Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Спросам теперга что случится с этими состояниями, если спроецировать их в другую систему координат? Если эту новую систему просто повернуть вокруг оси г на угол ср, то состояние ~ е, т;, с/, тв) умножается на полного момента количества двиягения) доюкно быть '/т, это потРебУет четыРех состоЯний с М = +',', + )4, — )з и — з(е. На ЛХ = +з/т есть только один кандидат, и мы сразу видим, что )о=2-, ЛХ=-+2)=!е, +2, а, +1). (16,4о) Но что является состоянием ! Х =- '/г, ЛХ = + тй 2? Кандидатов здесь два, они стоят во второй строчке (16.42), и всякая их линейная комбинация тоже даст М = + ",т.
Значит, в общем случае можно ожидать, что (16.40) где и и р — два числа. Их имэпушт ноофф~щиентм Х(лебша— Гордона. Найти их п будет нашей очередной задачей. И мы их легко найдем, если просто вспомнит!, что дойтрон состоит из нейтрона п протона, и в явном энде распишем состояния дейтрона, пользуясь правилами табл. 10.3. Если это проделать, то перечисленные в (16.42) состояния будут выглядеть так, как показано в табл. 16.4. Пользуясь состояниями нз этой таблицы, мы хотим образовать четверку состояний с У = з~е Но ответ нам у~ке известен, потому что в табл.
16.1 у;ке стоит состоя|гни со свином ','.„ образованные из трех частиц со свином '(,. Первоо состояние и табл. 16.1 имеет !У = з!е, М = +з!,), это ! г~ + -г), о в наших нынешних обозначеш:ях это ~ е, + '/,; и, + '/.,; р, + 'ге ), пли первое состояние нз табл. 16.4. Но это состояние — то жо самое, что первое по списку в (10.42), так что наше вгзрангение (10.45) подтверждается.
Вторая строчка в табл, 16.1 утверждает, если воспользоваться нашимп теперешними обозначениями, гто ! 1 ЛХ=+ —,~== ~~е, + —; и, + —,; р, — — „)-)- $ ! ! +~е,— —,;и, + —;р,+ —,) 2' ' 2' ' 2~! (10.47) =2, =+ 2)= У З~~, +2, г(, О)+ + у' 2(е 2 а 1) (16.43) 150 То, что стоит в правой части, можно, очевидно, составить из двух членов во второй строчке табл. 16.4, взяв )''/ от первого члена и )ГгХз от второго. Иначе говоря, (16.47) эквпва- лептно Таблица 16.1 е состояния моивнтА поличвствА движвния АтОЖА Дв11тввпя 1, ~ 1 1 1 ~., + —,; 1, +1)=- ~~, + —;, + —,; Р, + —,) т =- —, 2 1 ~ 1 (~ 1 2' ' у2)~' 2' ' '2' ' 2 (16.49) Повторяя ту же процедуру, найден ~Х = —,, М вЂ” — — ) — )/ — ~е, + —, о', — 1)+ +3/З-!' 2' 1 О) (16.50) а также, конечно, ~У= —,, М= — —,, )=~а, — —,; а1, — 1). (16.51) 169 Ыы нашли два наших первых коаффициента Клебша — Гор- дона а и р (см.
(16.46)): Это и есть правила составления из спина 1 и спина '/, полного спина У = '/,. Мы свели (16.45) и (16.50) в табл. 16.5. т велича 1з.е ° состояния с е=ч, атома дггитвеггя Но у нас пока есть только четыре состояния, а у системы, которую мы рассматриваем, их шесть.
Из двух состояний во второй строчке (16.43) мы для образования ( е = е,',, М = — + '/,) составили только одну линойнуго комоинацию. Есть и другая линейная комбинация, ортогональная к ней, у нее тоже М =- -!- г/,, к она имеет внд 1/ —,г ~~е, + —; д, О) — )/ — ~е, — —,—; г(+1) . (16.53) Точно так яш нз двух состояний в третьен строке (16.43) можно скомбинировать два взаимно-ортогональных состояния, каждое с М вЂ” — — '/,. То, которое ортогонально к (16.50), имеет вид )/ —,~е, + ~, гг, — 1) — 1/ — ~е, — 2-, д, О) .
