Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Волновые функции водорода э 6. Периодическая таблица ряд, который создает магнитное поле. В этом поле энергия электрона будет различна, смотря по тому, направлен ли его спин вверх или вниз по полю. Энергия атома должна немного сдвинуться относительно той величины, которую мы вычислим. Но мы пренебрежем этим слабым сдвигом энергии, т. е. вообразим, что электрон в точности подобен волчку, движущемуся в пространстве по кругу и сохраняющему все время одинаковое направление спина. Поскольку речь будет идти о свободном атоме в пространстве, полный момент количества движения будет сохраняться. В нашем приблил енин будет считаться„ что момент количества движения, вызываемый спином злектрона, остается неизменным, так что оставшийся момент количества движения атома (то, что обычно нааывают «орбитальным» моментом количества движения) тоже не будет меняться.
В очень хорошем приближении мовшо считать, что электрон движется в атоме водорода как частица беа спина — его орбитальный момент количества движения постоянен. В этих приближениях амплитуда того, что электрон будет обнаружен в том или ином месте пространства, может быть представлена как функция положения злектрона в пространстве и времени. Обозначим амплитуду того, что злектрон будет обнаружен в точке х, у, г в момент 1 через ар (х, у, г, 1). Согласно квантовой механике, скорость изменения атой амплитуды со временем дается гамильтоновым оператором, действующим на ту же функцию. Из гл. 14 мы внаем, что да (17.1) где (17.2) а у ра + у (а.) 2еа Здесь т †мас электрона, а И (г) †потенциальн знергия электрона в электростатическом поле протона.
Считая на больших удалениях от протона е"=О, можно написать* Волновая функция ф должна тогда удовлетворять уравнению дт еа а еа Й ч-= — — ч'$ — — ф. (17.3) Мы хотим найти состояния с определенной знергней, поэтому попробуем поискать решения, которые бы имели вид ар(г, 1) =е-<~"ал'ф(г). е Как обычно, ее= да(4лае.
171 Итак, в полярных координатах уравнение, которому должна удовлетворять функция»р(г, 9, ~р), принимает вид 1 д» (17.7) ф М. СЯер««««ес««г«еимзгет»гр««««««ые регие»«««я Попробуем сперва отыскать какую-нибудь функцию попроще, чтобы она удовлетворяла уравнению (17.7). Хотя волновая фуньч1ня»р в общем случае будет зависеть г«ак от О н с», так н от г, можно все же поискать, не бывает лн такого особого случая, когда «у не зависит от углов. Если волновая функция от углов не зависит, то при поворотах системы координат ни одна из амплитуд никак не будет меняться.
Это означает, что все компоненты момента количества движения равны нулю. Такая функция ф должна соответствовать состоянию с равным нулю полным моментом количества движения. (На самом деле, конечно, равен нулю только орбитальньш момент количества движения, потому что остается еще спин электрона, но мы на эту часть момента не обращаем внимания.) Состоян»ге с нулевым орбитальным моментом количества движения имеет особое название.
Его называют «э-состоянием» (можете считать, что э от слова «сфернчески симметричный») з. Раз»р не собираетсн зависеть от 9 и с», то в полном лапласиане останется только один первый член и (17.7) сильно упростится: —, «, (г»р) = — ДЕ+ Я (17.8) Прежде чем эаннться решением подобного уравнении, хорошо бы, изменив масштаб, убрать нэ него все лишние константы вроде е', т, Й. От этого выкладки станут легче.
Если сделать по становки д ь' (17.9) и Е= — е, (17,10) 2д« то уравнение (17.8) обратится (после умножения на р) в л»(рф) ( 2 ) (17 11) * Поскольку зго н другие особые наименования явлнются частью общепринятого словаря атомной физики, вам попросту придатся выучить их. Мы вам поможем их аапомнигь, поместив в атой главе небольшой «словарик» подобных тзрминбв. 173 Эти изменения масштаба означают, что мы нам«раем расстояние г и энергию Е в «естественных» атомных единнцах. Например, р=г/гв, где гв=г»«/те», называется «боровским радиусом» и равно примерно 0,528 А.Точно так же е=Е/Ел, где Ея — — те«/2Ь». Эта энергия называется «ридбергом» и равна примерно И,О эв.
