Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Это ужасное нагромождение разных букв выглядит очень сложно. Но математически оно в точности совпадает с — — =(Š— 2К) С(х)— А зс(*) ш о — КЬ' ~ — — 1~ (х)~ [ — — Ц (х)~ С (х). (19.6) Вторая скобка, действуя на С(х), даст С'(х) минус»)(х)С(х). Первая скобка, действуя на эти два члена, даст член с С", члены с первыми производнымн ~(х) и с первой производной С(х).
А теперь вспомните, что решении в нулевом магнитном поле (см. гл. 11, 13) изображают частицу с эффективной массой т» ь, даваемой формулой КЬ» = ь. "~»бь Если вы затем положите Е»=+2К и снова вернетесь и )(х) =(дФ)А «, то легко убедитесь, что (19.6) это то же самое, что первая часть (19.3). (Происхождение члена с потенцяальной энергией хорошо известно, и я не буду им заниматься.) Утверждение (19,1) о том, что векторный потенциал умножает все амплитуды на экспоненциальный множитель, равнозначно правилу, что оператор импульса (Ф/«)7 заменяется на (Л/»)7 — дА, как мы и сделали в уравнении Шредингера (19.3). ф М.
Уровне»«»«е не»»брерьтносш««длн зе1»он«нное«не а Перехожу теперь ко второму пункту. Важную сторону уравнения 1Предингера отдельной частицы составляет идея о том, что вероятность обнаруя«нть частицу в каком-то месте определяется квадратом абсолютной величины волковой функции. Для квантовой механики характерно также то, что вероятность сохраняется локально (т. е. в каждом отдельном месте). Когда вероятность обнаружить электрон в таком-то месте убывает, а вероятность обнаружить его в каком-то другом месте возрастает (так что полная вероятность не меняется), то что-то в промея«утке между этими местами долксно было произойти. Иными словами, электрон обладает непрерывностью в том смысле, что если вероятность спадает в одном месте и возрастает в другом, то между этими местами должно что-то протекать.
Так, если вы между ними поставите стенку, то это скажется на вероятностях и они станут не такими, как были. Следовательно, одно только сохранение вероятности не есть полная формулировка закона сохранения, все равно как одно только сохранение энергии не обладает такой глубиной и не представляет такой важности, как локальное сохранение энергии (см. гл. 27, ~ 1 (вып. 6)). Если энергия исчезает, то этому должен соответствовать отток энергии от этого места.
Вот и у вероятности хотелось бы обнаружить такой же «ток». Хотелось бы, чтобы было так: если гденибудь переменится плотность вероятности (вероятность обнаружить что-то там такое в единице объема), то чтобы можно было считать, что вероятность откуда-то с«ода притекла (илн утекла отсюда куда-то еще). Такой ток был бы вектором, который можно было бы толковать следующим образом: его х-ком- з га бтб »29 понента была бы чистой вероятностью (в секунду и на единицу объема) того, что частица пройдет в направлении х через плоскость, параллельнусо плоскости рз. Проход в направлении +я считается положительным потоком, а проход в обратную сторону — отрицательным потоком. Существует ли такой ток? Вы знаете, что плотность вероятности Р(г, с) выраскается через волновую функцию Р (г, с) = ф" (г, с) ф (г, с). (19.7) И вот, я спратссваю: существует ли такой ток д, что дс= — 917 (19.8) Если я продифференцирую (19.7) по времени, то получу два слагаемых д о дс)с дсд' — — +ф —.
дс дс дс (19.9) Теперь для дс)с,сдС возьмите уравнение П1редингера — уравнение (19.3); кроме того, комплексно его сопрягите, т. е. перемените знак при каждом с, чтобы получить дф~ссдС. У вас выйдет — = — — ~ф' — ( —. У вЂ” с7А) ° ( —, г — с)А) ф+ с)ффэс(с— дСс с, С б — ф — ( —. су+ дА) ° ( —. У+ дА) фа — с)сдс(сс)с*~ . (19.10) Члены с потенциальной энергией и многие другие члены взаимно уничтожатся.
А то, что останется, оказывается, действительно можно записать в виде полной дивергенции. Все уравнение целиком эквивалентно уравнению — = — г — сР~ ( —, ссс — асс ф+ ф ~ — —, г — дАсс фэ ~. (19,11) дс 2са( ( с' ) Не так уж сложно, как кажется на первый взгляд. Это симметричяая комбинация из ср*, умноженного на некоторую операцию над с)с, плюс с)с, умноженное на комплексно сопряя'енную операцию над фе. Это просто некоторая величина плюс комплексно сопряженная ей величина, так что все вместе (как и положено быть) вещественно.
Операция запоминается так: это попросту оператор импульса У минус оА. Ток нз (19.8) я могу записать в виде с ~~ Ф~ — сссс ~ „с,+фэ ~ У вЂ” дА ф~~ (19 19) Тогда это и есть тот ток Я, который удовлетворяет уравнению (19.8). 230 Уравнение (19.8) показывает, что вероятность сохраняется локально. Если частица исчезает из одной области, то она не может оказаться в другой без того, чтобы что-то не протекло в промежутке между областями.
