Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 18
Текст из файла (страница 18)
6, 1 4 (выл. «д 66 эквивалентна умноженшо на Лх, а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных опре- делениях правильная формула будет такой: (~р(ф)= ~ (~р(х)(х)ф)Ых. (14,19) вье х Амплитуда (х ) ф) — это то, что мы теперь называем ф (х); точно так же амплитуду (х ) ~р) мы обозначим х (х). Вспоминая, что (~ ( х) комплексно сопряжена с (х ! ~р), мы можем (14 18) переписать в виде (ср~ ~р) =-) ср (х) ф(х) пх.
(14.20) При наших новых определениях все формулы останутся прежними, если только всюду знак суммы заменить интегрированием по х. И тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы' она сполна отражала все, что происходит. Для одномерного двиягения электрона в действительности недостаточно указать только базисные состояния ( х), потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз.
Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состоянии по х: одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности. ф 3. Сосзиояитзя с оиределеииьгм импульсом (имп. р) ~р) = ) (имп. р)х) (х(ф) дх. (14.21) Пусть у пас имеется электрон в состоянии ) ф), описываемом амплитудой вероятности (х ! ф) = ф (х). Мы знаем, что ф (х) обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале дх близ точки х попросту равна Вер. (х, ох) = ~ф(х) ~зох.
Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спросить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен рг' Начнем с расчета амплитуды того, что состояние ( ф) присутствует в другом состоянии ) имп. р), которое мы определим как состояние с определенным импульсом р. Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разложения амплитуд (14.20). В терминах состояний ( имп. р ) д вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс Р, выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды.
Цо опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области 4р близ значения р. Вероятность того, что импульс в точности равен р, равна нулю (разве что состояние ( ф) окажется состоянием с определенным импульсом).
Только вероятность обнаружить импульс в интервале др возле значения р может оказаться конечной. Пормировку можно делать по-разному. Мы выберем тотспособ нормировки, которык нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться. Примем такую нормировку, чтобы вероятность была связана с амплитудой равенством Вер. (р, вр)=(<имп.р)ф>(з ~ . (14.22) 2яй Это определение дает нам нормировку амплитуды <нмп. р ! х). Амплитуда <имп. р ) х), естественно, комплексно сопря",кена с амплитудой <х ( имп.
р), а последнюю мы писали в (14.15). При нашей нормировке оказывается, что коэффициент пропорциональности перед экспонентой как раз равен единице, т. е. <имп. р(х>=<х(имп. Р>*=с-'>'м". (14.23) Тогда (14.21) превращается в .~- а <имп. р(ф>= ) е-шм" <х(ф)дх. (14.24) Вместе с (14.22) это уравнение позволяет находить распределение импульсов для любого состояния ) ~р). Возьмем частный пример: скажем, когда электрон расположен в некоторой области вокруг х = О.
Пусть мы взяли волновую функцию вида ~р (х) Кс-х'гза* распределение вероятности иметь то или иное значение х для такой волновой функции дается ее квадратом Вер. (х, дх)=-Р(х)дх=Кзе-'ч~"'дх. (14.26) Функция плотности вероятности Р (х) — это кривая Гаусса, но- казанная на фиг. 14.1. Большая часть вероятности сосредоточена между х = +о и х = — и.
Мы говорим, что вполуширинав кривой есть и. (Точнее, о равняется средней квадратичной координате х, если разброс координат соответствует атому Распределению.) Коэффициент К следовало бы выбрать так, чтобы плотность вероятности Р (х) не просто была пропорпио- Ф и в. 1о,1. Плотность вероятности длл волновой 1йункчии (14.2Е). -йа -2с -и 0 а' 2 т Зев (14.27) ф (Р) = (имп. р ! ф). Подстановка (14в.25) в (14.24) дает ф (р) ) е- ок(а.
Ке-впво* с)х (14.28) что можно такхсе переписать в форме КЕ-Р'ОЧЫ ~ Š— (Овв В (КВВСРОв,'1ЯС)Х Сделаем теперь замену и=х+21рав/Ф; интеграл обратится в ) е-" гво с)и=2о )кя. и (14.30) Математикам, вероятно, не понравился бы такой путь расчета, в Был использовав тот факт, что ') е свйс= укк; см. вып. 1, стр. 116. нальпа вероятностгл (на единицу длины х) обнаружить электрон, но имела бы такой массптаб, чтобы Р (х) Лх разнялось вероятности обнаружить электрон в Ьх вблизи х.