Раз произведение рф встречается в обеих частях уравнения, то лучше работать с ним, чем с самим ф. Обозначив Р'т"=/ /(р) =е "»д(р). (17.14) Это просто означает, что вы выносите из / (р) множитель в Для любого /(р) это можно сделать. Задача теперь просто свелась к отысканию подходящей функции д (р). Подставив (17.14) в (17ЛЗ), мы получим следующее уравнение для д: ы»х ве (2 ВЭ' ВЭ 1 Р— — 2а — +( — +в+а») д=О. (17.15) Мы вправе выбрать л«обое а, поэтому сделаем так, чтобы было (17Л6) а'= — е; тогда получим в'„ые 2 — '",— 2а — + — д=О. (17.17) «Р «Р Р Вы можете подумать, что мы не так уж далеко ушли от уравнения (17.13); но новое уравнение тем хорошо, что его можно легко решить разложением д (р) в ряд по р.
В принципе есть возможность таким же способом решать и (17ЛЗ), но только все проходит сложнее. Мы говорим: уравнению (17.17) можно удовлетворить некоторой функцией я (р), которая записывается в виде ряда я(р) = ч~~~ ~а»р, «=« (17.18) 174 мы получим уравнение, которое выглядит проще: — =- — ~ е+ — ) /.
В»/ 7 2~ 'й" ~ ' г,) (17.13) Теперь нам предстоит найти функцию /, которая удовлетворяет уравнению (17ЛЗ), иными словами, просто решить дифференциальное уравнение. К сожалению, не существует никаких общих, годных во всех случаях жизни методов решения любого дифференциального уравнения. Вы должны просто покрутить его то так, то этак. Хоть уравнение не из легких, но люди все же нашли, что его можно решить при помощи следующей процедуры.
Первым делом вы заменяете /, которое является некоторой функцией от р, произведением двух функций: где а„— постоянные коэффициенты. И нам осталось только нанти подходящую бесконечную последовательность коэффициентов! Проверим, годится ли такая запись решения. Первая производная такои функции я (р) равна О сх „— =,)' а„ссрз — ', сСр с=с а вторая — асй (Й вЂ” 1) рь — -. ар с=с Подставляя это в (17 17), имеем 7с(а — 1) а„рз — -" — 2, 2а)са„рс-'+ ~', 2азрс — ' =-.
О. (17.19) 1=1 Пока еще не ясно, вышло ли у нас что-нибудь; но мы рвемся вперед. Если мы первую сумму заменим некоторым ее эквивалентом, то все выражение станет выглядеть лучше. Первый член в сумме равен нулю, поэтому каждое й можно заменить на й+1, от этого ничего в бесконечном ряде не изменится. Значит, первую сумму мы вправе записать и так: ~~', (7с+1) йа р» — с. Теперь можно объединить все три суммы в одну: '~„'[(й+1) 7саз „,— 2и7саз+ 2аД Рс — ' = О. (17.20) з= с Этот степенной ряд должен обращаться в нуль при всех мыслимых значениях р, что возможно лишь тогда, когда коэффициенты при каждой степени р порознь равны нулю, Мы получим решение для атома водорода, если отыщем такую последовательность аю для которой ()с + 1) аас т г — 2 (сй — 1) аз — — 0 при всех 7с > 1.
Аэто, конечно, устроить легко. Выберите какое угодно а,. Затем все прочие коэффициенты образуйте с помощью формулы 2 (аСс — ц ас~г —— ь(ь+~) аю (17.22) Пользуясь ею, вы получите а„а, ас и т. д., и каждая пара будет, конечно, удовлетворять (17.21). Мы получим ряд для я (р), удовлетворяющий (17.17). С его помощью мы напишем ср— решение уравнения Шредингера. Обратите вним ание, что 175 ро~аения зависят от того, какова предполагаемая энергия (через и), но для каждого значения е получается свой ряд, Решение-то у нас есть, но что оно представляет физически? Понятие об атом мы получим, поглядев, чтб происходит вдалеке от протона — при больших р. Там основное значение приобретают наивысшие степени членов ряда, т. е.
нам надо посмотреть, что бывает при больших /с. Когда /г)) 1, то уравнение (17.22) приближенно совпадает с 2а лье, = — аы а зто означает, что (2п)" а ы (17.23) 1 — с=1 1З ' Допустимы только те энергии, которые составляют именно такую часть ридберга Ел —— те'/2$', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
