Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Можно написать т),( Ифэ>= -'"~ р >. (15.24) Общепринято при определении ю пользоваться знаком минус; при таком соглашении юя — это энергия системы; она сохраняетсл. Итак, система с определенной энергией — это такая система„которая при сдвиге во времени на т воспроизводит самое себя, умноженную на е ' '. (Это как раз то, что мы говорили, когда определяли квантовое состояние с определенной энергией, так что все согласуется.) Зто означает, что если система находится в состоянии с определенной энергией и если гамильтониан не зависит от д то независимо от того, чтб вроизойдет дальше, система во все позднейшие времена будет обладать той же энергией.
Теперь вы понимаете, стало быть, какая связь между законами сохранения и симметрией мира. Симметрия по отношению к сдвигам во времени влечет за собой сохранение энергии; симметрия относительно положения на осях х, у или з влечет за собой сохранение соответствующей компоненты импульса. Симметрия относительно поворотов вокруг осей х, р и з влечет за собой сохранение х-, у- и з-компонент момента количества двиягения. Симметрия относительно отражений влечет за собой сохранение четности. Симметрия по отношению к перестановке двух электронов влечет за собой сохранение чего-то, чему не придумано еще названия, и т.
д. Часть этих принципов имеет классические аналоги, а часть — нет. В квантовой механике есть больше законов сохранения, чем это нуягно для классической механики или по крайней мере чем обыкновенно в ней в ходу. Чтобы вы смогли разобраться в других книгах по квантовой механике, мы сделаем небольшую техническую ремарку и познакомим вас с одним общепринятым обозначением. Операция сдвига по времени — это как раз та самая операция У, о которой мы как-то говорили: 'О1 (т) = б (~ т т г).
(т5.25) Многие предпочитают язык бесконечно малых сдвигов по времени или бесконечно малых перемещений в пространстве или поворотов на бесконечно малые углы. Поскольку всякое конечное смещение или угол можно постепенно накопить последовательными бесконечно малыми смещениями илн поворотами, то часто легче проанализировать сначала этот бесконечно малый случай. Оператор бесконечно малого сдвига Ы во времени есть (по определению гл. 6, вып. 8) й, (Лг) =1+ — ' М И.
й (15.26) Тогда Й аналогично влассической величине, которую мы именуем энергией, потому что если Н ~ ~р) оказывается равным постоянной, умноженной на ) ф), а именно если Н ~ф)=Е ~1р), то эта постоянная есть энергия системы. То же самое проделывается и с другими операциями. Если мы делаем легкое смещение по х, скаясем на Лх, то состояние ) $), вооби(е говоря, перейдет в некоторое новое состояние ) ф').
Мы можем написать ~ ф'> =.йв (Лх) ! ф) = (1-, '— р„Лх )Щ), (15 27) потому что, когда Лх стремится к нулю, ) ф' ) обязано обратиться опять в ) ~р), или, что то же самое, й„(0)= — 1, а для малых Лх отклонение (), (Лх) от единицы должно быть пропорционально Лх. Оператор р„, определенный таким путем, называется оператором импульса (естественно, для х-компоненты). По тем же причинам для малых поворотов обычно пишут Й,(Л р) ~ ф> = ( 1+ — У, Л р) ) ф) (15.28) й и называют У, оператором г-компоненты момента количества движения.
Для тех особых состояний, для которых В, (у) ! $в ) = =.е' ' )1:в), можно для каягдого малого угла, скажем Л<р, разложить правую часть до членов первого порядка по Лгу и получить Й, (Л в.) = еев ат ~ ~р ) = (1-(- ~тЛ~у) ~ ~р„>. Сравнивая это с определением У, по формуле (15.28), приходим к У, ~ ф~> = ~6 ( ф~>.
