Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Но, аная только эти две амплитуды, мы можем узнать об угловом распределении распадов все, что захотим. Надо только всегда тщательно и полностью определять те состояния, о которых идет речь. вты хотим знать вероятность того, что протон вылетит под углом О к оси х (в некоторый узкий телесный 12и )в х' р с ! ! ! ! )в ! а (а м '„д Ех=-й с а сс ! ! и .С' гьсаяапуда Ь дмнвитудо а Ю и г. ядха Два вогможных состояния распада Ао. угол Л(о), как показано на фнг. 15.6, Проведем новую ось г в этом направлении и обозначим ее гЗ Как анализировать, что происходит вдоль этой оси, мы знаем. По отношению к ней спин Л" уже не направлен вверх, а имеет какую-то амплитуду того, что он окажется направленным вверх и какую-то — вниз. Все зто мы уже подсчитывали в гл.
4, а потом опять в гл. 8 (уравнение (8.30)1 (выц. 8). Амплитуда того, что спин будет направлен вверх, есть соз О/2, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, есть — здп О/2 о. Когда спин Ло направлен вверх по оси г', она испустит протон в направлении г' с амплитудой а. Значит, амплитуда того, что по направлению г' пройдет протон, держа свой спип вверх, равна а соз— е (15.33) Точно так же амплитуда того, что вдоль положительной оси г' пройдет протон, направив свой спин вниз, равна — 5юп —. О (15.34) Те два процесса, к которым относятся эти амплитуды, показаны на фиг. 15.9. Теперь зададим такон немудреный вопрос. Пусть мы собираемся регистрировать протоны, вылетающие под углом О, не интересуясь их спином. Два спиновых состояния (вверх и вниз по оси г') различимы, дав<с если бы мы того и не хотели. Значит, чтобы получить вероятность, надо амплитуды возвысить в квадрат и сложить.
Вероятность / (6) обнаружить протон в небольшом телесном угле Л(с при О равна / (6) = ( а !' сов э — + ! Ь |э Мп' —,— . (15.35) Вспоминая, что з1пэ О/2 = '/, (1 — сов О) и соз' О/2 = '/а (1+ соз 6), " Мы провели ось г' в плоскости хг и пспольвуем патрвчныв элементы для Л (0). То же получилось бы в прв другом выборе осей. 126 запишем /(О) так: Угловое распределение имеет вид /(8)=И1+ . вО). (15.37) Одна часть вероятности не зависит от О, а другая зависит от сов 8 линейно.
Из измерений углового распределения мы можем получить а и р, а значит, и ( а ), и ) Ь !. Можно получить ответ и на многие другие вопросы. Моятет быть, вас интересуют лишь те протоны, спин которых направлен вверх относительно старой оси в7 Каждый член в (15.33) и (15.34) даст амплитуду того, что спин протона окажется направленным вверх или вниз по отношению к оси в' ( ) + в') и ~ — в')). Л состояние, когда спин направлен вверх относительно старой оси, ) + в), можно выразить через два бависных состояния ( + в') и ( — з'). Можно тогда взять две амплитуды (15.33) и (15.34) с надлежащими коэффициентами (сов О/2 и — в(п О/2) и получить полную амплитуду ( ' ) О . От асов' — -+Ьв1п' — ) .
2 " 2)' Ее квадрат даст вероятность того, что протон вылетит под углом 8 со спином, направленным туда я<е, куда направлен спин Лз (вверх по оси в). Если бы четность сохранялась, можно было бы сделать еще одно утверждение. Распад на фиг. 15.8 — это просто зеркальное отражение, скаявем в плоскости ув, распада с фиг. 15.7 е. Если бы четность сохранялась, Ь равнялось бы либо а, либо — а. Тогда коэффициента в (15.37) был бы равен нулю и распад одинаково часто происходил бы во всех направлениях.
Результаты опытов говорят, однако, что при распаде асимметрия суп/ествует. Измеренное угловое распределение действительно, как мы предсказали, меняется по аакону сов 8, а не по закону сова 0 или по другой степени. Из этого углового распределения, стало быть, следует, что спин Л' равен '/,. Кроме того, мы видим, что четность не сохраняется. Действительно, коэффициент а на опыте найден равным — 0,62 ~ 0,05, так что Ь примерно вдвое больше а. Отсутствие симметрии относительно отражений совершенно очевидно.
Вы видите, как много можно вывести из сохранения момента количества движения. Еще некоторые примеры будут приведены в следующей главе. * Вспомните, что спин — зто аксиальвый вектор в прп отражепвв ов переворачивается. а ° а Нал~ечакие после лекции. Под амплитудой а здесь мы подразумевали амплитуду того, что состояние [ протон летит по+ г, спин по +г> обрааовано за бесконечно малое время аг нз состояния [Л, спин но +а>, или, иными словами, что <протон летит по+г, спин по+г/Н Л, спин по —,' х>=/йа, (15.38) где Н вЂ” гамичьтониан всего мира или по врайней мере ток его части, которая ответственна за Л-распад. Сохранение момента количества движения означает, что у гамильтокиана должно быть такое свойство: <протон летит по +г, спин по — г[Н[Л, скин по +г> = О.
(15.39) Под амплитудой Ь подразумеваетсн, что <протон летит по +г, спин по — х[Н,'Л, спин по — г> = //15. (15.40) Сохранение момента количоства движения предполагает, что <протон лотвт по +г, спин по +г '1/,Л, спин по — х> =- О. (15.41) Если вам не ясно, как написаны амплитуды (15.33) и (15.34), можно нх записать в более математической форма. Когда мы писали (15.33), 'нам нужна была амплитуда того, что Л со спинок, направленным по +г, распадается на протон, движущийся вдоль направления +х' и обладающий спинам, направленным тоже по +г', т.