(16.53) Это и есть два оставшихся состояния. У них М=.те+пге-— -+-г/,; зги состояния должны соответствовать /=г/з. Итак, мы имеем ~У= —; ° М=-+И= У Ие +Ь А О)— /2~ — "У з ~ — —,'3 +1) (16,54) Можно убедиться, что зги два состояния действительно ведут себя как состояния объекта со спином '/„для этого надо выразить дейтронную часть через нейтронные и протонные состояния (при помощи табл. 16,3). Первое состояние в (16.53) 1ИО превратится в ~l — (~е, + —;п, + + ~е, + —, — ~'Я' 1 1 2' "' )+ 1.
1~ ,;р+ ) 1,, 1 1а — — и — ' —.р,+ ) 2' ' ' 2' ' ' 2/' (46.55) а это можно переписать так: Г 3~1 2)~ ' 2' '+ ''' ) 1 1 2' ' ' 2' ' 2/ т.1и1+21Р1+2)11 (46.56) 161 ь га атв Посмотрите теперь на выраягение в первых фигурных скобках и подумайте, чтб получаотся прп объединении е и р. Вместе они образуют состояние с нулевым спипом (см. нижнюю строку в табл. 46.3) и не дают вклада в момент количества движения. Остался только нейтрон, значит, вся иереая фигурная скобка (16.56) будет вести себя при поворотах как нейтрон, а именно как состояние с У= те, М=+Ы. Повторяя те же рассуждения, убедимся, что во вторых фигурных скобках (16.56) электрон и нейтрон объединяются, чтобы образовать нулевой момент количества движения, и остается только вклад протона — с т =+'/ . Скобка опять ведет себя как объект с е'=+ Ье, М=+ )4.
Значит, и все выраяюние (16.56) преобразуется как ( У=+Уз, М=+Ь ), чего мы и хотели. Состояние М= — Ы, отвечающее формуле (16.56), можно расписать так (заменив везде, где нужно, + 14 на — ~з): ~à —,' ~1' —,'(~., + —,';, — —,'; р, — —,') — (16.57) 1 1 2' ' 2' ' 2/ + ~'й~'+Ь. —" — '')- -~'--,'" "ь' — -,'))1 Вы легко проверите, что зто совпадает со второй строчкой в (16,54), как и полагается, если каждая скобка представляет собой одно из двух состояний системы со олином '/,. Значит, наши результаты подтвердились. Дейтрон и электрон могут существовать в шести Сциновых состояниях, четыре из которых ведут себя как состояния объекта со спином з/ (табл.
16.5), а два — как объект со спином '/, (16.54). Результаты табл. 16.5 и уравнения (16.54) мы получили, воспользовавшись тем, что дейтрон состоит из нейтрона и протопа. Правильность уравнений не зависит от этого особого обстоятельства. Для любого объекта со спином 1, объединяемого с объектом со спинам '/„законы объединения (и коэффициенты) одни и те же.
Совокупность уравнений в табл. 16.5 означает, что если система координат поворачивается, скажем, вокруг оси у, так что состояния частицы со спином '/з и частицы со олином 1 изменяются согласно табл. 16.1 и 16.2, то линейные комоинации по правую сторону знака равенства будут изменяться так, как это свойственно объекту со спинок '/,. При таком же повороте состояния (16.54) будут меняться как состояния объекта со олином '/з Результаты зависят только от свойств относительно поворотов (т.
е. от спиновых состояний) двух исходных частиц, но отнюдь не от происхождения их моментов количества движения. Мы этим происхождением воспользовались лишь для вывода формул, выбрав частный случай, в котором одна из составных частей сама состоит из двух частиц со олином '/, в симметричном состоянии. Всенаши результаты мы свели в табл.16.6, изменив индексы е и дна а и Ь, чтобы подчеркнуть их общность. таз ча 16 з ° овъздкнвнив чАстицы со спинок ч, (ц= гл с частицвй со спином 1 нь=ы Поставим теперь себе общую задачу найти состояния, которые моишо образовать, объединяя два объекта с произвольными спинами.