Вообразите, что первая область окружена замкнутой поверхностью, которая проведена так далеко, что имеется нулевая вероятность обнару"кить на ней электрон. Полная вероятность обнаружить алектрон где-то внутри поверхности равна объемному интегралу от Р. Но, согласно теореме Гаусса, объемный интеграл от дивергенции ) равняется поверхностному интегралу от Х. Если «р на поверхности равно нулю, то (19.12) утверждает, что и й есть нуль; значит, полная вероятность отыскать частицу внутри поверхности не может измениться. Только тогда, когда часть вероятности достигает границы, какая-то ее часть может вытечь наружу.
Ыы вправе говорнть,что она выбирается наружу только через поверхность— это и есть локальная сохраняемость, ф З. Дви рода ««л«««ульсов Уравнение для тока довольно интересно, хотя порой причиняет немало забот. Ток можно было бы считать чем-то вроде произведения плотности частиц на скорость. Плотность выглядела бы как «рфе, так что здесь все в порядке. Каждый член в (19 12) напоминает типичное вырая«ение для среднего аначения оператора Я вЂ” «А (19.13) Поэтому, быть монсет, следовало бы рассматривать его как скорость потока? Но тогда получается, что скорость с импульсом можно связать двояким образом, ведь с равным правом можно было бы считать, что скоростью должно быть отношение импульса к массе л"/т. Эти две возможности разнятся на вектор-потенциал.
Оказывается, те же две возможности имелись егце в классической физике, и в ней тоже было найдено, что импульс можно определить двумя путями *. Один можно назвать «кинематнческнм импульсом», но для абсолютной ясности я в этой лекции буду его называть «т р-импульсом». Это импульс, получаемый от перемножения массы на скорость. Другой, более математичный, более отвлеченный импульс, именуемый иногда с<динамическим импульсом», а я его буду называть «Р-импульс». Итак, у нас " См., например, Д й.
1 а с к е о и, С1аеэ1са1 Е1«с«голда»в!са, Хе««»'о»1«, 1962 (есть перевод; Д. Д ж е к с о в, Классическая электро- динамика, вад-во «Мвр», 1965). Ф и е. еу.л. Электрическое но, е снаруска соленоида, ток е ко~норок уееличиеается. есть дзе возможности: то'-плпулнс =- тч, (19.14) р-ил~пульс:.= тч + А. (19.15) И вот оказывается, что в квантовой механике, вкл1оча|ощей магнитные полн, с оператором градиента уа связан именно р-импульс, так что оператор скорости это (19 л! 3), Здесь я хотел бы немного отклоняться от темы и пояснить, почему так получается — отчего в квантовол механике должно быть нечто похожее на (19.15), Волновая функция меняется со временем, следуя уравнению Шредингера (19.3).
Если бы я внезапно изменил векторнын' потенциал, то в первое мгновение волновая функция не изменилась бы, а изменилась бы только скорость ее изменения. Теперь представьте себе, что случится в следующих обстоятельствах. Пусть имеется длинный соленоид, в котором я создаю поток магнитного поля (поля В), как показано на фиг. 19.2. А поблизости сидит заряженная частица. Допустим, что этот поток почти мгновенно с нуля вырастает до какого-то значения. Спорна векторный потенциал равен нулю, а потом я его включаю. Это означаег, что я внезапно создаю круговой вектор-потенциал А. Вы помните, что криволинейный интеграл от А вдоль петли это то же самое, что поток поля В сквозь петлю (см.
гл. 14, $ 1 (зып. 5)1. И что же происходит, когда я мгновенно включаю векторный потенциале Согласно квантовомеханическому уравнению, внезапное изменение А не вызывает внезапного изменения ф волновая функция пока та же самая. Значит, и градиент не изменился. Но вспомните, что происходит электрически, когда я внезапно вкгпочаю поток.
В течение краткого времени, пока поток растет, возникает электрическое воле, контурный интеграл от которого равен скорости изменения потока во времени Е= — —. ) Если поток резко меняется, то электрическое поле достигает огромной величины и оказывает сильное воздействие на частицу. Эта сила равна произведению заряда на электрическое поле; стало быть, в момент появления потока частица получает полный импульс (т. е. изменение в тг), равный — дА. Иными словами, если вы подействуете на заряд векторным потенциалом, включив его внезапно, то этот заряд немедленно схватит щи-импульс, равный — оА. Но имеется нечто, не меняющееся немедленно,— это разность между тт и — вА. Стало быть, сумма р=-тт+вА и есть то, что не меняется, если вы подвергаете вектор-потенциал внезапному изменению.
Именно эту величину мы именуем р-импульсом, именно ояа играет важную роль в классической динамике; она же оказывается существенной и в квантовой механике. Эта величина зависит от характера волновой функции и является преемником оператора при наличии магнитного поля. ф 4. Смысл волновой 4унацни Когда Шредингер впервые открыл свое уравнение, он открыл заодно, что закон сохранения (19.8) есть следствие этого уравнения. Но он неправильно решил, что Р это плотность электрического заряда электрона, а Л вЂ” плотность электрического тока, т. е. он думал, что электроны взаимодействуют с электромагнитным полем через эти заряды и токи.
Решая свои уравнения для атома водорода и вычисляя ф он не вычислял никакой амплитуды (в то время еще не было амплитуд), а золковал это совершенно иначе. Атомное ядро было стационарно, вокруг >ко него текли токи; заряды Р и токи Л геперяровали электромагнитные поля, и все вместе это излучало свет. Но вскоре, решая задачу за задачей, он понял, что рассуждает не вполне правильно И именно в этот момент Борн выдвинул весьма нетривиальную идею.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
