Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Теперь мы можем доказать интересяуго теорему (справедливую до тех пор, пока слабыми взаимодействиями можно пренебрегать): любое состояние определенной энергии, не являющееся вырожденным, обязано обладать определенной четностью. Его четность должна быть либо положительна, либо отрицательна. (Припомните, что нам иногда встречались системы, в которых несколько состояний имели одну и ту же энергию,— такие состояния мы называем вырожденными. Так вот наша теорема к ним не относится.) Мы знаем, что если ~ ф«) — состояние определенной энергии, то Й~ грь) =- Е ~ Ч'«). (15.18) Но сейчас речь идет о состоянии» фэ), которое является состоя- нием с определенной энергией, так что Й» зрэ) =Е» фэ).
А раз Š— просто число, то оно попросту проходит сквозь Д, и мы имеем ОЙ» р.) =ЬЕ»ф,)=ЕО»ф.), ЙФ ~ р,>» = И ~ ф.>» так что (15. 21) й' 3. Законьс соэсранетьия Обратимся теперь к другому интересному примеру операции сишнетрии — к повороту. Рассмотрим частный случай оператора, который поворачивает атомнуэо систему на угол ф вокруг осн з. Обозначим этот оператор Й, (ф) *. Предположим еще, что никаких влияний, выстроенных вдоль осей х и р, в нашем физическом случае нет.
Все электрические или магнитные поля взяты параллельными оси з **, так что никаких иамененнй во е ешних условиях от поворота всей физической системы вокруг оси з не наступит. Например, если имеется атом в пустом пространстве н мы повернем этот атом вокруг оси з на угол ф, то получим ту же физическую систему. Тогда существуют особые состояния, обладающие тем свойством, что такая операция создает новое состояние, равное первоначальному, умноженному на некоторый фазовый множитель. Заметим, что когда это так, то изменение фазы обязано быть всегда пропорционально углу ф.
Представьте, что вы дважды * Точнее, мы определим Й (ф) кэк поворот физической системы на — ф вокруг оси э; это то же самое, что повернуть систему координат на+ф. ** Мы всегда вправе выбрать ось э вдоль какракления поля кри условии, конечно, что его какравлекие не меняется н что больше нолей нет. Н4 Значит, »ф,)=ч»фэ) — тоже состояние Й с определенной энергией и при этом с тем же самым Е.
Но по нашей гипотезе имеется только одно такое состояние; значит, » зр, ) должно быть равно е' » зрэ). Все, что мы только что доказали, относится к любому оператору (т, лишь бы он был оператором симметрии для физической системы. Поэтому когда в рассмотрение входят только электрические силы и сильные взаимодействия (и нет никакого р-распада), так что симметрия относительно инверсии является вполне допустимым приближением, в этих обстоятельствах Р»ф)= =еь» ф). Но мы видели также, что ен обязано равняться либо +1, либо — 1.
Итак, любое состояние с определенной энергией (если оно не вырождено) навсегда снабжено либо положительной, либо отрицательной четностью. захотели бы сделать поворот иа угол ~р. Это равносильно тому, что повернуть на угол 2~р. Если поворот на угол гр имеет своим следствием умножение состояния [ эра) на фазовый множитель е", так что Л,(р) ~ фс>=си! Фэ> то два таких поворота, один вслед аа другим, привели бы к умножению состояния на множитель (еа)' —.-е' ', так как А (р) А (р) [ фа > = А (р) вн [ фэ> = я )[, (Ч ) ! фе> = ыв"! фэ> Изменение фазы Ь оказывается пропорциональным уе. Мы, стало быть, рассматриваем лишь те особые состояния [фэ>, для которых (15.22) где т — некоторое вещественное число.
Нам известен также тот примечательный факт, что если система симметрична относительно поворота вокруг з и если исходное состояние обладает тем свойством, что (15.22) окажется выполненным, то и позже у этого состояния сохранится то же свойство. Значит, это число т имеет большую важность. Если его значение мы знаем в начале, то мы знаем его и в конце. Это число т, которое сохраняется, есть константа движения. Причина, почему мы говорим об т, выталкиваем его на первый план, состоит в том, что оно не связано с каким-либо определенным углом гр, и еще потому, что у него есть соответствие в классической механике.
