Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 12
Текст из файла (страница 12)
(13.9) Подставим это пробное решение в наше обычное уравнение Гамильтона й'С~. ХН С (13.10) ПЕ используя в качесте матричных элементов (13.8). Мы, конечно, получим бесконечное количество уравнений, но все их можно будет записать в виде Еа„. = 2Ла„,— Ла„г — Ла» (13. 11) Перед нами опять в точности та псе задача, что и в гл. 11, только там, где раньше стояло Е„теперь стоит 2А.
Решения отвечают амплитудам С„(амплитудам с перевернутым спнном), которые распространяются вдоль решетки с константой распространения й и энергией (13.12) Е =- 2Л (1 — соз ЕЬ), где Ь -- постоянная решетки. Решения с определенной энергией отвечают «волнам» переворота спина, называемым «спиновыми волнами». И для каждой длины волны имеется соответствующая энергия.
Для больших длин волн (малых й) эта энергия меняется по закону Е = АЬ»й». (13.13) Как и прежде, мы моя~ем теперь взять локализованный волновой пакет (содержащий, однако, только длинные волны), который соответствует тому, что электрон-«перевертыш» окажется в такой-то части решетки. Этот перевернутый спин будет вести себя как «частица».
Так как ее энергия связана с й формулой (13ЛЗ), го эффективная масса «частицы» будет равна э«ж=»ль». (13Л4) Такие «частицы» иногда именуют «магнонами». б) М. Две еппэдоеые волиьв Теперь мы хотели бы выяснить, чтб происходит, когда имеется пара перевернутых спиноз. Опять начнем с выбора системы базисных состояний. Выберем такие состояния, когда спины перевернуты в каких-то двух местах (так, как на фиг. 13.2). Эти состояния можно, скажем, отмечать х-координатамн тех двух узлов решетки, в которых окааались электроны с перевернутым олином. То, что на рисунке, можно обозначить )зя, хв). В общем случае базисные состояния будут )х„, я )— дважды бесконечная совокупность! При таком способе описания состояние ) хв, хг) и состояние ! хг, хв) совпадают, потому что каждое из них просто говорит, что в точках 4 и 9 спин перевернут; порядок их не имеет аначения.
Не имеет также смысла состояние ) х„хв) — такого просто быть не может. Любое состояние ) гр) мы можем описать, задав амплитуды того, что оно обнаружится в одном из базисных состояний. Итак, С,„= (х, х„) гр) теперь означает амплитуду того, что система в состоянии ) гр) окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи вг-го и и-го атомов, спины смотрят вниз, Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей,— это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии.
Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; по сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.) Уравнения движения спинозой системы — это дифференциальные уравнения для С„„: й — „"; -,»;(Н„....)сьо дСя, (13 И 5) и Пусть нам опять нужно найти стационарные состояния. Как обычно, производные по времени обратятся в Е, умноженное на амплитуду, а Си я заменятся коэффициентами а „. Затем надо аккуратно рассчитать влияние Н на состояние с перевернутыми спинами вг и п. Зто сделать нетрудно. Представьте на минуту, что вг далеко от в, так что не нужно думать, что будет, если ... и т.
д. Обменная операция, производимая в точке х„, передвинет О 1 2 6 Е 6 6 -3 -г -1 Вв и г. 1д.в'. Сввтвян я в двумя нврввврнунгими внинвми. 58 где а „= (постоянная) ем 'нем "», Е = 4А — 2А соз Ь,Ь вЂ” 2А соз Ь,Ь. (13А8) (13.19) Поразмыслим минутку о том, что было бы, если бы у нас были две незаеиеимые, отдельные спиновые волны (как в предыдущем параграфе), соответствующие й = й и Й = и,; их энергии из (13.12) имели бы вид е, = — 2А — 2А соз |с Ь н е, = 2А — 2А сов Ь,Ь. Заметьте, что энергия Е в (13.19) является как раз их суммои: (13.20) Е =з(Й,)+е (Й,).
Иными словами, наше решение можно толковать следующим образом. Имеются две частицы, т. е. пара спиновых волн, одна перевернутый спин либо к (п + 1)-му, либо к (и — 1)-му атому, так что имеется ненулевая амплитуда того, что теперешнее состояние получилось из состояния ) х, х,), и амплитуда того, что оно произошло из состояния (х„, х„г). Но передвинуться мог и второй спин, так что не исключена и какая-то амплитуда того, что С,„„питается от С „, » или от С„, „. Все зги эффекты должны быть одинаковы. Окончательный вид гампльтонова уравнения для С, таков: (1З.16) Это уравнение пригодно всегда, за исключением двух случаев.
При т =- и уравнения воооще нет, а при т = и .+ 1 пара членов в (13.16) должна пропасть. Этими исключениями мы пренебрежем. Мы просто будем игнорировать тот факт, что некоторые из этих уравнений слегка меняются. Ведь как-никак кристалл считается бесконечным и слагаемых в гамильтониане бесчисленно много; пренебрежение некоторым их числом вряд ли сильно па чем-то скажется. Итак, в первом грубом приближении давайте позабудем об изменениях уравнений. Иными словами, допустим, что (13Л6) верно при всех т и и, даже когда гп и и стоят по соседству. Это самое еуи1еетеенное е нашем приближении. Теперь уже решение отыскать нетрудно. Мы немедленно пол учаом С„„= а» е-'еоь (13Л7) из которых обладает импульсом, описываемым числом Й„а другая — числом (г»,.
