Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 41
Текст из файла (страница 41)
д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас выгпло Е, (скажем, оно вышло У, раз), сколько раз вышло Е (скажем, )з"з раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энергий равна УзЕг+ЛзЕз+УзЕз+ ' =Х ~уФз Средняя энергия равна атой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех Л/,, которузо мы обозначим № ,~~ Ж;Е~ Е (18.12) (Е>,„=,>, Р,Еп с (18 13) Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь события мы понимаем как раз число случаев, когда онзидается наступление этого события, деленное на общее число испытаний.
Отношение Ж;/Х должно (прн больших Л) мало отличаться от Рз — вероятности обнарукзить состояние )з)з>, хоть и не будет точно совпадать с Рз из-за статистических флуктуаций. Обоаначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энергию (Е>,; тогда мы вправе сказать Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться <А>, =~' Р«А,, где А; — различные допустимые значения наблюдаемой величины, а Р; — вероятность получения этого значения. Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состоянию ! ф>.
Его средняя анергия равна < > з=Х~~'~ Е =~~~с и (1814) А теперь следите внимательно! Сначала перепишем зту сумму так: Х < р ~ ч«> е; <ч;! ~> (18.15) Теперь будем рассматривать левое <«р! как общий множитель. Вынесем его за знак суммы и напишем <Ф~(Х~ч;>Е;<ч ~«р>~. Это выражение имеет вид <«р)~р>, где )«р> — некоторое «придуманпоез сос«ояние, определяемое равенством ~ «р> = Х ~ ч > е; <ч; ~ 'р>. (18.16) Иными словами, зто то состояние, которое у вас получится, если.вы возьмете каждое базисное состояние (ч,> в количестве Е«<Ч; ~ «р> Но вспомним теперь, что такое (Ч;>. Состояния )Ч~> считаются стационарными, т.
е. для каждого из них О) ч,>=Е,.) ч«>. Л раз Е,— просто число, то правая часть совпадает с ~ Ч«> Еп а сумма в (18А6) — с Х Е~ч«><ч;~Ф>. Теперь приходится просуммировать по «общеизвестную комбинацию, приводящую к единице: Х Й~ ч ><ч; М> = ОХ!ч > <ч; 1 р> = е) р> Чудесно, уравнение (18.16) совпало с ! «р>=й «г>.
(18.17) Средняя энергия состояния («р> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде <Е> р <ф ( У ) «(1> (18.18) Нтобы получить среднюю энергию, подействуйте на ф> оператором Й и затем умножьте на (ф~. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И дал<э всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодио совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Нп для лией совокупности, мы уя е сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний к> средняя энергия может быть вычислена из <Е> = ~ч'", <~р ( 1> «' ~ Й ( у> <у ~ ф>, (18.19) где амплитуды (1~ Н)у) как раз и есть элементы матрицы Ь'н.
Проверим это на том частном примере, когда состояния(О суть состояния с определенной энергией. Для них Й ~ 1> = Ет ~ )>, так что (1 ~ Й ( 1) = Етб у и <Е> = ~~ < ~Р ( 1> Еб,. <у ! ф> = ~Р Е, <~Р ~ ~> <~ ~ ~>>, что вполне естественно. Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть Ь, есть оператор з-компоненты момента количества движения 1.
Средняя г-компонента для состояния ф) равна <Л,>,р — — <ф! Ь, ! ф>. <А>.,=<ф~А~ р>. (18.20) Под этим подразумевается <А>„= <ф!ср>, ) р>=А! р>. (18.21) где (18.22) Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скаятем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором А, то среднее значение А в состоянии рр> даетси формулой 5, 3.
Су»ед»злл энерг««л а»»»оз«а Пусть мы хотим узнать среднюю энергшо атома в состоянии, описываемом волновой функцией «р(г); как же ее найти7 Рассмотрим сперва одномерную задачу, когда состояние ф) определяется амплитудой (хф)=-ф(х). Нас интересует частный случай применения уравнения (18 19) к координатному представлению. Следуя нашей обычной процедуре, заменим состояния )1) и )у) на (х) и (х') и сумму на интеграл. Мы получим <Е>, = ) ) <ф ~ х> <х) Й) х> <х' (ф> с(хс)х'.
