Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Но этого вы не смол ете сделать — перед вами пример принципа неопределенности. Если вы все еще не удовлетворены и считаото это «парадоксом», то покажите, что это действительно парадокс: придумайте такой воображаемый опыт, для которого теория квантовой механики двумя различными рассу»кдония»<и предсказывала бы два несогласу<ощихся результата. В противном случае «парадокс» — это всего лишь конфликт между тем, что есть на самом деле, п «а<пим ощущением того, какой <шолагалось бы быть» реальной природе. Вы считаете, что это не «парадокс», но что это все же очень странно? С этим мы все можем согласиться. Именно это и делает физику столь захватьшающо ш<терссной.
Ц 4. 1»Ха»»»?м«1а «<ово1»о»»»а для»г1»опнвольиого с««««на Сейчас, я надеюсь, вам уже ясно, как важно представление о моменте количества дзян<ения для понимания атомных процессов. До сих пор мы рассматривали только системы со сцинами (или «полнымимоментами количества движения») О, <<<«и 1. По бывают, конечно, и атомные системы с большими моментами количества двия<ения.
Для анализа таких систем ну»кны такие же таблицы амплитуд поворота, какие мы привели в гл. 15, 6. Иными словами, нужна матрица амплитуд для спина »?'„2, »?„3 и т. д. Мь< не будем подробно рассчитывать зти таблицы, но хотели бы показать, как это делается. чтобы вы, если понадобится, могли сами это проделать. Как мы видели раныпе, любая система со спином, или «полным моментом количества движения», 1 может существовать в одном из 21 + 1 состояний, в которых г-компонента момента количества движения принимает одно из дискретных значений В 1 — 1, 1 — 2,..., — (< — 1), — ?' (все в единицах Й).
Обозначая з-компоненту момента количества движения произвольного выбранного состояния через <и<», можно опреде- лить состояние момента количества движения, задав численные значения двух «квантовых чисел момента количества движения» / и т. Такое состояние можно отметить, указав вектор состояния ~ /, т). В случае частиц со спином '/, могут быть два состояния! '/„'/,) и ( '/„— '/,), а состояния системы со спином 1 в этих обозначениях можно записать как ~ 1, +1), ) 1, 0), ) 1, — 1). У частицы со спином 0 может быть, конечно, лишь одно состояние )О, 0).
Теперь мы можем посмотреть, что происходит, когда мы проецируем общее состояние ! у, т) на представление, относящееся к повернутой системе осек. Прежде всего известно, что / — это число, которое характеризует систему, поэтому оно не меняется. При повороте осей мы получим просто смесь различных значений т для одного и того же /.
В общем случае появится амплитуда того, что система в повернутой системе координат окажотся в состоянии ) /, т'), где т' — новая з-компонента момента количества движения. Значит, нам нужны матричные элементы (?, т | Л ! /, т) всевозможных поворотов. Мы уже знаем, чтб бывает, если поворот делается на угол «р вокруг оси з. Новое состояние — это попросту старое, умноженное на е' т, у него по-прежнему то же значение т. Зто можно записать так: Л, («р) ~ /, т) =- е'»'е ~ /, т), (16.24) или, если вам больше нравится, (16.25) (/, т' ) Л, (<р) ~ /, и) .= б„,,„е' 'Р (где б,„э„равно единице при т' = »и, и нулю в прочих случаях).
При поворотах вокруг любой другой оси возникает перемошивапие различных т-состояний. Можно было бы, конечно, попы»аться подсчитать матричные элементы для пронзволшпах поворотов, описываемых углами Зйлера р,а и у. Но будет легче, если мы вспомним, что самый общий такои поворот может быть составлен из трех поворотов Л, (у), Л (а), Л, (р); так что если мы знаем матричные элементы для поворотов вокруг оси р, то уже располагаем всем необходтпгы»ь Как же нам найти матрицу поворота для поворота частицы со сппном / на угол О вокруг оси у? Опираясь на основные законы (и на то, что уже было), зто сделать нелегко. Мы так поступали со спипом '/,,: вывели все, что нужно, пользуясь довольно сложными сообрая«ениями симметрии.
