Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 22
Текст из файла (страница 22)
ф М. Симметрия и ее еошрптеение Прежде чем применять только что найденный результат, хотелось бы еще немного вникнуть в идею симметрии. Положим, что стечение обстоятельств таково, что после действия оператора ~) на состояние получается опять то же состояние. Это очень частный случай, но все же допустим, что так сложилось, что состояние [»у') =- () [ фе ) физически совпадает с состоянием [ фе). Это значит, что [ ф') равняется [ фе), если не считать некоторого фазового множителя *. Как это себе представлятьг Пусть, например, имеется ион Н,' в состоянии, которое мы когдато обозначали [ Х). У этого состояния имеется одинаковая амплитуда побывать в базисных состояниях [ 1) и [ л). Вероятности показаны столбиками на фиг.
15.3, а. Если мы на состоя* Кстати, вы можете доказать, что Π— зто обязательно унитарный ал«ратор, т. е. если оп действует ва [ф), приводя к ~ ф), умноженному ва некоторое число, то зто число должно иметь ввд е", где б — вещественно. Это мелкое замечание, а докааательство основано па следующем ваблюдевив. Всякая операция паподобве отражения влв поворота пе приводит к потере каквх-лабо частиц, так что нормировки [ф'> и [»у> должны совпадать; отличаться опи вправе только па мвожитель с часто вещественной фазой в покааателе. Ввр. ср и е . 12.2. Состояпие )1> и состояпие Ру>, получаемие отражепием )1) е плоскости, проходящей посредипе между атомами е иопе Н+. (1) ~/г 1~) 1г) Вер 1 1/2 р р ~ )1)+(2)( )2)+) 1) (15.12) Р ) Р ~ (1> — !2)) )2) — !1> У2 ( У2 Если написать Р ! ч(>о)=еи) чро), то у состояния ! 1) мы имеем еи=1, а у состояния ! 11) имеем в'с= — 1.
Возьмем другой пример, Пусть у нас есть правополяризованный по кругу фотон, распространяющийся в направлении г. Если мы совершим операцию поворота вокруг оси з, то, как мы знаем, это просто приведет к умножению амплитуды на е", где су — угол поворота.
Значит, в этом случае для операции поворота 6 просто равно углу поворота. Далее, ясно, что если оказывается верным, что оператор () в какой-то момент времени просто меняет фазу состояния (скажем, в момент Р=О), то это будет верно всегда. Иначе говоря, если состояние )чр,) переходит за время г в состояние ) ага): П(1,0)) р,>=! р,>, (15.13) $09 ние ) 1) подействуем оператором отражения Р, он перевернет его, поменяв местами (1 ) с ( 2), а) В) с)1); получатся вероятности, по- !1) 12) казанные на фиг. 15.3,б.
Перед нами опять сос- а ток ние ) 1 ). Если начать с состояния ( 11), то вероятности до и после отражения будут выглядеть тоже одинаково. Правда, если посмотреть на амплитуды, то разница все же есть. У состояния ! 1) после отражения амплитуды останутся теми же, у состояния ~ П) они приобретут противоположный знак. Иными словами, н если симметрия физической картины такова, что О~ф,>= "(ф,>, то верно и то„что е~ф,>= "(ф.>. Зто ясно, ведь Е й,>= Об!ф,>= Од ~ ф,>, и если ~> ) ф,) =е'") ф,>, то Ч ! ф,> = Оси ! ф,> = ек 1> ) ф,) .—.- еа ( фт>.
(15 14) (15 15) (Верхние равенства следуют из (15.13) и (15.10) для симметричной системы, нижние — из (15.14) и из того, что всякое число, скажем ея, коммутирует с оцератором.! Итак, при некоторых симметриях то, что верно сначала, верно всегда. Но разве зго не закон сохранения? Да! Он утверждает, что если вы взглянете на исходное состояние и, проделав где-то в стороне небольшой подсчет, откроето, что операция,'которая является операцией симметрии для система, приводит только к умножению на некоторый фазовый множитель, то вы будете уверены, что зто же свойство будет выполнено для конечного состояния — та же операция умножит и конечное состояние на тот же фазовый множитель. Это будет верно всегда, даже если вы ничего не знаете о том внутреннем механизме мира, который изменяет систему от начального состояния к конечному. Даже если вы не позаботились вглядеться в детали того, каким именно способом система переходит от одного состояния к другому, вы все равно имеете право говорить, что если вещь вначале находилась в состоянии с определенным характером симметрии и если гамильтониан етой вещи симметричен относительно атой операции симметрии, тогда тот же характер симметрии останется у состояния на вечные времена.
Это основа всех законов сохранения квантовой механики. Рассмотрим частный пример. Возьмем опять оператор Р. Сперва, правда, немножко иаменим определение операции Р. 11усть Р будет не просто зеркальным отражением, потому что оно требует определения плоскости, в которой поставлено зеркало. Существует особый вид отражения, который указания плоскости не требует. Переопределим операцию Р таким образом: сперва вы отражаете в зеркале, находящемся в плоскости г, так что з переходит в — з, х остается х, а у остается у; затем вы поворачиваете систему на угол 180' вокруг оси з, так что х переходит в — х, а у в — у.