энергия системы равна сумме энергий этих двух объектов. Обе частицы действуют совершенно независимо. Вот и все, что в этом есть — и ничего больше. Конечно, мы сделали некоторые приближения, но в данный момент мы не будем обсуждать точность нашего ответа. Вы, однако, чувствуете, что в кристаллах разумного размера с миллиардами атомов и, стало быть, с миллиардами слагаемых в гамильтониане большои ош»»бки от пренебрежения немногимн слагаемыми не выйдет. Если бы, конечно, перевернутых спннов стало так много, что их плотность была бы заметной, то пришлось бы позаботиться и о поправках.
(Интересно, что в случае, когда перевернутых спиноз только два, можно написать и точное решение. Но результат особой важности не представляет. Просто интересно, что в этом случае уравнения можно решить точно. Решение таково: (13.21) а „.= е'ъ' <" »' 1 э(в й ( х — х„! Ь'=-4А — 2А соей,Ь вЂ” 2А соек,Ь с энергией и с волновыми числами Й, и к, связанными с к, и к» формулами й1 — — й,— Ь, /сз = )г, + Е (13.22) В этом решении отражено и «взаимодействие» пары спиноз. Оно описывает тот факт, что когда спины сближаются, возникает какая-то вероятность их рассеяния. Поведение спиноз очень похоже на взаимодействие частиц.
Но подробная теория их рассеяния выходит за пределы того, о чем мы здесь собрались говорить.) ф 3, Неяависижь»е 'тс»»»ицы 60 В предыдущем параграфе мы написали гамильтоннан (13.15) для двухчастичной системы. Затем, пользуясь приближением, эквивалентным пренебрежению каким-либо «взанмодействием» моя»ду двумя частицами, мы нашли стационарные состояния, описываемые формулами (13.17) и (13.18).
Это состояние попросту есть произведение двух одночастнчных состояний. Но решение, которое мы написали для а (формула (13АЯ)), на самом деле удовлетворить нас не может. Мы с самого начала подчеркивали, что состояние ! х„х,) ке отличается от состояния )х„х»), что порядок х и х„неважен. Вообще говоря, алгебраическое выражение для амплитуды С „ке должно меняться от перестановки значений х„и х„, потому что она не изменяет состояния. В любом случае она будет представлять амплитуду того, что спин, направленный вниз, обнаружится в х и в х„. Но обратите внимание, что (13.18) носим етрично по х и х„, поскольку )сг и )сю вообще говоря, различны.
Все дело в том, что мы не заставили наше решение (13.15) подчиниться этому добавочному условию. К счастью, пока нетрудно все исправить. Заметьте, во-первых, что ничуть не хуже формулы (13.18) другое решение уравнения Гамильтона: а „= Ке'Я" езь ' . (13.23) И даже энергия здесь та же самая, что была в (13.18). Значит, любая линейная комбинация (13Л8) и (13.23) также будет решением системы и будет обладать по-прежнему энергией, даваемой (13.19). Решение, которое нужно выбрать по требованиям симметрии,— просто сумма (13.18) и (13.23): К [еы,па ез»,хя [ езт.чы еы,хя]. (13.24) т,я Теперь при данных й, и й«амплитуда С, не зависит от того, в каком порядке мы берем х и х„; если мы случайно поставим хы и х„в обратном порядке, мы получим ту же амплитуду.
И паше толкование уравненгш (13.24) на языке «магнонов» тоже станет иным. Уже нельзя говорить, что уравнение представляет одну частицу с волновым числом й, и другую частицу с волновым числом й, Амплитуда (13.24) представляет одно состояние с двумя частицами (магнонами). Состояние характеризуется двумя волновыми числами и, и йе Наше решение выглядит как составное состояние одной частицы с импульсом р, = )сгф и другой частицы с импульсом р« =- й,ф, но в этом состоянии нельзя сказать, где какая частица.
В этот момент полезно вспомнить гл, 2 (вып. 8) и наш рассказ о тождественных частицах. Мы просто только что показали, что частицы спиновых волн (магноны) ведут себя как тождественные бозе-частицы. Все амплитуды обязаны быть симметричны по координатам двух частиц; зто все равно, что сказать, что после «обмена двумя частицами» мы снова получим ту же амплитуду с тем же знаком. Но вы можете подуматтк «Почему же мы все-такн решили в (13.24) сложить два члена? Почему не вычестьу» Ведь прн знаке минус обмен хо и х„просто изменил бы знак аи „, а это не в счет, это не имеет значения. Но ведь обмен х с х„ничего не меняет — все электроны кристалла останутся там же, где и были, так что даже для перемены знака нет, казалось бы, никакого повода.
Но это, конечно, плохой аргументе. " Квазвчастнцы обсуждаемого типа могут действовать к как бозе- в как ферми-частицы; и, как в у свободных частиц, частицы с целым спинок суть бозокы, с полуцелым — ферывовы. «магион» сиыволвакрует, что злектров со спинок, направленным вверх, перевертывается вппз. Спин меняется яя едпниву. Значит, у нагиева спип целый и оп— боаоа. Наше обсуждеяие имело двойную цель: во-первых, расска- вать вам кое-что о спиновых волнах; во-вторых, продемонстрировать состояние, амплитуда которого равна произведению двух амплитуд, а энергия равна сумме энергий, отвечающих этим амплитудам. Для кезависи.иых частиц амплитуда получается умножением, а энергия — сложением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
