Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Тогда получится так называемый п — р — л-транзистор. В таком транзисторе основной ток — это ток электронов, текущий от эмиттера к базе, а оттуда — в коллектор. Разумеется, все рассуждения, которые мы проводили для р — п — р-транзистора, в равной мере применимы и к л — р — п-транзистору, если только переменить знаки потенциалов электродов.

Глп«а И ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ЧАСТИЦ 1, Спиновые волны 3 2. Две сппповые волны З «. Смитов»«е волн»« В гл. 11 мы разработалн теорию распространения электрона или любой другой «частицы», например атомного возбуждения, вдоль кристаллической решетки. В предыдущей главе мы эту теорию применили к полупроводникам. Но хотя электронов у пас всегда было много, мы тем не менее неизменно пренебрегали каким- либо взаимодействием мея«ду ними.

Это, конечпо, было не более чем приближение, и мы сейчас постараемся глубже разобраться в самой мысли о том, что взаимодействием между электронами разреи«ается пренебрегать. Мы к тому »ке воспользуемся возможностью продемонстрировать новые применения теории распространения частиц. Поскольку мы по-прежнему будем продолжать пренебрегать взаимодействием между частицами, то фактически в этой главе будет очень мало нового, разве что новые приложения. Однако первый пример, который мы хотим рассмотреть,— это пример, в котором есть возможность совершенно точно выписать правильные уравнения для случая, когда «частиц» больше чем одна.

Из них мы сможем увидеть, как делается приближение пренебрежения взаимодействием. Впрочем„мы не будем слиппсом тщательно анализировать эту проблему. В качестве первого примера рассмотрим «спиновую волну» в ферромагнитном кристалле. Теории форрома гнотизма мы касались в гл.36 (вып. 7). При нулевой температуре все спины электронов, которые дают вклад в магнетизм всего ферромагнитного кристалла, параллельн»з между собой. Между спинами существует энергия взаимодействия, которая ниже всего тогда, 3 3. Независимые частицы й 4. Молекула бензола б 5, Еще немного органической химии ) 6.

Другие применения прибли- жения когда все спины направлены вниз. Но при ненулевой температуре имеется какая-то вероятность того, что часть спиноз перевернется. Эту вероятность тогда мы приблиясенно подсчитывали. На этот раз мы разовьем квантовомеханичоскую теорию явления, чтобы знать, что делать, если нунсио будет решить задачу точнее. Но мы все еще будем прпбегать к идеализации: будем считать, чтб электроны расположены вблизи атомов, а спины взаимодействуют только со своими соседями. Рассмотрим такую модель: пусть в каждом атоме все электроны, кроме одного, спарены, и весь магнитный эффект обязан тому, что в каждом атоме остается один неспаренный электрон со спином '!э. Вообразим еще, что эти электроны расположены в тех самых узлах решетки, где находятся атомы.

Модель в общих чертах отвечает металлическому никелю. Кроме того, допустим, что лзобая пара вращающихся соседей-электронов взаимодействует друг с другом н что каждое такое взаимодействие добавляет в энергию системы по слагаемому: (13.1) Е= — '~" Кп,, и,. Здесь и представляют собой спины, а суммирование идет по всем парам соседей-электронов. Мы уже говорили о подобной энергии взаимодействия, рассматривая сверхтонкое расщепление водорода, вызываемое взаимодействием магнитных моментов электрона и протона в атоме водорода. Тогда мы выразкали это в виде Аа, а .

На этот раз для данной пары, скажем для электронов из атома Л" 4 и из атома Л". 5, гамильтониан имеет вид — Кп„п,. Каждая такая пара дает по одному слагаемому, а весь гамильтониан (как зто бывает и с классическими энергиями) есть сумма таких слагаемых для каждой взаимодействующей пары. Энергия написана с множителем — К, так что положительное К отвечает ферромагнетизму, т. е. тому случаю, когда напнизшая энергия получается при параллельности соседних спиноз. В реальном кристалле могут появиться и другие слагаемые — взаимодействие с соседом через одного и т.

д., но на на~нем уровне такие усложнения нам не понадобятся. Располагая гамнльтоннаном (13.1), мы обладаем и полным описанием ферромагнетика (в рамках нашего приближения), так чзо нз него должны получиться все магнитные свойства. Кроме того, из пего же должны получаться и термодинамические свойства при намагничивании. Если мы сможем определить все уровни энергии, то можно будет найти и свойства кристалла при температуре Т, основываясь на том, что для системы вероятность оказаться в данном состоянии с энергией Е пропорциональна е-ктэт. Эта задача никогда не была решена до конца. 2 3 4 6 6 7 -3 -г- ата и г.