(1823) Этот интеграл можно при желании записывать иначе: ) (ф ! х) (х ~ рр) с)х, (18.24) где <х! <р> =- ) <х( Ч)х'><х') ф>йх'. (18,25) Поэтому можно написать Й«Р ( 2тл' (18.26) Вспомним, что <ф|х>=(хор>*=ф»(х); с помощью этого равенства среднее значение энергии в (18.23) можно записать в виде <Е> р — — ) Ф~(х) ~ — — „—, +Г(х)~ф(х) дх. (18.27) Коли волновая функция ф(х) известна, то, взяв этот интеграл, вы получите среднюю анергию. Вы теперь начинаете понимать, как от представлений о волновом векторе можно перейти к представлению о волновой функции и обратно.
Величина в фигурных скобках в (18.27) это алгебраический оператор. !«Оператор» р'(х) означает «умножь на р'(х)».! Мы обозначим его,Ж: Й~ к» В этих обозначениях (18.23) превращается в (Е), =) фз (х)Я~ф(х) «(х. (18.28) зоз Интеграл по х' в (18.25) тот же са»«ый, что встречался нам в гл. 14 (с»ь (14.50) и (14.52)]. Он равен Ь» к« вЂ” — 3†. ф (~) + ~'( )'Ф (х).
Определенный здесь алгебраический оператор Я, конечно, не тождествен с квантовомеханическим оператором Й. Новый оператор действует на функцию координаты ф(х)=<х)ф>, об- разуя новую функцию от х, гр (х) =<х(~р>, а Й действует на век- тор состояния )ф>, образуя другой вектор состояния !«р>, причем не имеется з виду ни координатное, ни вообще какое- либо частное представление.
Мало того, даже в координатном представлении Я не совсем то я«е, что Н. Если бы мы решили работать в координатном представлении, то смысл оператору Й прильлось бы придавать с помощью матрицы <х)Й!х'>, кото- рая как-то зависит от двух «индексов» х и х'; иначе говоря, сле- довало бы ожидать, что (как утверждает (18.25)1 <х)р> свя- зано со всеми амплитудал«и <х)ф> операцией интегрирования.
А с другой стороны, мы нашли, что Я~ — это дифференциальный оператор. Связь между <х)Й! х'> и алгебраическим оператором эъ мы уже выясняли в гл. 14, з 5. Наши результаты нуждаются в одном уточнении. Мы пред- положили, что амплитуда ф(х)=<х)ф> нормирована, т. е. мас- штабы выбраны так, что ~ ! ф (х) !' «)х = 1, и вероятность увидеть электрон все равно где равна единице. Но вы могли бы, если бы захотели работать с ненормирован- ной ф(х), следовало бы только писать ) $«(х) тг «у(х)лх (18.29) ) ф" (х) ф [х) Лх Это одно и то же.
Обратите внимание на сходство между (18.28) и (18ЛВ). Оба эти способа записи одного и того я«е результата при работе в х-представлении часто встречаются. От первого можно перейти ко второму, если А — локальный оператор, т. е. такой, для которого интеграл ~ <х ! А ! х'> <х' ! ф> дх' может быть записан в виде А «р (х), где Л вЂ” дифференциальный алгебраический оператор. Однако встречаются операторы, для которых это неверно.
Тогда приходится работать с исходными уравнениями (18.21) и (18.22). Наш вывод легко обобщается на три измерения. Итог таков *: <Е>,р — — ~ ф (г) Ф ф (г) с( Объем, 18.30) е Элемент объема мм обоаиачаем а Объем. Ои попросту равен бх Ыр Ы», а иитеграл беретси от †«о до + о» ио всем трем коордииатам. где (18.31) причем подразумевается, что ) ! тр(зй Объелг=1. (18.32) * Можно выраанть это и иначе. Какую бы функцию (т. е. состояние) вы нн выбрали, ее всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний, являющихся состояниями с определенной анергней. Поскольку в этой комбинации присутствует примесь состояний с более высокими энергиями, то средняя энергия окажется выше энергии основного состояния, 210 Такие же уравнения получаются довольно очевидным образом и при обобщении на системы с несколькими электронами, но мы не будем сейчас заниматься выписыванием результатов.
С помощью (18.30) можно рассчитать среднюю энергию атомного состояния, даже не зная уровней энергии. Нужна только волновая функция. Зто очень вая<ныйг закон. Расскаягем об одном интересном его применении. Пусть вам нужно узнать энергию основного состоянии некоторой системы, скажем атома гелия, но вы затрудняетесь решить уравнение Шредингера для волновой функции из-за большого числа переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