Все вместе называется инверсией, обращением координат. Каждая точка проецируется через начало координат в диаметрально противоположное положение. Все 110 Ф и е. 1о.к. Операция инверсии Р. то, что находится в томке А (х, у, вв переходит е томку А'( х, -у,-вг координаты всего на свете меняют знак. Эту операцию мы, как и прежде, будем обозначать символом Р. Она изображена на фиг. 15.4 и немного удобнее, чем простая операция отражения, потому что не нужно указывать, в какой координатной плоско- 6 1 сти происходит отражение, достаточно лишь указать точку, являющуюся центром симметрии. Теперь предположим, что у нас есть состояние ~~ро), которое при операции инверсии переходит в е"~~)а), т.
е. !Ф,>=Р! Ь>="'!М. д (15 16) Сделаем теперь новую инверсию. После двух инверсий мы вернемся к тому, с чего начали: ничего не изменится. Должно получиться Р! р>=Р Р! р,>=! р.>. Но Р ° Р!ву >=РЕ" )вР >=дира в(в )=(дт)д(е)„>. Отсюда следует, что (е")'=1. Значит, если оператор инверсии является операцией симметрии для какого-то состояния, то у б могут быть только две возможности: е'~ = .+- 1, а это означает, что или Р ~ ело> =! врд> или Р~ врд> = — ( врд>, (15.17) В классической физике, если состояние симметрично относительно инверсии, то зта операция дает опять то же состояние.
А в квантовой механике имеются две возможности: получается 1И либо то зке состояние, либо минус тоже состояние. Когда получается тоже состояние, Р [т[>«)=[ф,), мы говорим, что у состояния [фе) четкость положительна. Если знак меняется, так что Р [ >[>«) = — [ >[>е), мы говорим, что четность состояния отри>[отельна. (Оператор инверсии Р известен также как оператор четности.) Состояние [1) иона Н,+ обладает положительной четностью; состояние же ~ 11) — отрицательной [см. (35.(2)1. Бывают, конечно, состояния, не симметричные относительно операции Р; это состояния без определенной четности.
Например, в системе Н,' состояние [1) имеет положительную четность, состояние [ 11) — отрицательную, а состояние [ 1) определенной четности не имеет. Когда мы говорим о том, что операция (например, инверсия) была совершена «над физической систакойз, то это можно представлять себе двояким образом. Можно считать, что все, что было в точке г, физически сдвинулось в обратную точку — г; или можно считать, что мы сз«отрыл«на ту же систему из новой системы отсчета х', у', з, связанной со старой формулами х'.= — х, у'= — у и з'= — х. Точно так же, когда мы говорим о поворотах, то можно либо считать, что мы поворачиваем целиком всю физическую систему, лиГ>о что поворачиваем систему координат, в которой мы измеряем нашу систему, оставляя последнюю закрепленной в пространстве.
Зги две точки зрения по существу равноценны. Они равноценны и при повороте, только поворот сиоп>ел«ы на угол 0 подобен повороту системы отсчета на отри>[ательный угол — О. В нашем курсе мы обычно смотрели, чтб получается, когда берется проекция на новую систему осей. То, что при этом получается, совпадает с тем, что получится, если мы оставим оси прежними и повернем тело на столько же назад. Когда вы это делаете, не забудьте поменять знаки углов *. Многие законы физики (но не все) не меняются при огра>кении или инверсии координат. Они сизькетричны по отношению к инверсии.
Законы электродинамики, например, не изменяются, еслимыменяемхна — х, уна — у и х на — з во всех уравнениях. То же относится и к законам тяя«ести, и к сильным взаимодействиям ядерной физики. Только у слабых взаимодействий, ответственных за р-распад, нет такой сиыметрии. [Мы обсуждали это несколько подробнее в гл. 52 (вып. 4).[ Но мы сейчас пренебрежем [>-распадом. Тогда в любой физической системе, на которую, как можно думать, р-распад не оказывает заметного влияния (в качестве примера возьмем непускание света атомом), гамильтониан О и оператор Р будут коммутировать. В этих * В других книгах вы можете встретить формулы о дРугими злаками; вероятвее всего, в ввх яспохьзуютоя углы, определенные по-ввому.
где Š— просто число, энергия состояния. Если у нас имеется произвольный оператор гг, который является оператором сим- метрии для системы, то мы можем доказать, что (15.19) если только ) ф«) — единственное состояние с данной энергией. Рассмотрим новое состояние !гр, ), которое вы получаете после действия (). Если вся физика симметрична, то (ф,) должно иметь ту я«е энергию, что и ) гр»). Но мы ведь выбрали случай, когда состояние с такой энергией только одно, а именно ! ф ); значит, ! гр„) должно быть тем же состоянием, отличаясь разве что фазой.
Таково физическое доказательство. Но то же последует и из нашей математики. Наше определение симметрии — это (15.10) или (15.11), справедливое для любого состояния (гр>: ЙЯ (ф) = яй)еу). (15.20) НЗ обстоятельствах верно следующее утверждение. Если четкость состояния вначале положительна и вы поинтересуетесь физической ситуацией через некоторое время, то увидите, что четность останется положительной. Пусть, например„нам известно, что атом перед тем, как испустить фотон, находился в состоянии с положительной четностью.
Вы рассматриваете всю эту систему (включая фотон) после испускания; четность опять будет положительна (и точно так же было бы, если бы вы начали с отрицательной четности). Этот принцип именуется сохранением «егпноспги. Вы теперь понимаете, почему слова «сохранение четности» и «симметрия относительно отражений» в квантовой механике тесно переплетены. Хотя до последних лет считалось, что природа всегда сохраняет четность, теперь известно, что это не пгак. Выяснилось, что это неверно, потому что реакция р-распада не обладает симметрией относительно инверсии, обнаруженной в других законах физики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