18.1. Бявисное состояние )хв) систеяы спинов, рисиоложенных но одноя линии. Ваа спины нппрпввеяы вверх, и оаопа, 'апао в х„перевернет. В основном состоянии все спины направлены вверх; значит, обмен любой парой спиноз приводит опять к исходному состоянию. Основное состояние является стационарным. Если подействовать на него гамильтонианом, получится опять то же состояние, умноженное на сумму чисел — (А/2), по одному на каждую пару спиноз. Иначе говоря, энергия системы в основном состоянии составляет по — А/2 на атом. Тепорь подсчитаем энергии некоторых возбужденных состояний.

Удобно будет отсчитывать энергии от основного состояния, т. е. в качестве нулевой энергии выбрать энергию основного состояния. Этого можно добиться, добавив к каждому слагаемому в гамильтониане по энергии А/2. Тогда '/з в (13.4) просто заменится единицей. Напг новый гамильтониан будет равен Й = — А,."~~ (Р„„о, — 1). (13.

5) и При таком гамильтониане энергия низшего состояния равна нулю; спин-обменный оператор равнозначен умножению на единицу (для основного состояния), что сокращается с единицей в каждом слагаемом. Для описания состояний, отличных от основного, нам понадобится своя совокупность базисных состояний. Удооно подойти к делу так: сгруппировать состояния в соответствии с тем, у скольких электронов спин направлен вниз: у одного ли, у двух и т. д. Конечно, состояний, когда один спин направлен вниз, очень много: оя может быть опрокинут, скаяюм, у атома гтй 4 или у гтй 5, или у Ле 6... И можно, конечно, в качестве базисных состояний выбрать именно такие состояния, обозначив их ~ 4), ) 5), ) 6), ...

Однако для дальнейшего удобнее, если мы будем отмечать «из ряда вон выходящий ахом» (тот, у которого спин направлен вниз) его координатой х. Иначе говоря, мы определим состояние ( хв) как такое, в котором все электроны вращаются спинами вверх, и один только (тот, что возле атома в точке х,) вращается олином вниз (фиг. 13.1). Вообще, ~ х„) Рт,»~х»>=~х»>. (Р,„— 1))х,>=-0. Отсюда следует Стало быть, все члены гамильтониана, кроме тех, куда входит атом № 5, дадут нуль. Операция Р», действуя яа состояние ~ х»>, обменивает спинами атом № 4 (со спином вверх) и атом № 5 (со спияом вниз).

В результате появляется состояние, в котором все спины смотрят вверх, кроме атома в точке 4. Иначе говоря, Р«,, ! х»> = ~ х«>. Точно так же Р,, (х,> = !х«>. Значит, изо всего гамильтониаиа выживут только члены — А (Р«» — 1) и — А (Р,,— 1).

Действуя на ~х,>, они дадут соответственно — А (х«>-)-А ~х,> и — А(х,>+А ~ х,>. В итоге ХХ~х»>= — А~~.",(Рп,л+« — 1)!хд>= л = — — А(~х»>+)х«> — 2(х»>). (13.6) Когда гамильтониан действует на состояние ! х,), то возникает некоторая амплитуда оказаться в состояниях ! х ) и ! х, >. Зто просто означает, что сугцествует определенная амплитуда того, что направловньш книзу спин перепрыгнет к соседнему атому.

Значит, из-за взаимодействия между спинами, если вначале один спин был направлен вниз, имеется некоторая вероятность того, что позднее вместо него вниз будет смотреть другой. При действии на состояние ) х„) гамильтониан дает й! х„>=- — А ( ~ х„,„>+ ~ х„,> — 2 ~х„>).

(13.7) Заметьте, в частности, что если взять полную систему состояний только с одним спинок-«перевертышем», то сии будут перемешиваться только между собой. Гамильтониан никогда не перемешает зти состояния с другими, в которых спиноз-«перевертышей» больше. Пока вы только обмениваетесь спинами, вы никогда не сможете изменить общего количества переверты- будет обозначать состояние с одним перевернутым спином, расположенным в координате х„п-го атома.

Как же действует гамильтониан (13.5) на состояние ! х»>? Один из членов гамильтонпана это, скажем, — А (Р,,— 1). Оператор Р, «обменивает спинами два соседних атома № 7 и № 8. Но в состоянии ! х,) они оба направлены вверх, так что ночего не меняется; Р, » равнозначно умножению на единицу: шей. Удобно будет использовать для гамильтониана матричноо обозначение, скажем, Н„,, =: — (х„( Е ! х„); уравнение (13.7) вквивалентно следующему: Н„„=2Л, Н„„=--Н = А, Н„,„—.-О для (и — т() 1. Каковы же теперь уровни энергии для состояний с одним перевернутым спинок? Пусть, как обычно, ф— амплитуда того, что некоторое состояние ~ ф) находится в состоянии ( х„). Если мы хотим, чтобы (ф) было состоянием с определенной энергиен, то все С, обязаны одинаково меняться со временем, а именно по правилу С„= а»е-'зя".

Характеристики

Список файлов книги