Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 21
Текст из файла (страница 21)
$4.8 изобразили, как может выглядеть решение. Вам нуяшо понимать, что решение, показанное на рисунке, это весьма частное решение. Если бы мы даже чуть-чуть подняли или снизили энергию, то функция перешла бы в другие кривые, похожие на одну нз штриховых кривых фиг. 14.8, и опять для связанной частицы не получилось бы надлежащих условий. Мы пришли к выводу, что если часпща долж- Ф и г.
1в.д. Волновал едункцин длл внервии Ее между Ео и ЕЬ. $01 Ф и г. 1а.р. Функция а(я1 для няти сенганння состояний с наинигтияи гнергияяи. на находиться в потенциальной яме, то это может с ней случиться только при вполне определенной энергии. Значит ли это, что у частицы, находящейся в связанном состоянии в потенциальной яме, моясет быть только одна энергияс Отнюдь. Могут быть и другие, но не слишком близко к К,. Обратите внимание, что волновая функция на фкг. 14.3 четыре раза пересекает ось на участке х„хг.
Если бы мы выбрали энергию значительно ниже Е„то могло бы получиться решение, которое бы пересекло ось только трижды, только дзаясды, только единожды или ни разу. Возмоясные решения намечены на фиг. 14.9. (Могут быть н решения, отвечающие более высоким энергиям.) Вывод состоит в том, что если частица загнана в потенциальную яму, то ее энергия принимает только определенные специальные значения, образующие дискретный энергетический спектр. Вы понлмаете теперь, как способно дифференциальное уравнение описать этот основной факт квантовой физики. Следует заметить только одно. Если энергия Е выше верха потенциальной ямы, то дискретных решений уже не будет, и разрешены все мыслимые энергии.
Такие решения отвечают рассеянию свободных частиц на потенциальной яме. Пример таких решений мы видели, когда рассматривали влияние атомов примесей в кристалле. Главы Ю' СИММЕТРИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ $1. Симметрия $2. Симметрия и ее сохранение й 1. Сгглг.ыетптгыя $ 3. Законы сохранения $4. Поляризованный свет $5. Распад Ае $6. Сводка матриц поворота 31овягоутгвягвп гл. 52 (вьщ.
4) «Симметрия законов физики>> Литература: А. Р. Э д и о к д с, Угловые моменты в квввтовой механике, в кк. «Деформации атомных ядере, ИЛ, 1958. !03 В классической физике немало величин (таких, как импульс, энергия и момент количества движения) сохраняется. Теоремы о сохранении соответствующих величин существуют и в квантовой механике. Самое прекрасное в квантовой механике зто то, что теоремы сохранения в определенном смысле удается в ней вывести из чего-то другого; в классической же механике они сами практически являются исходными для других ааконов. (Монщо, правда, и в классической механике поступать так же, как в квантовой, но зто удается только на очень высоком уровне.) В квантовой механике, однако, законы сохранения очень тесно связаны с принципом суперпозиции амплитуд и с симметрией физических систем относительно различных изменений. Это и есть тема настоящей лекции.
Хотя идеи зги мы будем применять главным обрааом к сохранению момента количества движения, но существенно здесь то, что все теоремы о сохранении каких угодно величин всегда связаны — в квантовой механике — с симметриями системы. Начнем поэтому с изучения вопроса о симметриях систем. Очень простым примером слу«кат молекулярные ионы водорода (впрочем, в равной степени подошли бы и молекулы аммиака), у которых имеется по два состояния.
У молекулярного иона водорода за одно базисное состояние мы принимали такое состояние, когда электрон расположен возле протона )гг 1, ° р а» и е. Ей.Е. Если состояние )Е> и ~2> отразить в изоскости Р— Ез, оии иерейдат соответ- ° р Р а за другое базисное соб стояние то, в котором электрон располагался Г~Я ' возле протона ей 2. Эти Р')1'> ° р ~~~~ рЯ два состояния (мы их ! ф/ называли ) 1) и ( 2)) мы снова показываем на фиг.
15.1, а. И вот, поскольку оба ядра в точзз е' ности одинаковы, в этой физической системе име- Н В ~~~~ рзй ~ е р ется определенная симметрия. Иначе сказать, если бы нам пришлось ! Р отразить систему в плоскости, поставленной посредине между двумя протонами (имеется в виду, если бы все находящееся с одной стороны плоскости симметрично перешло на другую сторону), то возникла бы картина, представленная на фиг.
15.1, б. А коль скоро протоны тождественны, операция отражения переводит ( 1) в ~ 2), а ! 2) в ~ 1). Обозначим эту операцию отражения Р и напишем Р(1>=(2>, Р)2>=-(1>. (15.1) Ры — <1! Р! 1> и Р„= <1! Р )2> 104 Значит, наше Р— это оператор, в том смысле, что оя «что-то делает» с состоянием, чтобы вышло новое состояние. Интересно здесь то, что Р, действуя на любое состояние, создает какое-то другое состояние системы.
Далее, у Р, как у всякого другого оператора, с которыми мы встречались, есть матричные элементы, которые можно определить с помощью обычных очевидных обозначений. Именно суть матричные элементы, которые получаются, если Р(1> и Р(2> умножить слева на <1~. Согласно уравнению (15 1), они равны <1) Р ( 1> = Р„= <1! 2> = О, <1ф~2>= „=<1(1>=1.
