Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Эти возбужденные состояния мы игнорировалн, говоря, что нас интересуют лишь условия при наннизшей энергии. Но как раз они-то, эти возбужденные состояния, и приводят к тому, что возможны различные распределения электрона вокруг протона. Если мы хотим детально описать молекулярный ион водорода, то следует принять во внимание и эти прочие допустимые базисные состоянкя. Это моя~но сделать многими способами, и один из них — детальнее рассмотреть состояния, когда расположение электрона в пространстве описывается более пцательно.
Мы уже достаточно подготовлены, чтобы заняться более трудоемкой процедурой, которая позволит нам обстоятельнее говорить о местоположении электрона, задавая амплитуду вероятности того, что он будет обнаружен в каком угодно месте в данной ситуации. Эта более полная теория позволит подкрепить те приближения, которыми мы раньше пользовались. Наши прежние уравнения в каком-то смысле смогут быть выведены как своего рода приближения к более полной теории. Вас может удивить, почему мы не начали прямо с более полной теории и не делали приближений по мере движения вперед. Но мы считали, что, отправившись от приближения двух состояний и постепенно подходя к более полной теории, вам будет легче достичь понимания всей механики квантовой механики.
Наш подход, по-видимому, противоположен тому, который вы найдете во многих книгах. Когда мы обратимся к теме этой главы, вы заметите, что мы нарушаем правило, которому в прошлом неизменно следовали. Какой бы темы мы ни касались, мы всегда пытались более или менее полно представить вам физику дела, указывая как можно полнее, куда ведут эти идеи.
Мы стремились наряду с описанием общих следствий теории представить и некоторые характерные детали, чтобы вам было ясно, куда ведет эта теория. А теперь нам придется нарушить это правило. Мы расскажем об амплитудах вероятности пребывания электрона где-то в пространстве и продемонстрируем вам дифференциальные уравнения, которым они удовлетворяют. Но у нас не будет времени углубиться и обсудить многие очевидные выводы, следующие из теории. 18 Более того, нам даже не удастся связать эту теорию с некоторыми приближенными формулировками, к которым мы раныпе прибегали, скажем, когда изучали молекулу водорода или молекулу аммиака. На этот раз придется бросить дело на полпути, не окончив его. Курс наш близится к концу, и хочешь не хочешь, придется обойтись одним только введением в общие представления.
Мы укажем связь с тем, о чем говорилось раньше, и, кроме того, некоторые другие подходы к задачам квантово11 механики. Надеемся, что этих представлений вам хватит, чтобы потом двинуться самостоятельно и уже по книгам узпать многие выводы из приведенных здесь уравнений. Все-таки нужно оставить кое-что и на будущее. Вспомним еще раз, что нам известно о том, как электрон может продвигаться вдоль линии атомов.
Когда электрон может с какой-то амплитудой перепрыгивать от одного атома к соседнему, то имеются состояния определенной энергии, в которых амплитуда вероятности обнаружить электрон распределяется вдоль решетки в виде бегущей волны. Для длинных волн (малых значений волнового числа Й) энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа. Для кристаллической решетки с постоянной Ь, в которой амплитуда того, что электрон в единицу времени перепрыгнет от одного атома к следующему, равна (Аф, энергия состояния связана с Ь (при малых ЬЬ) формулой Е = Ай'Ь' (14. 1) (см.
гл. 11, $ 1). Мы видели также, что группы таких волн с близкими энергиями образуют волновой пакет, который ведет себя как классическая частица с массой и, аФФ 2АЬ~ ' (14.2) Раз волны амплитуды вероятности в кристалле ведут себя как частицы, то естественно ожидать, что общее квантовомеханическое описание частицы выявит такое же волновое поведение, какое мы наблюдали в решетке. Предположим, мы ваяли одномерную решетку и вообразили, что постоянная решетки Ь становится все меньше и меньше.
В пределе получилось бы, что электрон может оказаться в любой точке линии. Нам пришлось бы перейти к непрерывному распределению амплитуд вероятности. У электрона появилась бы амплитуда оказаться в любом масте линии. Таков был бы один из путей описания движения электронов в вакууме. Иными словами, если мы вообразим, что все пространство можно пронумеровать бесконечным числом очень тесно расположенных точек, и сможем вывести уравнения, связывающие между собой амплитуды в одной точке с амплиту- дами в соседних, то получим квантовомеханические законы движения электрона в пространстве.
Начнем с того, что напомним некоторые общие принципы квантовой механики. Пусть имеется частица, которая может в квантовомеханической системе существовать в разных условиях. Любые заданные условия, в которых может быть обнаружен электрон, мы называем чсостоянием» и отмечаем их при помощи вектора состояния, скажем ! ~у), В каких-то других условиях и метка будет другая, скажем вектор состояния ! ф). Затем мы вводим идею о базисных состояниях.