(15.29) Иначе говоря, если вы действуете оператором У, на состояние е определенным моментом количества движения вокруг оси г, то получаете тЬ, уыноженюе на это состояние, где тй — количество г-компонепты момента количества движения. Все совершенно аналогично тому, как действие Й на состояние с определенной энергией дает Е ( ар). Теперь хотелось бы перейти к некоторым приложениям идеи о сохранении момента количества движения, чтобы показать вам ее в действии. Дело в том, что в действительности все это очень просто. О том, что момент количества движения сохраняется, вы знали и раньше. Единственное, что вам нужно запомнить 118 из этой главы, это что если у состояния ! >)>е ) есть такое свойство, что при повороте на угол ср вокруг оси з оно превращается в с> ') >)>е), то з-компонента момента количества движения равна та.
Этих знаний достаточно, чтобы получить уйму интересных вещей. ф А Поляртслоеатстсытс светп Прежде всего необходимо проверить одну идею. В гл. 9, 9 4 (вьш. 8), мы показали, что когда состояние правополяризованного по кругу света наблюдается из системы, повернутой на угол ~р вокруг оси з *, то оно оказывается умноженным на с'т. Не означает ли это, что фотоны правополяризованного по кругу света несут моыент количества движения вдоль оси з, равный единице ее? Да, тал оно и есть. Это означает еще, что когда у нас имеется пучок света, содержащий множество фотонов, поголовно одинаково поляризованных по кругу (как бывает в классических пучках), то он будет нести с собой какой-то момент количества двиясения.
Если полная энергия, уносимая пучком за какое-то время, есть тг', то в пем имеется Л = — йГ>>>ю фотонов. Каясдый несет по моменту Ь, так что полный момент количества движения равен (15.30) Можно ли и в классике доказать, что свет, правополяризованный по кругу, несет с собой энергию и момент количества движения в пропорции И' к ю? Ведь если все правильно, зто было бы классическое утверждение — случай, когда можно перейти от квантов к классике.
Надо проверить, подтверждается ли это классической физикой. Тогда станет ясно, имеем ли мы право назвать >л моментом количества движения. Припомним, чем в классическом смысле является правополяризованпый свет. Он описывается электрическим полем с колеблющейся а-компонентой и колеблющейся у-компонентой, сдвинутыми по фазе на 90', так что суммарный вектор 6 электрического поля бежит по кругу (фиг. 15.5, а). Теперь положим, что мы осветили таким светом стенку, способную поглотить его (или по крайней мере часть его), и рассмотрим один из атомов стенки, опираясь на классические представления.
Мы е Прошу прощения! Этот угол имеет обратный зязкпо откошеии>о к использовавшемуся в гл. У, т 4. ** Кзк правило, момент количества движения атомной системы весьма удобко измерять в единицах а. Тогда можно говорить, что частица со сливом >>с обладает по отношению к любой оси моментом количества движеиия + >/т. И вообще, что т-компояепта момента количества движеиия есть т. Не приходится все время повторять я.
Н9 гр и г. 1й.й. Электрическое коле $ е яоляривованной ко кругу световой волне (а1 и ерагиение глек- трона, яриеодимого в дг геенне ноляригованним яо кругу светом (д). часто представляли движение электрона в атоме в виде гармонического осциллятора, который приводится в действие внешним электрическим полем. Предположим, что атом нзотропен, так что с он равным успехом колеблется как в направлении х, так и в направлении у. Далее, у света, поляризованного по кругу, смещения по х и по у одинаковы, хотя и отстают друг от друга на 90'. В итоге электрон будет двигаться по кругу (фиг.
15.5, 6). Он сместится нз положения равновесия в начале координат на величину г и начнет ходить по кругу, как-то отставая по фазе от вектора сг. Связь между со и г может быть такая, как показано на фиг. 15.5, б. Электрическое поле с течением времени поворачивается, но с такой же частотой поворачивается и смещение, так что относительная ориентация остается той же. Посмотрим теперь, какая работа производится над электроном. Скорость, с какой электрону подается энергия, равна его скорости г, умноженной на компоненту бы параллельную этой скороспы (15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