В квантовой механике мы выбираем для т[а (в состояниях, подобных [ф >) название момент количества движения вокруг оси з. И тогда мы обнаруживаем, что в пределе больших систем та же величина равняется з-компоненте момента количества движения из классической механики.
Значит, если мы имеем состояние, для которого поворот вокруг оси з приводит просто к фазовому множителю е'"', то перед нами состояние с определенным моментом количества движения вокруг этой оси, н момент количества движения сохраннется.
Он навсегда остается равным тй. Конечно, повороты можно делать вокруг любых осей, и сохранение момента количества движения тоже будет получаться для любых осей. Вы видите, что сохранение момента количества движения связано с тем фактом, что, когда вы поворачиваете систему, вы получаете опять то же состояние, только с ковыли фазовым множителем.
" Для большей строгости все этн рассуждения нужно было бы провести для малых поворотов е. Раа каждый угол к представляет собой сумму некоторого числа и таких поворотов, у = ае, то г[ (у) = = [й (в)[", н общее наменевне фааы в и раэ нревосходвт иэмевейяе для малого угла е н поэтому пропорцнонально ~р. НБ Сейчас мы покажем вам, насколько обща эта идея. Применим ее к двум другим законам сохранения, по физической идее точно соответствующим сохранению момента количества движения.
В классической физике существует также сохранение импульса и сохранение энергии, и интересно, что оба они тоже связаны с некоторыми физическими симметриями. Положим, у нас имеется физическая система — атом, нли сложное ядро, или же молекула, илн что угодно — и если мы возьмем ее и как целое передвинем на новое место, то ничего не изменится. Значит, мы имеем гамильтониан с тем свойством, что он в некотором смысле зависит от внутренних координат, но не зависит от абсолютного иозожения з пространстве. В этих обстоятельствах существует специальная операция симметрии, которая называется пространственным переносом.
Определим П„(а) как операцию смещения на расстояние а вдоль оси х. Тогда для каждого состояния мы сможем проделать зту операцию и получить новое состояние. И опять здесь возможны весьма специальные состояния, обладающие тем свойством, что когда вы их смещаете по оси х на а, вы получаете то же самое состояние (если не считать фазового множители). И так же, как делалось выше, можно доказать, что когда так бывает, то фаза пропорциональна а. Так что для этих специальных состояний ( фь) можно писать Х) (а) ! ф ) = е™а ! ф ь. (15.23) 116 Коэффициент к, умновьенный на Ф, называется х-компонентой импульса. Его называют так потому, что это число, когда система велика, численно совпадает с классическим импульсом р„. Общее утверждение таково: если гамнльтониан не меняется прн сдвиге системы и если вначале состояние характеризуется определенным импульсом в направлении х, то иьшульс в направлении х останется с течением времени неизменным.
Полный импульс системы до и после столкновений (или после взрывов или еще чего-нибудь?) будет один и тот яье. Есть и другая операция, которая совершенно аналогична смещению в пространстве: сдвиг во времени. Положим, перед нами физические обстоятельства, когда виоио еиешнее от времени не зависит, и вот в этих обстоятельствах мы помещаем нечто в некоторый момент времени в данное состояние и пускаем его на произвол судьбы. Л в другой раз (в новом опыте) мы то же самое устройство запускаем двумя секундами позже или вообще т секундами позже. И вот если ничего во внешних условиях не зависит от абсолютного времени, то все будет развиваться точно так же, как прежде, и конечное состояние совпадет с прежним конечным состоянием, за исключением того, что запоздает на время т. В этих обстоятельствах также найдутся особые состояния, у которых развитие во времени обладает той особенностью, что запоздавшее состояние — это попросту старое состояние, умноженное на фазовый множитель, И на этот раз тоже ясно, что для этих особых состояний изменение фазы должно быть пропорционально т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