Коэффициент К, при котором так и получается, можно найти из требования + Р (х) дх = 1, потому что вероятность обнаружить электрон где попало равна единице. Мы находим, что К = (2яоа) — Ч *. Теперь найдем распределение по импульсу. Пусть ф (р) есть амплитуда того, что импульс электрона окажется равным рч однако итог, несмотря на это, верен; ср (р) =(8ло')" е-меч"'. (14.31) Мы пришли к интересному результату — распределение амплитуд по р имеет в точности ту же математическую форму, как и распределение амплитуд по х, только ширина кривой Гаусса иная.
Можно записать это так; ~р (р) = (2лз)з) — 'ае-е*,'аз* (14.32) где полуширина з) распределения по р связана с полушириной о распределения по х формулой Ч=— й (14. 33) ЛрЛх=— ь 2 (14.34) Интересно вот что: можно доказать, что при всяком ином виде распределения по х или по р произведение ЛрЛх не может стать меньше, чем у нас получилось. Гауссово распределение дает наименьшее возможное значение произведения средних квадратичных. В общем случае ЛрЛх> 2 .
(14.35) Это количественная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, который качественно нам уже давно известен. Ыы обычно делали приближенное утверждение: наименьшее значение произведения ЛрЛх — это число порядка Ф. ф А Яоумнроона состнояннй с ощжделвнной ноордннатпой ш Теперь мы вернемся к обсуждению тех изменений в наших основных уравнениях, которые необходимо сделать для раооты с континуумом базисных состояний. Когда имеется конечное число дискретных состояний, то фундаментальное условие, Наш результат утвернздает: если сделать распределение по х очень узким, взяв о малым, то ц станет большим и распределение по р сильно расползется. Или наоборот, если распределение по р узко, то оно соответствует широкому распределению по х.
Мы можем, если угодно, рассматривать т) и о как некую меру неопределенности локализации импульса и координаты электрона в изучаемом нами состоянии. Если обозначить их соответственно Лр и Лх, то (14.33) обратится в которому должна удовлетворять система базисных состояний, имеет вид (!!7> = бгт (14.36) Если частица пребывает в одном базисном состоянии, то амплптуда пребывания в другом базисном состоянии равна нулю. С помощью подходящей нормировки моя;но так определить амплитуду (! (у'), чтобы она была равна единице. Оба этп условия содержатся в (14.36). Теперь мы хотим понять, как надо видоизменить зто соотношение, когда пользуются базпспымп состояниями частицы на прямой.
Если известно, что частица пребывает в одном нз базисных состояний ! х), то какова амплктуда того, что она пребывает в другом базисном состоянии ! х')? Если х и х' — две разные точки прямок, то амплитуда (х ! х'), конечно, есть нуль, что согласуется с (14.36). По когда х и х' равны, то амплитуда (х ! х') не будет равна единице из-эа той яге старои проблемы нормировки.
Чтобы увидеть, как надо все подправить, вернемся к (14.19) и применим это уравнение к частному случаю, когда состояние ! ~р) — просто-напросто базисное состояние ! х'). Тогда получится (х'! ф)= ) (х'! х) ф(х)г(х. (14.37) Далее, амплптуда (х ! ф) — это как раз то, что мы назвали функцией «р (х). Подобно этому и амплитуда (х' ! ф), поскольку она относится к тому же состоянию ф, является той жо функцией переменной х', а именно ф (х').
Поэтому (14.37) можно переписать так: ф (х') = ) (х' ! х) ф (х) Их. (14.38) Уравнение должно выполняться для любого состояния ф и, стало быть, для любой функции ф (х). Это требование обязано полностью определить природу амплитуды (х ! х'), которая, конечно, есть попросту функция, зависящая от х и х'. Наша задача теперь состоит в том, чтобы отыскать функцию / (х, х'), которая после умножения на «р (х) и интегрирования по всем х даст как раа величину ф (х'). Но оказывается, что не существует математической функции, которая это умеет делать! По крайней мере не существует ничего похожего на то, что мы обычно имеем в виду под словом «функция».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
