Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Если вам зто в самом деле интересно, то вот смотрите: Н (х, х') можно записать так: а Н(х, х) — — — 6 (х — х )+$'(х) 6(х — х), где 6" означает вторую производную 6-функции. Эту довольно странную функцию можно заменить чуть более удобным и полностью ей равнозначным алгебраическим выражением лэ Н (х, х') = ( — — — „, + Р (х) ~ 6 (х — х').
99 Мы не будем пользоваться этими формулами, а прямо будем работать с (14.52).) Если теперь взять выражение (14.52) и подставить в (14.50) вместо интеграла, то для ~р (х) =(х ! ф) получится дифференциальное уравнение ар в аз ?Д ~ —,= — 2— ~, Р( )+? ( ) Р(~). (14.55) Совершенно очевидно, чтб надлежит поставить вместо (14.53), если нас интересует трехмерное движение. Надо только йз/г?сз заменить на дз де дз у'= —.+ — +— даз двз д~~ ~ а ?' (я) заменить на ?"(х, у, з). Для электрона, движущегося в поле с потенциалом Р (х, у, г), амплитуда ф (х, р, г) удовлетворяет дифференциальному уран ненизо (14. 54) ??азывается оно уравнением Шредингера и было первым известным квантовомеханическим уравнением.
Его написал Шредингор, прежде ~ем было открыто любое другое описанное в атом томе уравнение. Хотя мы здесь пришли к нему совсем иным путем, по появление этого уравнения в 1926 г., когда Шредингер впервые его написал, явилось великим историческим моментом, отметившим роягдение квактовомеханического описания материи. Многие годы внутренняя атомная структура вещества была великой тайной.
Никто не был в состоянии понять, чтб скрепляет вещество, отчего существут химическая связь, и, особенно, как атомам удается быть устойчивыми. Хотя Бор и смог дать описание внутреннего движения электрона в атоме водорода, которое, казалось бы, объясняло наблюдаемый спектр лучей, испускаемых этим атомом, но причина, отчего электроны движутся именно так, оставалась тайной. Йредингер, открыв истинные уравнения движения электронов в масштабах атома, снабдил нас теорией, которая позволила рассчитать атомные явления количественно, точно и подробно.
В принципе его уравнение способно объяснить все атомные явления, кроме тех, которые связаны с магнетизмом и теорией относительности. Оно объясняет уровни энергии атома и все, что касается химической связи. Но, конечно, это объяснение только в принципе. Математика вскоре становится столь сложной, что точно решить удается только простейшие задачи. Одни лишь атомы водорода и гелия были рассчитаны с высокой точностью. Однако путем различных приближений, порой весьма сомнительных, можно многое понять и в более сложных атомах и в химической связи молекул. Некоторые из этих приближений были показаны в предыдущих главах.
Уравнение Шредингера в том виде, в каком мы его записали, не учитывает каких-либо магнитных эффектов. Их, правда, можно приближенно принять во внимание, добавив в уравнение еще другие члены. Но, как мы убедились раньше, магнетизм— это эффект существенно релятивистский, так что правильное описание движения электрона в произвольном электромагнитном поле можно обсуждать только в рамках надлежащего релятивистского уравнения.
Правильное релятивистское уравнение для движения электрона было открыто Дираком через год после того, как Шредингер придумал свое уравнение; оно имеет совершенно другой вид. 51ы его не успеем здесь изучить. Прежде чем перейти к рассмотрению некоторых следствий из уравнения Шредингера, хотелось бы продемонстрировать, как оно выглядит для системы многих частиц. Мы не будем им польаоваться, а просто хотим показать вам его, чтобы подчеркнуть, что волновая функция тр не просто обычная волна в пространстве, а функция многих переменных.
Если частиц много, уравнение превращается в .г дс)(гот„т,...) ~ Ьв сдве( двед двф! дЕ Л ° 2мс; (дав ддв двв) + )с (г„г„г„...) ф. (14.55) Потенциальная функция Р— это то, что классически соответствует полной потенциальной энергии всех частиц. Если на частицы не действуют внешние силы, то функция вс есть попросту электростатическая энергия взаимодействия всех частиц. Иначе говоря, если заряд 1-й частицы равен Я,д„ то функция г'просто равна * 2;Х пе всем тФг (14.56) 4 гв втв ф гв. Кватстовггтсные уутовнтс втсергтстс В одной иа последующих глав мы на каком-нибудь примере более подробно разберем решение уравнения Шредингера.