Мы говорим, что имеется совокупность состояяий ! 1), ! 2)„! 3), ! 4) и т. д., обладающая следующими свойствами. Во-первых, все эти состояния совершенно различны — мы говорим, что они ортогональны. Под этим мы понимаем, что для любов пары базисных состояний ! () и ! у') равна нулю амплитуда <( ! у) того, что электрон, будучи в состоянии !1), окажется таяние и в состоянии <~' !, если только, конечно, ! () и ! ~') не обозначают одного и того же состояния. Всо это символически представляется так; <~/1>=б,, (14.3) Вспомните, что 6; = О, если ( и у различны, и 6;~ 1, если 1 и ~' одинаковые числа. Далее, базисные состояния ! () обязаны быть полной совокупностью, так чтобы любое состояние могло быть выражено на их языке. Иначе говоря, любое состояние ! ~р) может бым полностью описано заданием всох амплитуд <( ! ~р) того, что частица в состоянии ! ю) обнаружится также в состоянии ! ().
Вектор состояния ! ~р) представляется суммой базисных состояний, умноженных каждое на коэффициент, являющийся амплитудой того, что состояние ! ~у) находится также в состоянии ! (): !т>=2',!'><'! у>. (14.4) Наконец, если рассмотреть любые два состояния ! ~у) и ! $), то амплитуду того, что состояние ! $) окажется также в состоянии ! ~у), можно найти, проецируя сперва состояние !~р) на базисные состояния, а затем ка)кдое из базисных состояний — на состояние ! ~у). Это записывается так: «у! Р>=3«у!'><1!Ф>. (14. 5) 1 Суммирование, конечно, проводится по всей совокупности базисных состояний ! (). В гл.
11, когда мы рассчитывали, что бывает с электроном, помещенным в линейную цепочку атомов, вы выбрали совокупность базисных состояний, з которых электрон был расположен близ того или иного из атомов цепочки. Базисное состояние 80 ) в) представляло электрон, локализованный (расположенный) возле атома номер п. (Конечно, неважно, обозначать ли наши базисные состояния ( и) или ( г).) Чуть позже мы нашли, что бааисные состояния удобнее метить координатой атома, а не номером атома в цепочке. Состояние (х„ ) — это просто другой способ записи состояния )п). Тогда, следуя общему правилу, любое состояние ( г(г ) можно описать заданием того, что электрон в состоянии ( г(г) находится также в одном из состояний ( х„).
Для удобства мы решили обозначать эти амплитуды символом С«=<х« ~ г)г). (14.0) Поскольку базисные состояния связаны с местоположениом электрона на линии, то амплитуду С«можно рассматривать кан функцшо коордцнаты х и писать ее в виде С (х„). Лмплитуды С (х„) будут в общем случае меняться во нремени и поэтому суть также функции от г, но мы не будем отмечать эту зависимость явно. Кроме того, в гл. 11 мы предполохгили, что амплитуды С (х„) обязаны менитьсн во нремени так, как положено по гамильтонову уравнению (11.3). В нашем новом обозначении это уравнение имеет вид Й эх« — ЕеС (х«) АС (х«+ Ь) — АС (х« — Ь). (14.7) Два послоднггх слагаемых в правой частя представляют такой процесс, когда электрон, находившийся возле атома (л + 1) или возле атома (и — 1), окажется возле атома (и).
Мы нашли, что (14.7) имеет решения, отвечающие состояниям определенной энергии. Мы записывали их в виде С (х,) =- егнп" ем'«. (14.8) У состояний о низкой энергией длины волн велики (й мало) и энергия связана с й формулой Е = (Ее — 2 А) + А йтдв, (14.9) или, если выбрать нуль энергии так, чтобы было (Ее — 2А) = О, то энергия дается формулой (14.1). Посмотрим, что бы произошло, если бы мы позволили расстояниго Ь между атомами решетки стремиться к нулю, сохраняя волновое число постоянным. Коли бы больпге ничего не случилось, то последнее слагаемое в (14.9) обратилось бы просто в нуль, и никакой физики бы не осталось.
Но предположим, что А и Ь вместе изменяются так, что при стремлении Ь к нулю произведение АЬ' поддерживается постоянным*: с помощью (14.2) мы запишем АЬ' в виде постоянной гав/2т е. При атом «Представьте себе, что по мере сближении точек т«амплитула «ггрмжков из ««г в х„возрастает, (14.9) не изменится, но что произойдет с дифференциальным уравнением (14.7)? Перепишем сперва (14.7) так: Й вЂ”," =(Е,— 2А) С(х„)+ + А [2С (х„) — С (х„+ Ь) — С (л„— Ь)), (14.10) Прн нашем выборе Еь первое слагаемое выпадет. Далее, представим себе непрерывную функцию С (х), которая плавно проходит через значения С (х„) в точках л„. Когда расстояние Ь стремится к нулю, точки х„сближаются все теснее и теснее и [если С (х) меняется достаточно плавно) величина в скобках попросту пропорциональна второй производной С (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
