Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Можно написать (в чем легко убедиться, разложив в ряд Тэйлора каждый член) равенство 2С (л) — С (л+ Ь) — С (х — Ь) — Ь',") . (14.11) Тогда в пределе, когда Ь стремится к нулю, а Ь'А поддерживается равным ~ь/2ги,се, уравнение (14.7) переходит в .ль дС (*) М д'С (. ) (14А2) з"',эь Перед нами уравнение, утверждающее, что скорость изменения С (х) — амплитуды того, что электрон будет обнаружен в х— зависит от амплитуды того, что электрон будет обнаруньен в близлежащих точках так, что эта скорость пропорциональна второй производной амплитуды по координате.
Правильное квантовомеханическое уравнение движения электрона в пустом пространстве впервые было открыто Шредингером. При движении по прямой оно имеет вид (14.12); надо только т,сэ заменить на т — массу электрона в пустом пространстве. При движеннп по прямой в пустом пространстве уравнение Шредингера имеет вид .~ дС (з) 1Р д2С (э) (14 АЗ) дЬ 2еа дль Мы не хотим, чтобы вы считали, будто мы сейчас вывели уравнение Шредингера; мы только показываем вам один из способов, каким его можно осмыслить. Когда Шредингер впервые написал его, он привел какой-то вывод, опиравшийся на эвристические доводы и блестящие интуитивные догадки. Некоторые из его доводов были даже неверны, но это не имело значения; важно то, что окончательное уравнение дает правильное описание природы.
И цель нашего обсуждения состоит просто в том, чтобы показать вам, что правильное фундаментальное квантовомеханическое уравнение (14.13) имеет ту же самую форму, какая получается в предельном случае электрона, дви«кущегося вдоль цепочки атомов. Это значит, что можно счктать, что дифференциальное уравнение (14.13) описывает диффузию амплитуды вероятности от точки к точке вдоль прямой. Иначе говоря, если электрон имеет некоторую амплитуду того, что ои будет в одной точке, то чуть позже у него появится амплитуда того, что он будет в близлежащих точках. Уравнение действительно напоминает уравнения диффузии, которыми мы пользовались в начале курса. Но есть и одно важное отличие: мнимый коэффициент перед производной по времени приводит к поведению, в корне отличному от обычной диффузии (например, от диффузии газа, распространяющегося по длинной трубе). Обычная диффузия приводит к действительным эксконенциальным решениям, а решения (14.13) суть комплексные волны.
ф М. Волновая 41гннл1лля Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу н изучим проблему описания движения электрона по прямой, ве рассматривая состояний, свяаанных с атомами решетки. Мы хотим возвратиться к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной частицы в простанстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным множеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют некоторых технических видоизменений.
Начнем с того, что вектором состояния ! л) обозначим состояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой х. Для каждого значения х вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния (х) в качестве базисных. Коли это сделать для всех точек л прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем ! ф), в котором электрон как-то распределен вдоль прямой.
Один из способов описать это состоянке — задать все амплитуды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний ( л). Надо задать бесконечную совокупность амплитуд, по одной для каждого х. Запишем их в виде (х ( ф). Кало дая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения х существует одно такое число, амплитуда (л ( ф) является в действительности просто функцией х. Запишем ее также в виде С (х): (14.14) С (л) =: (х ~ ~».
51ы ун«е рассматривали такие амплитуды, которые непрерывным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импульсом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е, то амплитуда того, что она будет обнарун«ена в любом заданном месте в, такова: <х ~ 1> =- С (у) е '»ма, (14.15) Это уравненпе выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответствующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями определенного импульса. В некоторых задачах состояния определенного импульса удобнее, чем состояния с определенным в. И любая другая система базисных состояний также годится для описания квантовомеханической ситуации.
К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний ( х). Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой аамене обозначений, которая, надеемся, вас не слишном смутит. Форма функции С (х), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния ) ф).
Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С (х) идет речь, поставив снизу индекс, скан ем С (х). Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом»р для определения функции ф (х): —.= Св (х) == (х ~ »р>.
(14Л 6) Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему н не пугаться, встретив его гденибудь. Надо только помнить, что ф теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14)»р обоаначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14Л6) слева символ ф применяется для определения математической функции от х, равной амплитуде, связываемой с каждой точкой х прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию»р (х) обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных. Раз мы определили»р (х) как амплитуду того, что электрон в состоянии ф обнаружится в точке в, то хотелось бы интерпретировать квадрат абсолютной величины»р как вероятность обнаружить электрон в точке х.
Но, к сожалению, вероятность 84 обнару«кить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю, Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке бесконечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятностей о, которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. (х, Лх) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале Лх возле точки х. Если мы в каждой физической ситуации будем пользоваться достаточно мелким масштабом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, н вероятность обнаруягнть электрон в произвольном конечном маленьком отрезке врямой Лх будет пропорциональна Лх.
И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда (х (ф) представляет своего рода «плотность амплитуд« для всех базисных состояний ( х) в узком интервале х. Поскольку вероятность обнаружить электрон з узком интервале Лх вблизи х должна быть пропорциональна длине интервала Лх, мы выберем такое определение (х ) ф), чтобы соблюдалось следующее условие: Вер.
(х, Лх) =)<х(ф) )«Лх. Лмплитуда (х (ф) поэтому пропорциональна аьшлитуде того, что электрон в состоянии ф будет оонаружен в базисном состоянии х, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды (х (ф) дает плотность вероятности обнаружить электрон в любом узком интервале.
Можно писать и так: Вер. (х, Лх) = ~ ф (х) ~«Лх. (14.17) Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии ) ф), а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в другом состоянии ( ~р), которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона.
Когда речь шла о конечной системе дискретных состояний, мы пользовались уравнением (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать (<р~ф) =-~ (<р !х) (х ) ф). (14.18) А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет ч О распределениях вероятностей юла речь и гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