(15.2) Таким псе путем »южно получить и Р,„и Р„. Матрица Р отноеителыьо базисной системы )1> и (2) есть (1 О) ' (15.3) Мы снова убеждаемся, что слова оператор и матрица в кван- товой механике практически взаимозаменяемы. Есть, конечно, легкие технические различия, как между словами «числитель- ное» и «число», но мы не такие педанты, чтобы забивать себе этим голову. Так что будем именовать Р то оператором, то мат- рицей, независимо от того, определяет ли оно операцию или реально использовано для получения численной матрицы.
Теперь мы хотели бы кое на что обратить ваше внимание. Предположим, что физика всей системы молекулярного иона водорода сама по себе еикме>прична. Этого могло бы и не быть— это зависит, например, от того, чтб находится с нею рядом. Но если система симметрична, то с необходимостью должна быть справедлива следующая идея. Предположим, что вначале, при 1=0, система находится в состоянии ) 1), а через промежуток времени г мы обнаруживаем, что система оказалась в более сложном положении — в какой-то линей>.ой комбинации обоих базисных состояний.
Вспомните, что в гл. 6 (вып. 8) мы привыкли представлять «зволюцию во времени» умножением на оператор с?. Это означает, что система через мгновение (скажем для опреде- ленности, через 15 сек) окажется в каком-то ином состоянии. Например, это состояние на )/»1» может состоять из состояния ( 1) и на с' )/ >1 из состояния ( 2), и мы бы написали ) >)> на 15-й секунде>=.П(15,0) !1)= )/ — (1>+с )/ — !2). (15.4) Теперь спросим: что >ке произойдет, если вначале мы запустим систему в симметричном состоянии ! 2) и прн тех лее у«лови х подождем 15 еек? Ясно, что если мир симметричен (чтб мы и предполагаем), то обязательно получится состояние, симметричное с (15.4): (с(> на 15-й секунде>=0(15,0) (2) = )/ — )2>+1»/Т (15.5) >05 Й .и у> Эг> ' ч ~» ~е> Фи г. !5.2, Если в симметричной системе чистое состояние | 1> развивается ео вре.мени так, как показано в части (а), то чистое состояние (2> будет во времени развиваться так, кик покизано в части ~б).
Те же идеи схематично изображены на фиг. 1 5.2. Итак, если физика системы симметрична относительно некоторой плоскости и мы рассчитали поведение того или иного состояния, то нам также известно поведение состояния, которое получилось бы после отражения исходного состояния в плоскости симметрии. То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно.
Пусть с) — любая из множества операций, которые вы можете произвести над системой, яе меняя физики. К примеру, за с) мы можем принять операцию отражения в плоскости, расположенной посредине между двумя атомами молекулы водорода. Или в системе с двумя злектронами моясно было бы под Д подразумевать операцию обл~ена двумя электронами. Третьей возможностью явилась бы в сферически симметричной системе операция поворота всей системы на конечный угол вокруг некоторой оси; от зтого физика не изменится. Конечно„ в каждом отдельном случае мы бы обозначали ~) по-своему.
В частности, через )т (о) мы обычно будем обозначать операцию «поверни систему вокруг оси у на угол 0». Под ~) мы просто понимаем один из названных операторов или любой другой, который оставляет всю физическуто ситуацию неизменной. Оператор Д мы будем называть онератороз» симметрии для системы. Вот вам еще пршгеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее авектри«еское поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той я«е самой.
Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в плоскости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока вневтнего поля нет, молекула симметрична. Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния !»р,), а через некоторое время или под влиянием других физических условий оно превратилось в состояние ! $«). Напишем (15.6) [Посмотрите на формулу (15.4).
! Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию ф Состояние [ф,) преобразится в состояние !»р,), которое также записывается в виде () !»р,). Л состояние [фг) превращается в !ф,)=~) [ф, ). И вот, если физика симметрична относительно () (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свогство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить (15.7[ [Как в (15.5). ! Но вместо ! ф, ) можно написать () ! ф, ), а вместо !»Р,) написать ~) [фг), так что (15.7) переписывается в виде (15.8) Теперь, если [ф,) заменить на У !»э,) [см. (15.6)[, то получим (15. 9) Нетрудно понять, что это значит.
В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать> [правая часть (15.9)[ — это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)!. Они должны совпасть, если только г) при отражении не меняется. А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном состоянии [ф,), то на самом доле зто уравнение для операторов ОЙ=ЙС. (15.10) Это-то мы и хотели получить — мап»ельатическую формулироеау сиэькетрии. Когда соблюдается (15.10), мы говорим, что операторы С и (» коммуьчируют.
Тогда «симметрию» гло»г«но определить следующим образом: физическая система симметрична относительно операции ~), когда (г коммутирует с С (с операцией прошествия времени). [На языке матриц произведение двух операторов равнозначно матричному произведению, так что (15.10) в системе, симметричной относительно преобразования Д, выполняется и для матриц () и Й.[ Кстати, поскольку для бесконечно малого времени е мы имеем Й=1 — гйефн где Й вЂ” обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)[, то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то выполнено и (15.11) Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора ф. Она определяет симметрию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