Для спина 1 мы это проделали ужо иначе: рассмотрели частный случай, когда система со спином 1 складывается из двух систем со спином '/,. Коли вы последуете за нами и признаете правильным тот факт, что в общем случае ответы зависят только от спина /, а не от того, как скреплены между собой разные части системы со олином /, то мы сможем обобщить рассуждения для спина 1 на произ- вольный спин. э(ы сможем, например, соорудить искусствснную систему со спином в/, из трех объектов со спнном '/,.
Мы сможем даже избежать всяких усложнений, вообразив, что все они суть различные частицы — скажем, протон, электрон и впоон. 11реобразуя каждый объект со спином '/„мы увидим, что происходит со всей системой — надо только вспомнить, что для комбинированного состояния все амплитуды перемножаются. Давайте посмотрим, как все это проходит. Допустим, мы расположили все три объекта со спином '/, спинами вверх; ооозначим такое состояние ~ + + + ). Если мы взглянем на ного из системы координат, повернутой относительно оси з на угол гр, то каждый плюс останется плюсом, но умножится на е'ээ. Таких множителей у нас тройка, так что В (гр) ~+ + + > ацвэгв~~+ .+ ( >, (16,26) Лсьо, что состояние ! + + + ) — это как раз то, что мы называем состоянием т =.
-( '/.„или состоянием ! ",,„+ з/в). Если мы затем повернем эту систему вокруг оси у, то у каждого из объектов со спинок '/в появится некоторая амплитуда стать плюсом пли стать минусом, так что вся система станет теперь смесью восьми возможных комбинаций ~ + + + ), ~++ — >, ~-> — +>, ! — +-г>, !+ — — > ~ — + — >, ~ — — +) или ! — — — ). Ясно, однако, что нх можно разбить на четыре группы, чтобы каждая соответствовала своему значению пг. Прежде всего мы имеем ! + + + ), для которого ш =- з/,.
Затеи имеется тройка состояний ! + + — ), '- — +) и ) — + + ) — каждое с двумя плюсами и одним минусом. Поскольку кая<дьш из объектов со спином '/, имеет равные шансы стать после поворота минусом, то каждая из этих трех комбннацпй должна войти на равных паях. Поэтому возьмем комбинацию =-(~++ — >+~+ — +>+~ — ++>)* (16 27) 1 ~'з где множитель 1/уз поставлен для нормировки. Если мы повернем это состояние вокруг оси з, то получим множитель еьмв для каждого плюса и е эем для каждого минуса.
Каждое слагаемое в (16.27) умножится на е'.~", и общий множитель е'зп' мы вынесем за скобки. Такое состояьпте соответствует нашему представлению о состоянии с т = +'/,„мы приходим к выводу, что ()+ + — >+ )+ — + > + ) — + + >) = ! —, + —,а ) . (16.28) Точно так же можно написать —,— ( ~+ — — >+ ~ — + — >+( — — +>) =~ —, — — ), (16.29) $ ~э у'з )2' 2 что соответствует состояншо с гл = — '/,. Заметьте, что мы берем только симметричные сочетания, у нас нет комбинаций, куда входят слагаемые со знаком минус.
Опи отвечали бы состояниям с таким же ж, но с иным /. Зто аналогично случаю спина 1, где (1Д' 2) ( ( + — ) + ! — +)1 было состоянием ( 1,0), а (1Д' 2) ( ! + — ) — ( — + )) было состоянием ( 0,0). Н1аконе, мы пмоем (16.80~ Эта четверка состояний сведена в табл. 16.1. Таблиза 16.1 е сводил состоякпй Все, что нам теперь нужно сделать, это взять каждое состояние, повернуть его вокруг оси у и посмотреть, сколько новых состояний оно создаст — пользуясь известной нам матрицой поворота для частицы спина '/,.
Можно поступать так же, как мы это делали в случае спина 1 (см. гл. 10, 5 6 (вып. 8)1. (Только алгебры будет побольгпе.) Мы будем строго следовать идеям гл. 10 (вып. 8), так что подробных объяснений давать не будем. Состояния в системе Я будут обозначаться 2 ' ' 2 ' ) ~+++>' 3, 3 6 т' ' З(~ 2 ' У'5 и т. д.; Т-системой будет считаться система, повернутая вокруг оси у системы 8 на угол О. Состояния в Т-системе будут обозначаться ~ '/„+ '/,, Т), ! '/.„+ '/„Т) и т. д. Ноно, что ( '/.„+ '/„Т) это то же самое, что ! +'+'+') (штрихи всегда относятся к Т-системе).