е. <протон летит по +г', спин по + х'[Н Л, спин по +г>. (15.42) По общим теоремам квантовой механики зту амплитуду можно записать так; <протон летит по+а', спин по +х[П/Л, /> <Л, ВЛ, спин по +а>, (15.43) где суммирование проводится по базнсныы состояниям [ Л, г> покоящейся Л-частицы. Поскольку спин Л-частицы равен '/„таких состояний два, в каком бы базисе мы ни работали. Если в качестве базисных мы выберем состояния со спинам, направленным вверх и вниз ка отношению к аси х'([+г'>, [ — г'>), то амплитуда (15.43) будет равна сумме (протеи летит по +г, спин по +г",,Н,Л, +г'> (Л, + х')Л, + г>+ + <протон летит по+а', спин по +г'[Н[Л,— г'><Л,— х'[Л, + г>.
(15.44). Первый множитель в первом слагаемом равен а [ив (15.38)), а первый множитель во втором слагаемом равен нулю — из формулы (15.41), в свою очередь следующей из сохранения момента количества движения. Второй множитель <Л, + г'[Л, + х> из первого слагаемого — зто как раз амплитуда того, что частица со спинок '/„ направлонным вверх по одной оси, будет также обладать свином,направленным вверх по другой оси, повернутой относительно первой на угол О. Такая аипггнтуда равна слзО/2 [см. табл. 4 2 (вып.
8)). Так что (15 44) равно простое созО/2, как и было написано в (15.33). Амплитуда (15.34) следует мз каких же рассуждений для Л-частицы со спинам, направленным вниз. ° а ° ф 6. Сводка мгзтрпмг покое>опта Теперь мы хотим собрать воедино все, что мы узнали о поворотах частиц со олином '/, и спином (; зто будет удобно для дальнейшего.
Ниже вы найдете таблицы двух матриц поворота В, (гр) и х) (9) для частиц со олином '/„для частиц со олином 4 и для фотонов (частиц со олином $ и нулевой массой). 128 Таблипа 1бД а МАТРИЦЫ ПОВОРОТА ДЛЯ ОДИНА О, Деа еоетоЯЯиЯ. ~+>, ввеРх по оси з, т=+'1е ~ — >, вниз по оси г, т= — 1р 1+> ! †> Ве1 Р1 е+ 1" т о о е — вп (+( < — ) В 1О, я1п 012 соя 012 соя 012 — яш О,'2 Таблица 1б.2 МАТРИЦЫ ПОВОРОТА ДЛЯ СПИЦА 1 Три еоетояиия: (+>, ря=+1 )О>, яе= — 0 ! — >, т=.— 1 |+> ~0> ~ — > Верр1 е+'- 0 О 0 1 0 <+! <0~ < — ~ ВР1О1 <+! 1 — — яшО У'2 5 ВИ яра — (1 + соя О) 1 — — яап 0 р 2 —,', (1 — соя О) 1 + = яшО 'р 2 соя Π— (1 — соя 0) 1 + =яшО у" 2 — ( 1+соя 0 ) /'лелина гз,Я ° еотоны l Дза оозтолнин> ~А > = — (л >+! ~ Л>), ш = + з )' 2(, (празоноллризозоезззые~ I )и>=---'~з> — е1р>), т= — ~ У 2(, (лезоноллризозазеные) (д> (й> Л,(ер) < зз / <ь~ е Для каждого из них приведены элементы матрицы (у' ! Л ( 1) поворотов вокруг осн з пли осп д.
Опя, конечно, в точности эквивалентны амплитудам типа (+ Т (ОЮ), которыми мы пользовались в предыдущих главах. Под Л, (ер) мы понимаем, что берется проекция состояннч на новую систему координат, повернутую на угол ер вокруг оси г,причем для определения напра аления поворота всегда применяется правило правой руки; Л о(0) означает, что оси координат повернуты на угол 0 вокруг осй р. Зная эти два поворота, вы запросто сне>кете рассчитать любой поворот.
Как обычно, матричный элемент пишется так, что состояние слева — это базисное состояние новой (повернутой) системы, а состояние справа — это базисное состояние секирой (неповернутов) системы. Клетки таблицы можно истолковывать по-разному. К примеру, клетка е ое' в табл. 15.1 означает, что матричный элемент ( — ~ Л ! — ) = е-иыз. Но это означает также, что Л ( — ) = е-еиз ' ( — ) или что ( — ( Л = ( — (е-'т. Это все одно и то же.
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 5 1. Электрическое дияольиое излучение Э т. Элегатаг1агаааеское дипольное ггнл)ачеигае В предыдущей главе мы развили представления о сохранении момента количества движения в квантовой механике и показалаа, как имп можно воспользоваться для предсказания углового распределения протоков при распаде Лз-частицы. Теперь мы хотим добавить еще несколько иллюстрация тех следствий, которые вытекают из сохранения момента количества движения в атомных системах. Первым примером послужит излучение света атомом. Сохранение момента колнчества двия<епия (наряду с другими обстоятельствами) определит поляризацию и угловое распределение испускаемых фотонов.
* Пусть имеется атом в возбувкденном состояник с определенным моментом количества дькжсния, скажем со олином, равным 1; оя, излучая фотон, переходит к состоянию с моментом нуль при более низкой энергии. Задаю в том, чтобы представить угловое распределение и поляризаааию фотонов. (Она очень похояаа яа задачу о распаде А'-частицы, но только теперь спин равен не '/„а 1.) Раз у возбужденного состояния спин равен единице, то для з-компоненты момента имеются три возможности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
