Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Получается линейчатый спектр возможных уровней энергий. Спектр для бензола (Х=б) показан на фиг.' 13.8, б. (Числа в скобках указывают число равличныа состояний с одинаковой энергией.) Есть наглядный способ изобразить эти шесть уровней энергии. Он показан на фиг. 13.8, а. Вообразим круг с центром на одном уровне с Е, и с радиусом 2А. Если мы отложим, начиная " Могло бы показаться, что прк четном Ж есть Я+1 состояввй. Это пе так, вбо е = ~У!2 дают одво и то же состояние. «р и г. 1В,В. Уровни энергии в кольце, в квторвн дла электрона приготовлены тесть сввбодник нест (на. 8м-2 прил«ер, в бек»ельне.к).
Е,+2Я (1) Ее+Я вЂ” (2) Ео Ев-Я (2) 1 Ео 2Я снизу, шесть равных дуг (под углами, считая от нижней точки, /с,Ь:= 2лз/)«', или 2яе/6 для бензола), то высоты точек круга будут решениями (13.25). Шесть точек представляют шесть возмо»нных состояний. Низший уровень энергии придется на Е, — 2А; дальше идут два состояния с одинаковой энергией Е, — А и т.
д.е Это возможные состояния одного электрона. Если электронов не один, а больше, то в каждое состояние может попасть по два электрона с противоположными спинами. У молекулы бонзола надо здесь разместить шесть электронов. Если состояние основное, то они должны попасть в наинизшие возможные энергетические состояния — пара в е = О, пара в э = +1 и пара в е = — 1. Согласно приближению независимых частиц, энергия основного состояния равна Евсн=2(Ео — 24)+4(Ео —.4)=6Ео — 84 (13.28) ь Когда имеется пара состояний (с рваными распределениями амплитуд) с той же энергией, мы говорим, что эта пара состояний «еырожДена».
Заметьте, что энеРгией Еь-А могУт облаДать четиРе алектРона. 67 Она действительно оказывается меньше, чем у трех отдельных двойных связей,— на 2А. Сравнив энергию бензола с энергией этилена„можно определить А. Эта величина оказывается равной 0,8 эв, илии единицах, которые нравятся химикам, 18 икал/молль Этим описанием можно воспользоваться, чтобы вычислить или понять другие свойства бензола. Например, глядя на фиг. 13.8, можно разобраться в возбуждении бензола светом. Что бы произошло, если бы мы попытались возбудить один из электроновр Он мог бы передвинуться к одному из незанятых высших состояний.
Наинизшей энергией возбуждения оказался бы пореход от наивысшего заполненного уровня к наинизшему пустому. Эта энергия равна 2А. Бензол будет поглощать свет с частотой ч = 2А/Ь. Кроме того, будет наблюдаться также поглощение фотонов с энергиями 3А и 4А.
Нечего и говорить, что спектр поглощения бензола был измерен, и картина спектральных линий оказалась более или менее правильной, если не считать того, что наинизшие переходы наблюдаются в ультрафиолете; п чтобы удовлетворить всем данным, пришлось бы взять величину А около 1,4 — 2,4 эе. Иначе говоря, члсленное значение А вдвое-втрое выше, чем предсказывается энергкеи химической связи. Как же поступает химик в таких случаях? Он анализирует множество молекул сходного типа и выводит какие-то эмпирпческие правила. Он учит, например: для расчета энергии связи берите вот такое-то и такое-то значение А, а для получения приближенно верного спектра поглощения возьмите другое значение А.
Вам могкет показаться, что это звучит слегка абсурдно. И впрямь, в ушах физика, который пытается объяснить всю природу из первоначальных принципов,это звучит довольно дико. Но перед химиком задача другая. Он обязан заранее догадаться, чтб произойдет с молекулами, которых до сих пор не было или которые до конца не поняты. Ему нугкен ряд эмпирических правил и ему совершенно все равно, откуда они возьмутся. Так что теорией он пользуется совсем не так, как физик.
Он берет уравнения, в которых отразился свет истины, а потом вынужден менять в них константы, делая эмпирические поправки. В случае бензола основная причина несогласия лежит в нашем предположении, что электроны независимы; теория, из которой мы исходили, на самом деле незаконна. Тем не менее на нее падает какой-то отблеск истины, потому что результаты, по-видимому, идут в правильном направлении.
11ри помощи таких уравнений плюс некоторые эмпирические правила (со множеством исключений) химик-органик прокладывает свой путь через чащу тех сложнейших вещей, которые он решился изучать. (Не забывайте, что в действительности причина, по которой физику удается выводкть что-то из основных принципов, состоит в том, что он выбирает только простые задачи. Он никогда не решает задач с 42 или даже с 6 электронами. До сих пор он смог рассчитать с приличной точностью только атом водорода да атом гелия.) ф б. Ем(е немного оргаггнческой жггмни Можно ли применить все зти идеи для изучения других молекул? Рассмотрим такую молекулу, как бутадиен (1,3); она показана на фиг. 13.9 с помощью обычной картины валеитных связей.
Н, Н Н~ ~Н с=с — с=с Ф и г. 13.9. Изображение с помощью валентных связей молекулы бутадиека (1,3). )сЬ= з, ж+1 (13.29) где г — целое число между 1 и тз'. (Берутся только положи- 3 1 -1 О'1 2 $ 1 Ф и г. 13.10. Отрезок прямой с Л молекулам и.
