Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 36
Текст из файла (страница 36)
фиг. 17.3), можно сперва сделать поворот вокруг оси з на угол чр, а потом сделать поворот вокруг новой оси у (оси у') на угол О. Совместный поворот выразится произведением Л (О)Ле(чр). Амплитуда того, что после поворота обнаруя'ится состояние ~1, т'=О>, есть < 1, 0 / Л (0) Л, (ср) / 1, т>. (17.31) Б итоге получаем чрс, „(г) =<1, 0(Л (О)Л,(ср)! 1, т>Ге(г). (17.32) Орбитальное движение может обладать только целыми значениями !. (Если электрон может быть обнаружен в любом месте, где ~-.фО, то имеется некоторая амплитуда того, что в этом направлении будет т=-О, А состояния с т=-О бывают только при целых спинах.) Матрицы поворота для 1=1 приведены в табл.15.2 (стр.
129). Для болыпих 1 вы можете воспользоваться общими формулами, выведенными в гл. 16. Матрицы Л, (~р) и Л (О) написаны по отдельности, но как их комбинировать, вы знаете. В обгцем случае вы начнете с состояния ! (, ш) и подействуете на него оператором Л, (~р), получив новос состояние Л, (<р) )1, лт) (которое просто равно е"" (1, т>). Затеи вы подействуете на это состояние оператором Л (О) и получите состояние Л (6) Л, (ср) (1, т).
Умножение на (1, О ( даст вам матричный элемент (17.31). Матричные элементы операции поворота — зто алгебраические функции от 0 и ~р. Те частные виды функций, которыо появляются в (17.31), возникают и во многих других задачах, связанных с волнами на сфере. Им присвоили особое имя. Правда, не у всех авторов обозначения одинаковы; чаще всего все же пишут <1, О/Л (6)Л,(<р)!1, т>= — еаУь,„(0, сР).
(17.33) Функции У (6, ~р) называзот сферическими зарлгоникали, а а — просто численный множитель, который зависит от того, как определено У, . При обычном определении В этих обозначениях волновые функции водорода записываются так: (г) = Уь (О, Ч>) Р~ (г). (17.35) Угловые функции У, (О, ~р) важны не только во многих квантовомеханических задачах, но и зо многих областях классической физики, в которых встречается оператор рз,например в электромагнетизме. В качестве другого примера их применения в квантовой механике рассмотрим распад возбужденного состояния Хе" (о котором говорилось в предыдущей главе), которое испускает а-частицу и превращается в О": Хе" * — 0 ы+ Не'.
Допустим, что возбужденное состояние имеет спин 1 (обязательно целый), а з-компонента момента количества движения есть т. Спросим вот о чем; если даны 1 и т, то какова амплитуда того, что я-частица вылетит в направлении, составляющем с осью г угол 0 и е плоскостью хз угол ~р (фиг. 17.4)? Решить эту задачу нам поможет следующее наблюдение. Распад, в котором и-частица вылетает прямо вдоль оси з, должен происходить из состояния с т=О. Это потому, что у самих Оы $81 Ф и е. !У.о.
Роспод воябцясденноео состояния Хево. ни-частицы спин равен нулю, а за счет движения вдоль оси г момента вокруг атой осн не создашь. Обозначим зту амплитуду а (на единицу телесного угла). Тогда, чтобы найти амплитуду распада под произвольным углом (см. Фиг. 17.4), остается только узнать, с какой амплитудой данное начальное состояние будет обладать нулевым моментом относительно направления распада. Амплитуда того, что распад будет в направлении (9, ф), тогда будет равна произведению а на амплитуду того, что состояние ) 1, т) относительно оси з окажется в состоянии ) 1, О) отно- сительно з' (направления распада).
Эта последняя амплитуда как раз и есть то, что мы писали в (17.31). Вероятность увидеть а-частицу под углом (О, ф), стало быть, равна Р(9, ср) = аз / <1, 0/ Л (9) Вв(ф) !1, лс>(о. Для примера рассмотрим начальное состояние с ! =1 и различными св. Из табл. 15,2 (стр. 129) мы знаем все нужные амплитуды: <1, 0~7~,(9)77,(ф)~1, +1>= 1 з)пОегт, 'О'с о <1, 0(Л,(9)В,«р)~1, О>= зО, <1, 0(Л (9)В,(ф))1, — 1>= — =зшОе ~т. (17.36) У ' у й Это и есть три воаможные амплитуды угловых распределений, в зависимости от того, какое лт у первоначального ядра.
