Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Выберем какое-нибудь значение х', например О, и определим амплитуду (О ! х) как некую функ|ппо х, скажем 7 (х). Тогда (14.38) обратится в ф(О) = ~ «(х) ф(х) дх. (14.39) Какого же вида функция / (х) могла бы удовлетворить такому уравнению7 Раз интеграл не должен зависеть от того, какие (0)х>= 6(х)„ где 6(х) определяется соотношением (14.40) ф(0) = ) 6(х) ф (х) сКх. (14. 41) Посмотрите, что выйдет, если вместо ф в (14.41) поставить частную функцию «1в. Тогда получится 1=) 6(х) дх. (14.
42) Иначе говоря, функция 6 (х) обладает тем свойством, что всюду, кроме х=О, она равна нулю, но интеграл от нее конечен и равен единице. Приходится вообразить, что функция 6 (х) обладает в одной точке такой фантастической бесконечностью, что полная площадь оказывается равной единице. Как представить себе, на что похожа 6-функция Дирака? Один из способов — вообразить последовательность прямоугольников (илн другую, какую хотите функцию с пиком), которая становится все унте и уже и все выше и выше, сохраняя все время единичную площадь, как показано на фиг.
14.2. Интеграл от этой функции от — оо до +со всегда равен единице. Если вы умпожите ее на произвольную функцию ф (х) и проннтегрируете произведение, то получите нечто, приближенно совпадающее со значением функции при х=О, причем приближение становится все лучше и лучше, по мере того как прямоугольники становятся уже и уже. Если хотите, можете представлять 6-функцию посредством такого рода предельного процесса. Но единственно здесь важно то, что 6-функция определена так, что (14.41) справедливо для каждой волновой функции ф (х)* значения принимает ф (х) при х, отличных от нуля, то ясно, что у (х) должна быть равна нулю для всех значений х, кроме нуля.
Но если / (х) всюду равна нулю, то интеграл будет тоже равен нулю, и уравнение (14.39) не удастся удовлетворить. Возникает невозможная ситуация: нам нужно, чтобы функция была нулем всюду, кроме одной точки, и давала все же конечный интеграл. Что >к, раз мы не в состоянии сыскать функцию, которая так поступает, то простейший выход — просто сказать, что функция 1 (х) онределяевгся уравнением (14.39).
И именно 1 (х) — такая функция, которая делает (14.39) правильным. гйункция, которая умоет это делать, впервые была изобретена Дираком и носит его нмя. Мы обозначаем ее 6 (х). Все, что о ней утвсрх~дается— это что функция 6 (х) обладает странным свойством: если ее подставить вместо 1 (х) в (14.39), то интеграл выберет то значение, которое ф (х) принимает при х=-0; и поскольку интеграл не должен зависеть от ф (х) при х, отличных от нуля, то функция 6 (х) должна быть нулем всюду, кроме х=О. Словом, мы пишем гв и е. 14.2.
Последовательность фуннзий, огранипнвоющих единичную площадь, вид которых все сильнее и с льнее наыолинает б-функзию. Зто однозначно определяет 6-функцию. Ее свойства тогда получаются такими, как было сказано. Заменим аргумент 6-функции с х на:с — х', и соотношения обратятся в 6(х — х')=О, х'=гех, ) 6 (х — х') ф (х) сох = гр (х'). (14Л3) О ж Если в (14.38) вместо амплитуды с',х ( х') подставить 6 (х — х'), то это уравнение будет выполнено.
В итоге получаем, что для наших базисных состояний с координатой х условно, соответствующое формуле (14.36), имеет внд (х' ~ х) = 6 (х — х') . (14 л(4) Теперь мы завершили все необходимые видоизменения наших основных уравнений, нуяеные для работы с контннуумом базисных состояний, соответствующих точкам на прямой.
Обобщениена три измерения вполне очевидно: во-первых, координата х заменяется вектором г; во-вторых, интегралы по х заменяются на интегралы по х, у и х (иными словами, онн становятся интегралами по объему); в-третьих, одномерную 6-функцию надо заменить просто произведением трех 6-функций от х, от у н от х: 6 (х — х') 6 (р — у') 6 (г — г'). Собирая все вместе, получаем следующую совокупность уравнений для амплитуд частицы в трехмерном мире: «р) гр) = ) (~р)г)(г(ьр>е( Обвел, (14 45) (! ф) =ф(г) (г) <р) = <р(г), (14.46) «р ~ ф) = ) с~>* (г) >)> (г) г) Обьем, (14.47) (г' ~ г) = 6(х — х') 6 (у — у') 6(г — г').
(14,48) А что бывает, когда частиц не одна, а больше? Мы расскажем вам, как управляться с двумя частицами, и вы сразу поймете, чтб нужно делать, если вам понадобится оперировать с несколькими частицами. Пусть имеются две частицы; назовем их № 1 и % 2. ь!то применить в качестве базисных состояний) Одну вполне приемлемую совокупность можно задать, сказав, что частица № 1 находится з х,', а частица № 2 — е х„и записав зто в виде ! х„, х,).
Заметьте, что указание координаты только одной части>1м не овределаел> базиского состояния. Каждое базисное состояние обязано определять условия всей системы целиком. Вы но долягны думать, что каждая частица движется независимо как трехмерная волна. Всякое фпзическое состояние ( >р) можно определить, задав все амплитуды (х„хз ~ >)>) того, что пара частиц будет обнаружена в х, н х,. Зта обобщенная амплитуда поэтому является функцией двух совокупное~ей координат хг и хг. Вы видите, что такая функция — это уже не волна в смысле колебания, которое разбегается в трех измерониях.