А сейчас мы хотим показать вам, как получается одно из самых замечательных следствий из уравнения Шредингера — тот поразительный факт, что из дифференциального уравнения, в которое входят только непрерывные функции непрерывных .пространственных переменных, могут возникнуть квантовые " Помните, ощс раньше мм условились, что ев= — дв/4нсв. эффекты, как, например, дискретные уровни энергии в атоме. Нам надо понять следующий существенный факт: как это может быть, что энергия электрона, попавшего в потенциальный «колодец» и вынужденного оставаться в определенной области пространства, с необходимостью принимает значения только пз точно определенной дискретной их совокупности.
Пусть речь идет об одномерном случае движения электрона, когда потенциальная энергия меняется по х так,как показано па фиг. 14.3. Предполоясим, что потенциал является статическим: со временем он не меняется. Как уже мы делали много раз, поищем решения, отвечающие состояниям определенной энергии, т.
е. определенной частоты. Испытаем такую форму решения: ф = а (х) е-'впз. (14. 57) Если мы эту функцию подставим в уравнеппе Шредингера, то увидим, что функция а (х) обязана подчиняться следующему дифференциальному уравнению: = — ()с (х) — Е) а (х). (14.58) Это уравнение говорит, что, каково бы ни было х, вторая производная а (х) по х пропорциональна а (х) с коэффициентом пропорциональности Š— Е. Вторая производная от а (х) это скорость изменения наклона а (х). Если потенциал $' больше энергии Е частицы, то скорость изменения наклона а (х) будет иметь тот же знак, что и а (х).
Это значит, что кривая а (х) повернута выпуклостью к оси х, т. е. более или менее следует ходу положительной или отрицательной экспоненты е*'. Это означает, что на участке слева от х, (см. фиг. 14.3), где о больше предполагаемой энергии Е, функция а (х) будет напомкнать одну из кривых на фиг. 14,4, а. Если же потенциальная функция Г меньше энергии Е, то знак второй производной а (х) по х противоположен знаку самой Ф и г. 1о.д. Потеициольиия яме для иостици, движущейся вдоль оси я. 'й>Е и У<Я б Од и е. лй.й.
Воеможиие ферми волновой ~дйннции а (а) при Г) Ь' и при Г( Ь. а (х) и кривая а (х) будет всегда вогнута к оси х, подобно одной из линий на фиг. 14.4, б. 1'ешение на этом участке приобретет форму кусочков синусоид. Теперь поглядим, можем ли мы графически построить решение для функции а(х), отвечающей частице с энергией Г, при потенциале )е, показанном на фиг. 14.5. Раз нас интересует такое положение, когда частица заключена внутри потенциальной ямы, то мы будем искать решения, при которых амплитуда волны принимает после удаления х за пределы потенциальной ямы очень малые значения. Мы очень легко можем представить себе кривую наподобие изображенной на фиг, 14,5, стремящуюся к нулю при больших отрицательных х и плавно поднимающуюся при приближении.к хд.
Поскольку Р в точке х, равно Е„то кривизна функции в этой точке равна нулю. Между хд и х, величина )е — Е, всегда отрицательна, так что функция а (х) все время вогнута к оси, а кривизна тем больше, чем больше разность между Е, и Г. Если продолжить кривую в область между хд и х„ей придется идти примерно так, как на фиг.
14.5. Теперь протянем эту кривую правее х,. Там она искривляется прочь от оси и движется к большим положительным значениям (фиг. 14.6). Для выбранной нами энергии Ь', решение а (х) с ростом х растет все сильнее и сильнее. Действительно, ведь и кривизна решения а (х) тоже возрастает (если потенциал остается почти постоянным). Амплитуда круто вырастает до гигантских масдптабов. Что это означает? Просто что частица не Ф и г. 1д.д. Волновая фуьькчия дья вньргиьь Ев, етремяьиолея к нулю при удалении х в отризателоную еторону. всвязана» потенциальной ямой. Обнаружить ее вне ямы бесконечно более вероятно, чем внутри. Для изготовленного нами решения гораздо более вероятно встретить электрон в х=+со, чем где-либо еще.
Найти решение для связанной частицы нам не удалось. Что ж, попробуем взять другуьо энергию, скажем, чуточку повыше чем Е„ например Ео (фиг. 44.7). Если слева условия останутся теми же, то мы придем к решению„показанному на аСх) Ф и г. 1д.д. Волновая функеия а(х) (ем. фиг. 1д.д], продолженная га х . ев и е. 14.1.
Волновал функции аук) длл внереии Еы большей чем Е . нижпейчастн фиг. 44.7. а На первых порах оно выглядит получше, но в конце концов оказывается таким же плохим, как н решение для Е„только теперь при возрастании х величина а (х) становится все более и более отрицательной. Может быть, в этом разгадка! Раз небольшое ивменение энергии от Е, к Е„приводит к тому, что кривая перебрасывается с одной стороны оси на другую, то, может быть, существует энергия, лежащая между Е, и Еь, при которой кривая для больших х будет стремиться к нулю, Так оно и есть, н мы на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