69 Мы можем опять затеять то же игры с лишней четверкой электронов, отвечающей двум двойным связям. Если ее убрать, то остается четыре атома углерода по одной линии. А как рассчитывать такую линию, вы уже знаете. зНо позвольте,— скажете вы,— я ведь только знаю, как решать беслонеппую линию».
Однако решения для бесконечной линии включазот также и решения для конечной. Следите. Пусть Х вЂ” число атомов на прямой; пронумеруем их 1, 2, ..., Х (фиг. 13.10). В уравнении для амплитуды в точке 1 у вас не появится член для перехода из точки О. Точно так же уравнение для точки Х будет отличаться от того, которым мы пользовались для бесконечной прямой, потому что ниьакого вклада точки зк' + 1 не будет. Но представьте, что мы придумали решение для бесконечной прямой со следуюгцвм свойством: амплитуда оказаться вблизи атома О есть нуль и амплитуда оказаться вблизи атома Ае + 1 топке нуль.
Тогда система уравнений для всех точек от 1 до Ае на конечной линии также будет удовлетворяться. Казалось бы, таких решений пе бывает, ибо все наши решения имеют вид е'зз и обладают всюду одинаковой абсолютной велпчяной. Но вспомните, что энергия зависит только от абсолютной величины ес, так что другим в равной мере законным решением было бы е — 'к" . И то же справедчиво для любой суперпозиции этих двух решений.
Вычитая их, мы получим решение э!п Йт„, а оно удовлетворяет требованию, чтобы амплитуда при л = О была нулем. И оно все еще соответствует энергии Ео — 2А сов )сЬ. Далее, подходящим выбором величины 1с можно также добиться, чтобы амплитуда в лмь, была тоже нулем. Для этого нужно, чтобы ()з' + 1) )сЬ было кратным и, т. е. чтобы гв и г. 1д.11. Энергетитеение уровни бутадиена.
Ео+ 1,61ВА Ее+ 0,61ВА Ео Ео- Вг61ВА Ео" 1я 61ВА тельные 1с, потому что каждое решение содержит н + )г, и — )г; перемена знака 1г опять дает то же состояние.) Для молекулы бутадиена Л' = 4, так что имеется четверка состояний с (13.30) Уровни энергии можно теперь представить, пользуясь круговой диаграммой, похожей на бензольную. На сей раз возьмем полукруг, деленный на пять равных частей (фиг. 13.11). Точка внизу отвечает з = О, что не дает какого-либо состояния.
То же самое справедливо для точки наверху, отвечающей з = гг' + 1. Оставшиеся четыре точки дают четверку разрешенных энергий. Имеется четыре стационарных состояния, чего и следовало оксидать, судя яо четырем базисным состояниям. В круговой диаграмме углы равны п,гб, или 36'. Наинизшая энергия оказывается равной Е, — 1,618А.
(Каких только чудес не бывает в математике! Золотое сечение* греков дает нам наинизшее энергетическое состояние молекулы бутадиена, как это следует из нашей теории!) Теперь уже ясно, как меняется энергия молекулы бутадиена, когда в нее вводят четверку электронов. Зта четверка заполнит два нижних уровня — каждый будет заполнен парой электронов с противоположными спинамн. Полная энергия будет равна Е =2(Ео 1 618А) +2(Ео — 0,618А)=4(Ео А) 0 477А. (13.3Ц г Отношение сторон прямоугольника, который можно разбить на квадрат и на подобный ему прямоугольник, 70 СэНз НВС Вто выглядит вполне разумно. Энергия чуть пониже, чем просто у двух двойных связей, но связь не так сильна, как в бевзоле.
Во всяком случае, именно так химик анализирует некоторые органические молекулы. Но в его распоря>кении есть не только энергии, но и амплитуды вероятности. Зная амплитуды для каждого состояния и зная, какие состояния заполнены, оп может сообщить нам, какова вероятность нахоллдения электрона в каком-нвбудь месте молекулы. Те места, где пребывание электрона более вероятно, вступают в игру при таких химических замещениях, которые требуют, чтобы электрон обслуживал и другую группу атомов.
Другие же места молекулы участвуют в таких замещениях, прн которых молекула имеет тенденцию передать системе еще один электрон. Подобные же иден могут помочь нам получить правильное представление латке о таких сложных молекулах, как хлорофилл, один из вариантов которого показан на фиг. 13.12. Обратите внимание, что двойные и одиночные связи образуют длинное замкнутое кольцо с двадцатью интервалами. Лишние электроны двойных связей могут бегать по этому кольцу. При помощи метода независимых частиц можно получить всю совокупность энергетических уровней. От переходов между этпми уровнями возникают сильные линии поглощения, которые лежат в видимой части спектра и придают этой молекуле ее густой цвет.
И другие сложные молекулы, такие, как ксантофилл, от которого листья получают краснуто окраску, можно изучить таким же точно способом. В органической химии при работе с подобного э рода теорией используют еще одну идею. Она, пожалуй, самая удачная НэС из всех (1гли по крайней мере в определенном смысле самая точная). Она отвечает на такой вопрос: в каких случаях полу- Фи г.
И,!2. Молекула хлоро- филла. СН С вЂ” С=О з Н, СООСН, 1 СОССтоНзэ свояк Ф и г, 18.18. Сумма всея энергий электронов, когда нижние состояния на гдиг. 18.8 заполнена и электронами (пранято й =о). -(Зс1 чаегся особенно прочная химическая связь) Ответ очень интересен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