Такие амплитуды, как (17.36), встречаются так часто и так важны, что им дали несколько названий, Если амплитуда угло- Таолстча лс.1 ° словарик оргитлльных момвнтов (~=т-цвлык числа) ори- тальнан чст- ность оряи- тнтьныте момент ( Нанме- ноаа- нне Число состон- ння е-ном- понепта, т Услоаан ааанснность амплнтун 1 1 — = Мп Ое" ф' 2 соя 0 1 .. я)пзе-'У )тй ) — МП' ОЕьчт 4 — яп 0 соя Еетт )'6 2 — (3 соя'0 — 1) 1 2 — — я)п 0 соя ее И ь' 6 2.
я!п 'ее 4 О ~н (+ +1 ( — 2 <Е,о~ В,(0)Л (ср) ) 1, ы> = )', '(е, р) =Р,"( е)е' ' ( — 1)т 21+1 Если орбитальный момент равен нулю, то повороты системы координат ничего не меняют и зависимости от угла пег: «зависимость» от угла имеет вид постоянной, скажем 1. Это называют «я-состоянием». Есть только одно такое состояние, пока дело касается только зависимости от угла. Если орбитальный момент равен 1, то амплитуда зависимости от углов может быть одной из трех приведенных функций, смотря по тому, чему равно ль, яли их линейной комбинацией. Их называют «р-состояниями». вого распределения пропорциональна ляобой из этих трех функций или любой их линейной комбинации, то мы говорим: «орбитальный момент системы равен единице».
Или можно сказатгп «гчеаон испускает р-волну». Или говорят: «а-частица испускается в состоянии с 1=1». Выражений так много, что даже стоит составить словарик. Если вы хотите понимать разговор физиков, то вам просто нужно выучить их язык. В табл. 17.1 приведен словарь орбитальных моментов количества дви»кения. Таких состояний три. Если орбитальный момент равен 2, то подобных функций пять (см, таблицу).
Любая их линейная комбинация называется «1=2»-амплитудой, или амплитудой «<1-волны», Теперь вы сразу догадаетесь, какая будет следующая буква. Что должно идти после», р, й? Ну, конечно же, 1, я, Ь и т. д. по алфавиту. Буквы эти ничего не значат. (Когда-то они что-то значили: «резкая» (зЬагр), «главная» (рг(пс(ра1), «диффузная» (<111(взе) и «фундаментальная» ((эп<(ашев1а1) серии линий оптического спектра атомов.
Но это было тогда, когда еще не было известно, откуда эти серии линий берутся. После 1 особых названий уже не было, так что мы сейчас просто продолжаем я, Ь ит,д.) Угловые функции в таблице проходят под несколькими именами и определяются порой с небольшими вариациями в численных множителях, стоящих впереди. Иногда их называют «сферические гармоники» и обозначают У, (О, <р).
Иногда их пишут Р< (соз О) е<ач, а при т=0 просто Р, (соз 0). Функции Р,(соз 8) называются <шолиномы Лежандра» по соз 8, а функции Р™<(соз 8) именуют <шрисоединенными функциями Лежандра». Таблицы этих функций встречаются во многих книгах. Обратите, кстати, внимание, что все функции с данным 1 имеют одну и ту же четность — при нечетных 1 они от инверсии меняют свой знак, при четных 1 — нет.
Поэтому можно написать, что четность состояния с орбитальным моментом 1 равна ( — 1)', Как мы видели, одни и те же угловые распределения могут относиться к разным вещам: к ядерному распаду, к другим ядерным процессам, к распределению амплитуд наблюдения <Э и г. 17.ое. График соя»э в нолярныя координатая, дающий относительную вероятность обнару»гения електрона иод рагличными углами к оси я (для диннога е) в состоянии атома с 1=1 и т=с. электрона в том или ином месте атома водорода. Например, если электрон находится в р-состоянии (1=1), то амплитуда того, что он обнаружится в каком-то месте, зависит от угла определенным образом, но всегда представляет собой линейную комбинацию трех функций для 1=1 из табл.
17.1. Возьмем очень интересный случай соз О. Он означает, что амплитуда, скажем, положительна в верхней части (0<я/2), отрицательна в нижней (0>я/2) и равна нулю при 0=99'. Возводя ее в квадрат, видим, что вероятность встретить электрон меняется с 0 так, как пока- вано на фиг. 17.5, и не зависит от ~. Такое угловое распределение ответственно за то, что в молекулярной связи притяжение электрона в состоянии 7=1 к другому атому зависит от направления.
Отсьода ведет свое начало направленная валент- ность химического притяжения. 9 А Общее 1оегывитлв длзз водоэзода В уравнении (17.35) мы записали волновые функция атома водорода в виде (г) = 7'ь ы (О, р) г", ( ). (17.37) Эти волновые функции должны быть решениями дифференциального уравнения (17.7). Посмотрим, что это означает. Подставим (17.37) в (17.7); получим уС ы р, о у ау, ~ я, оу, — — (гР ) -~- —. — ( з1 и 9 — ') + — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