Точно так я>е это и не простое произведение двух самостоятельных волн, по одной для каждой частицы. Это в общем случае какая-то волна в шести измерениях, определяемых числами х, и х,. Если в природе имеются две взаимодействующие частицы, то не существует способа описать то, что происходит с одной из частиц, попытавшись выписать волновую функцию для нее одной. Известные парадоксы, которые мы рассматривали в первых главах (где объявлялось, что измерения, проделанные над одной частицей, в состоянии предсказать, что будет с другой, или что они могут разрушить интерференцию), причинили людям много неприятностей, потому что они пытались придумывать волновую функцию одной отдельной частицы вместо правильной волновой функции координат обеих частиц. Полное описание можно правильно провести только в терминах функций координат обеих частиц.
ф б, Урггонензле Шредингера До сих пор мы просто заботились о том, как бы записать состояния, которые бы учитывали, что электрон может находиться в пространстве где угодно. Теперь ке следует позаботиться о включении в наше описание физики того, чтб может произойти в тех или иных обстоятельствах. Как и прежде, надо подумать о том, как состояния будут меняться со временем.
Если у нас есть состояние ) >р), которое несколько ломко переходит в другое состояние ) >р'), то положение в любой момент мы сможем описать, сделав волновую функцию (т. е. попросту амплитуду (г ) <у)) функцией не только координат, но и времени. Частицу в данных условиях можно будет тогда описывать, задавая меняющуюся во времени волновую функцию <(» (г, Г) =<(» (х, у, г, 1).
Эта меняющаяся во времени волновая функция описывает зволюци<о последовательных состояний, которая происходит с течением времени. Это так называемое «координатное представление»; оно дает проекции состояния | ф) на базисные состояния ( г) и не всегда может считаться самым удобным, но мы с ного н начнем. В гл. 6 мы описали на языке гамильтониана Нее как состояния меняются во времени.
Мы видели, что временйая вариация различных амплитуд дается матричным уравнением Й вЂ” „,'=~~' ПЭС,. I (14. 40) Это уравнение говорит, что изменение во времени каждой из амплитуд С< пропорционально сумме всех прочих амплитуд С с коэффициентами Н<.. Как должно выглядеть (14.49) при континууме базисных состояний ! х)? Вспомним сперва, что (14.49) мол<но также записать в виде Й вЂ” „„«' ( <р> = ~~» «( и ( у> <г ( ф>. l Теперь ясно, что делать. Для х-представления следует писать Ʉ— '<х(ф>=~ <х)Й(х><х'(»р><(х'.
(14.50) Сумма по базисным состояниям ~1) заменяется интегралом по х'. Посколы<у (х ! Н ~ х') должна быть какой-то функцией отхих', запишем ее как Н(х, х), чтосоответствуетН, в (14 49). Тогда (14.50) зто то же самое, что Й вЂ” <(» (х) = ~ Н (х, х') ф (х') <<х', (14,51) где Н(х, х') = — <х(Й(х'>. Согласно (14.51), быстрота изменения ф в точке х зависела бы ет значений»р во всех других точках х", множитель Н (х, х')— это амплитуда (в единицу времени) того, что электрон перепрыгнет из х' в х.Оказывается, однако, что в природе во<а амплитуда всюду, кране точек х', очень близких к х, равна нулю. Это овна- чает, как мы видели на примере цепочки атомов в начале главы (см.
(14.12)), что правая часть (14.51) может быть полностью выражена только через <р и ее производные по х в точке х. Для частицы, которая свободно движется в пространстве, не подвергаясь действию каких-либо сил и возмущений, правильный физический закон таков: Й' ~Р 2 лэ "()" Откуда это получается? Это невозможно вывести из чего-либо нам у)ке известного.
Это рождено в голове Шредингера, это выдумано им в битве за понимание эспериментальных наблюдений реального мира. Может быть, какой-то ключ к тому, почему так должно быть, вам дадут размышления по поводу нашего вывода уравнения (14.12), котороо проистекло из рассмотрения распространения электрона в кристалле. Конечно, от свободных частиц проку мало. Что будет, если к частице приложить силы7 Что ж, если действующая на частицу сила может быть описана с помощью скалярного потенциала $' (х) (что означает, что речь идет не о магнитных силах, а об электрических) и если мы ограничимся низкими энергнямн, чтобы иметь право пренебрегать теми сложностями, которые возникают при релятивистском движении, то гамильтониан, который укладывается в реальный мир, таков: Р' л' Н(х, х')ф(х')Ых'= — 2 — Л вЂ”,ф(х)+Р(х)ф(х).
(14.52) Опять-таки некоторый ключ к происхождению этого уравнения вы получите, если вернетесь к движению электрона в кристалле и посмотрите, как надо изменить уравнения, если энергия электрона медленно меняется от атома к атому, как если бы к кристаллу было приложено электрическое поле. 'Хогда член Еэ в (14.7) будет медленно меняться в зависимости от места и будет соответствовать новому слагаемому, появившемуся в (14.52). [Вас может удивить, отчего мы сразу перешли от (14.51) к (14.52), а не дали правильного выражения для амплитуды Н (х, х')=(х~Н~х'). Да потому, что Н (х, х') можно написать только с помощью необычных алгебраических функций, а интеграл в правой части (14.51) выражается через привычные вещи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