Скажем, у одного спин /, (так что его з-компонента тз пробегает' 2/,+1 значений от — /, до +/,), а у другого /з (с з-компонентой тю пробегающей вначения от -- /з до +/з). 162 Объединенные состояния суть ) а, т„Ь, та), их всего (2у'„+1)(2уа+1). Какие же состояния с полным олином У мы обнаружим? Полная г-компонента М момента количества движения равняетсн т,+та, и все состояния можно перечислить, опираясь на величину М [как в (16.42)). Наибольшее М нвлнетсн единственным; оно отвечает значениям т,=-у, и та=у« и равно попросту у,+уа. Это означает, что наибольший полный спин У также равен сумме у,+у~.' У = Миакс =- Уа + Уа Следующему значению М, меньшему чем М„,„, на единицу, будут соответствовать два состояния (либо т„, либо т„меньше своих максимальных значений на единицу).
Из них должно быть образовано одно состоннне, принадлежащее совокупности с У=-у,+уа, и останется еще одно, которое будет принадлежать новой совокупности с У=у,+уа — 1. Следующее значение М (третье сверху) можно составить тремя путями (иа т,=у, — 2, та= — уа, из т,=у, — 1, т,=у„— 1 и из т,=у„т„=уа — 2). Два из инх принадлежат к уже начавшим составляться группам; третье говорит нам, что надо включить в рассмотрение и состояния с У=у,+уа — 2. Такие рассуждения будут продолжаться до тех пор, пока уже нельзя будет, меняя то одно, то другое т, получать новые состояния.
Пусть из у, и уа меньшим является у„(а если они одинаковы, возьмите любое из них); тогда понадобятся только 2у„значений полного спина У, идущих единичными шагами от у'„+у вниз к у, — у' . Иначе говоря, когда объединяются два объекта со спинами у, и ую то полный момент количества движения У их системы может равннться одному из аначений: уа+ уа у +уа — 1 у, +у'а — 2 (16. 58) 1у.— уа! (Написав ! у', — уа ~ вместо у, — у'а, мы можем избежать напоминания о том, что у,)~уа,) Для каждого из этих аначений У имеетсн 2У+1 состояний с различными значениями М; М меняется от +У до — У. Каждое иа них образовано из линейных комбинаций исходных состояний ) а, т,; Ъ, та) с соответствующими коэффициентами— коэффициентами Клебша — Гордона для каждого отдельного члена.
Можно считать, что зти коэффициенты дают «количество> состояния ) у„т„' уа, та), проявляющегося в состоянии !63 Еа Таблица 16.7 о огъкдкнкник двкх частиц со спином е 0 =К зь=м ! л, М), Так что каждый из коэффициентов Клебша — Гордона обладает, если угодно, шестью индексами, указывающими его положение в формулах типа приведенных в табл. 16.3 и 16.6.
Иначе говоря, обозначая, скажем, эти коэффициенты С (У, М; 1'„т,; 1ь, ть), можно выРазить Равенство во втоРой стРочке табл. 16.6 так: Мы не будем здесь подсчитывать коэффициенты для других частных случаев *. Но вы обнаружите такие таблицы во многих книжках. Попробуйте сами подсчитать другой случай, например объединение двух объектов со спином 1. Мы же просто привели в табл. 16.7 окончательный результат. ": Тем более, что ббльшая часть работы уже проделана, раз у нас есть общая матрица поворота (16.35). 164 Эти законы объединения моментов количества движения имеют очень важное значение в физике частиц, их приложениям поистине нет конца.
К сожалению, у нас нет сейчас больше времени на другие примеры. добавлеыгся Л Вывод матрицы поворотае Для тех, кто хотел бы разобраться в этом поподробнее, мы вычислим сейчас общую матрицу поворота для системы со спинок (полным моментом количества движения) у. В расчете общего случая на самом деле болыпой необходимости нет; важно понять идею, а все результаты вы смоясете найти в таблицах, которые приводятсн во многих книжках. Но, с другой стороны, вы зашли уже так далеко, что у вас, естественно, может возникнуть желание убедитьсн, что вы и впрямь в состоянии понять даже столь сложные формулы квантовой механики, как (16.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
