмотрим случай декартовой системы координат.Подставляя в формулы (1.7.6), (1.7.7) для полей электрического и магнитного типовединственные отличные от нуля компоненты e3 U , e3 V векторов Герца e, m , и учитывая,что функции U и V удовлетворяют волновым уравнениям 2U  2U  2U~ k 2 U = 0,222xyzполучимвдекартовых 2V  2V  2V~ k 2 V = 0,222xyzкоординатахследующиевыражениядлявсехкомпонентэлектромагнитного поля:1. Поля электрического типа 2U 2U 2U ~ 2~ U ; H = i ~ U ; H =0.Ex =; Ey =; Ez =+ k U ; Hx = - i yz2 xz y zyxz2. Поля магнитного типа 2V 2V 2V ~ 2VVEx = i ; Ey = - i ; Ez =0; Hx =; Hy =; Hz =+ k V. xz y zyxz 2В случае краевой задачи с граничными условиями на границе бесконечного цилиндра -z прямоугольного сечения, например, с условием идеальной проводимости на его боковойповерхностиU  {0  x  a ; 0  y  b}: [n, E] = 0, оно, очевидно, удовлетворяется, если= 0,  V /  n  = 0.

Таким образом, векторная краевая задача распадается на двенезависимые скалярные краевые задачи относительно скалярных потенциалов U и V,удовлетворяющих волновому уравнению и краевым условиям первого и второго родасоответственно. Такая ситуация характерна, например, для задач возбуждения регулярныхпрямоугольных волноводов.Обратимся теперь к случаю общей цилиндрической системы координат. Поступая как и вслучае декартовой системы координат, приходим к следующим выражениям для полей двухтипов:1.Поля электрического типа 2U ~ 21  2U1  2U1 UE1 =; E2 =; Ez =+ k U ; H1 = - i ~;2h1  1 zh 2  2 zh 2  2z1 UH2 = i ~; Hz =0.h1  12. Поля магнитного типа1  2V1  2V1 V1 VE1 = i ; E2 = - i ; Ez =0; H1 =; H2 =;h1  1 zh 2  2 zh 2  2h1  1 2V ~ 2Hz =+ k V.z 2И в этом случае векторная краевая задача распадается на две независимые скалярные краевыезадачи относительно скалярных потенциалов U и V.

В случае простейшего краевого условия наповерхности идеального проводника [n, E] = 0, гдебесконечного цилиндра - – граница поперечного сечения z   , оно выполняется, если скалярные потенциалыудовлетворяют условиям U= 0,  V /  n = 0. Этот случай типичен для задачвозбуждения регулярных волноводов с идеально проводящими стенками и поперечнымсечением, допускающим введение криволинейных ортогональных координат на плоскости,ортогональной оси z, для которых задается уравнением  1 = const.В частном случае, когда в цилиндрической системе координаткоординатами на плоскости (1 1 ,2являются полярными= r ; 0  r   , - полярный радиус;  2 =  ;0    2, -полярный угол), волновое уравнение приобретает вид~21   U  1  2 U  2 U r  2U = 0.kr  r   r  r  2z 2И аналогичное, - для функции V.В случае сферической системы координат dive3 = 2 / r , и уравнения (1.7.11), (1.7.12) имеютвид~~U  U 2 + k 2 U = 0; V  V 2 + k 2 V = 0.r rr rЧтобы получить вместо них обычные стационарные волновые уравнения, достаточно ввестизамену искомой функции: U = ru ; V = rv , что приводит их к виду~~u + k 2 u = 0;  v + k 2 v = 0.Функции u , v носят название потенциалов Дебая.

В результате, потенциалы Дебая u , v будутудовлетворять волновому уравнению вида2uu~1   2 u 11 r  2 2 2(sin  )  k 2 u = 0,22r  r   r  r sin  r sin  (1.7.15)(уравнению Гельмгольца в сферических координатах).Подставляя в формулы (1.7.6), (1.7.7) для полей электрического и магнитного типовединственные отличные от нуля компоненты e3 ru , e3 rv векторов Герца e, m , а такжеучитывая, что потенциалы Дебая удовлетворяют уравнениям типа (1.7.15), получим выражениядля всех компонент полей E и H в сферических координатах:1. Поле электрического типа 2 (ru ) ~ 21  2 (ru )1  2 (ru )Er =+ k ru; E =; E =;r  r r sin   r r 2 i~  (ru )i~  (ru )Hr = 0; H =; H =.r sin  r (1.7.16)2.

Поле магнитного типаEr = 0;E = i  (rv)i  (rv); E =;r sin  r 2 (rv) ~ 21  2 (rv)1  2 (rv)Hr =+ k rv; ; H =; H =.r  r r sin   r r 2Применяя сформулированный выше принцип суперпозиции E =(1.7.17)Ee + Em ; H = H e + H mдля произвольного поля в сферических координатах, приходим к выводу о возможностивыразить каждое из этих полей (электрического или магнитного типа) через одну скалярнуюфункцию u или v, удовлетворяющую волновому уравнению (1.7.15). Более того, в случаекраевой задачи для сферы радиусом r = R , например с условиями ее идеальной проводимости,можно заметить, что условия обращения в ноль тангенциальных составляющих полейEe , Emна поверхности сферы (содержащих, как следует из (1.7.16), (1.7.17), только компоненты E ,E ) будет выполнены, если потребовать выполнения краевых условий (ru ) r = R = 0;rvr = R = 0 .(1.7.18)Иначе говоря, в случае векторной краевой (граничной) задачи для сферы, она полностьюраспадается в сферических координатах на две независимые скалярные краевые задачи дляволновых уравнений (1.7.15) с краевыми условиями (1.7.18).

То же самое справедливо и длякраевых условий других типов, рассмотренных в п. 5 .Несмотря на то, что выше рассматривалась лишь однородная система уравнений Максвелла(1.3.2), (1.3.3), все построения, связанные с потенциалами электромагнитного поля, остаютсяприменимыми и к неоднородной системе, поскольку, согласно принципу суперпозиции,еевсегда можно свести к однородной, выделив в явном виде поля источников в свободномпространстве, и рассматривая однородную систему для полей, рассеянных границамипрепятствий. В этом случае неоднородными становятся граничные (краевые) условия.

Явныевыражения для полей характерных источников рассмотрим в следующем пункте..

Характеристики

Список файлов лекций