Точно так же ( з/„+ '/„Т) будет равняться =(~+'+' — '>+ ~+' — '+'>+( — '+'+'>1 1'"3 150 и т. д. Казкдое (+')-состояние в Г-системе получается как из ! + )-, так и нз ~ — )-состояний в системе Я с помощью матричных элементов из табл. 10.4 (вып. 8, стр. 267). Если мы имеем тройку частиц со спином '/„то (10.47) надо заменить на По:пзуясь обозначениями табл. 10.4, получим вместо (10.48) уравнение +Ь'з ь'~~-,,-, — —,'-,т)+ь ~ —;,', — — „,',т). (10.32) Пто уже дает нам некоторые нз наших матричных элементов </7 ) сЯ>. Чтобы получить выражение для ! в/,„+ '/,, Я>, мы доляп1ьт исходить из пгеобразовапия состоянии с двумя плюсами и одним минусом. К примеру, -)- Ьас ~ — '+'+'>+ аьг/ ~+'---' — -">+ Ьвг/ ~ ~— '-+ ' — '> -,'— + Ьэс ( — ' — '+ '>+ Ьэд ( — ' — ' — '>.
(16. 33) Добавляя дса сходных выражения для /+ — -';; и / — ++) и Леля па )ГЗ, наклон — +з,Я)=~ Зас~-~- -г >,Т)+ +(аэН-(-2яЬс) ~-з, -(- ~, Т)+ -~- (2Ьаг)+ Ь'с) ~ —;, — —,, Т ) — ,' +)Гзьч~ — ';, — — ', т). (16.34) Продолвсая этот процесс, мы найдем все элементы Сд'Т (18) матрицы преобразования. Они приведены в табл. 16.2. Первый столбец получается из (16.32), второй — из (16.34).
Последние два столбца были вычислены таким же способом. Теперь допустим, что Т-система была повернута относительно 5'-системы на угол О вокруг ее оси у. Тогда а, Ь, с и о равны [см. (10.54), вып. 8): а = д = соэ О/2, с =- — Ь =- з)п О/2. Подставляя это в табл. 16.2, получаем формулы, похожие на вторую половину табл. 15.2, но на этот раз для системы со олином э/,. 1б1 ,~+ + + > = аз !+'+'+'>+ озЬ(~+'+ ' — '>+!+' — '+'>+ + ~ — '+ '+ '>) + Ьз (~+ ' — ' — '>+ ~ — '+ ' — '>+ +~ — ' — '+'>,+Ь ~ — — ' — >. (16.З() Табаева )6.2 ° ИАтРицА повОРОТА для чАстицы со спином Ы Коэффициенты а, Ь, с и 6 объясняются в табл.
10.4. )~3 г<гс ! Засг .г У загб У 3айг )Г3 агл Ь"' а г-' а <6 л> 2айс <гЬ вЂ” ' 26аа 2бал+ Ус !' 3 Ьь! таяЬ а ага ) зьл Рассуждення, которые мы только что провели,.были обобщены на систему с произвольныл< спнном ). Состояния )), ги) мон"но составить из 2) частиц со олином <,<г у кая<дой. (Из них )+и будут в ~ + >-состоянии, а ) — и будут в ) — )-состоянии.) Проводится суммирование по всем возможным способам, какими их можно сочетать, а затем состояния нормируются умножением на надлежащую постоянную.
Голи у вас есть способности к математике, то вы сможете доказать, что получается следующий результат ": <),и') Л (О) !), и>= (()+и)! () — и)! ()+и))(у — и')!]" Х Ий (еоз 6)2)гнею т гй (об в 6)2)т т +ай Х (и — и'+й)! ()+ аг' — й)! 0 — га — Ь)! й! (16.26) где й пробегает все те значения, при которых под знаком факториала получаются неотрицатольные величины, Это очень запутанная форйгуз<а, но с ее помо<цью вы сможете проверить табл. 15.2 для )=1(стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
