Лекция л.6 потенц-лы простого и двойного слоя (1076075), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Окончательно получаем:lim W  M  = W (P0) +0M P  01 ( P0 ) .2(1.19)Пусть теперь точка M расположена вне  , и n – прежняя нормаль, внешняя к поверхности  .Проведя прежние рассуждения относительно предельных переходов lim W  M  и   P0   0 ,M P0получим формулу, аналогичную (1.19), но со вторым слагаемым в виде –1 ( P0 ) . Перемена2знака связана с тем, что для внешней области внешняя к  нормаль является внутренней, аперемена направления нормали на противоположное эквивалентна перемене знака у интегралаcos( r , n)d  P .

Приходим, таким образом, к формуле R 2M ,P1 ( P0 ) .(1.20)M P  20Точно такие же формулы предельных значений справедливы и для потенциала двойного слоя(1.7) в случае двух независимых переменных.Полученный результат формулируется в следующем видеlim W  M  = W (P0) –0Утверждение. Потенциал двойного слоя W(M) (1.5), (1.7) является разрывной функцией припереходе точки наблюдения M через поверхность  с предельными значениями на  изнутри иизвне в виде10lim W  M  = W (P0) +  ( P0 ) ,M P  20lim W  M  = W (P0) –0M P  01 ( P0 ) ,2и скачком величины  ( P0 ) этих предельных значений припереходе точкиM из областивнутренней к  во внешнюю.Нормальная производная потенциала простого слоя .Кроме первой краевой задачи, необходимо также рассмотреть возможность строить решениевторой краевой задачи (задачи Неймана), u  0; u n  f ( P ). S(1.21)используя введенные потенциалы.

Для этой цели удобно использовать потенциал V(M)простого слоя (1.3), (1.4). При этом, для удовлетворения краевому условию задачи (1.21)V  M необходимо вычислить нормальную производную| . Здесь точка M предполагаетсяnM M расположенной настолько близко к поверхности  , что через эту точку проходит единственнаяпрямая, совпадающая по направлению с нормалью к  . Следовательно, можно говорить определе этой нормальной производной при M  P0 , и мы приходим к выражениямV  M  ( P)1d= Mlim(1.22)limPM PnM R ( M , P ) PnM0 40в случае R3 , иV  M =nM0limM PlimM P0121 n ln R( M , P)  ( P)d PL(1.23)Mв случае R2 .Если сравнить эти выражения с потенциалами двойного слоя, то становится ясно, что (1.22) и(1.23) как интегральные операторы могут быть получены из (1.5), (1.7), если переставить в ихядрах местами точки M и P .

то есть, являются сопряженными интегральными операторами.Поэтому, вывод формул предельных переходов дляV  M дословно повторяется и для|nM M нормальных производных потенциалов простого слоя:V  M 10 ( P0 ) ,=V(P)+lim0M P   n20MlimM P  0V  M 1= V0(P0) –  ( P0 ) .nM20Здесь V (P0) – прямые значения нормальной производной потенциалов простого слоя14 nP0 ( P)d ;R ( P0 , P ) Pили121 n ln R( P , P )  ( P )d P в двумерном случае, которыеLP00существуют как несобственные интегралы на любой поверхности класса Ляпунова..

Характеристики

Список файлов лекций