Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Такая зависимость от г означает, что при больших 1 вам придется дальше отойти от г= О, чтобы получить заметную амплитуду. Такое поведение, кстати, определяется членом с центробежной силой в радиальном уравнении, 4в др дд — — — — — я Я Я 2 йг и г. 17.7. Диаграмма урое- иеб виергии водорода. гб егалт бе б р д ,1м1 2 д 4 191 показаны на фиг. 17.7. Угловые зависимости усложняются. К примеру, состояния с т=О обладают двумя коническими узловыми поверхностями, так что при переходе от северного полюса к южному волновая функпия меняет фазы с + на — и обратно на +.
Примерная форма амплитуды нарисована на фиг. 17.6,д и е для состояний с гп=О и и=3 и 4. И снова при болыпих и появляются конические узловые поверхности. Мы не будем пытаться описывать другие последующие состояния. Подробное изложение волновых функций водорода вы найдете во многих книгах. Рекомендую вам особенно; Е. Р а п- 11 п 9, Е. В.
е(711 я о и, 1п$гоопс11оп 1о Япап1пш МесЬав1ся, г)ечг г'ог)с, 1935; В. В. Ь е 19 Ь Ф о и, Рлпс1р)ея о1 Мобегп Рйуя1ся, Кечг г'огк, 1959. В этих книгах вы найдете графики некоторых функций и графическое изображение многих состояний. Хотелось бы упомянуть об одном особом свойстве волновых функций при высших й при 1) О амплитуды обращаются в центре в нуль. Ничего в этом удивительного нет, ведь электрону трудно иметь большой момент, когда плечо момента очень мало. По атой причине чем 1 боль- так что все это применимо к любому потенциалу, который нри малых г меняется медленнее, чем с,сг', а таково большинство атомных потенциалов.
йС 6. 1Еерыодивсеская ггсаблтсгса Теперь мы хотели бы применить теорию атома водорода к объяснению химической периодической таблицы элементов. В атоме элемента с атомным номером Е имеется 2' электронов, которые удеряснваются электрическим притяжением ядра, но при этом взаимно отталкиваются друг от друга. Чтобы получить точное решение, припслось бы репгнть уравнение Шредингера для Е электронов в кулоновом поле.
Для гелия уравнение имеет вид Ь дс9 Гс~ в с С 2е1 2еэ вс '1 — — = — — (7*сг + 7'ср) + ( — — — — + — ) сг ас 2 в где 7', — лапласиан, который действует на г„координату первого электрона; 7, 'действует на г„а г„,=)гс — г,!. (Мы опять пренебрегаем спинами электронов.) Чтобы найти стационарные состояния н уровни энергии, следовало бы отыскать решения вида с)>= ~(гс, г ) е-ш"сю. Геометрическая зависимость заключена в Г' — функцик шести переменных — одновременных положений двух электронов. Аналитического решения никто не знает, хотя решения для низших энергетических состояний и были найдены численнымн методами. Когда электронов 3, 4 или 5, безнадежно пытаться получить точные решения.
Поэтому было бы опрометчиво утверждать, что квантовая механика до конца объяснила периодическую таблицу. Но все же можно сказать, что даже с помощью довольно сомнителюсых приближений (и кое-какой последующей отделки) удается, по крайней мере качественно, понять многие химические свойства, проявляющиеся в периодической таблице. Химические свойства атомов определяются в первую очередь их низшими энергетическими состояниями. Для отыскания этих состояний и их энергий мы воспользуемся следующей приближенной теорией.
Во-первых, пренебрежем спином электрона, разве только что принцип запрета будет принят нами во внимание и мы будем считать, что каждое частное электронное состояние может быть занято только одним электроном. Это означает, что на одной орбите не может оказаться болшпе двух электронов — один со спином, направленным вверх, другой — вниз.
Затем мы в первом приближении пренебрежем деталями взаимодействия электронов и будем считать, что каждый электрон 192 данн«ется в це««трал»лом поле, образуемом полями ядра и всех прочих электронов. Про неон, у которого 10 электронов, мы сяажем, например, что каждьш элентрон в атоме неона испытывает влияние среднего потенциала ядра и оставшейся девятки электронов. Мы вообразим далее, что в уравнение Шредингера для каждого электрона мы подставляем У(г) — то же поле 1/г, но только видоиэменениое за счет сферически симметричной плотности заряда, возникшей от остальных элентронов. В такой модели каждый электрон ведет себя как независимая частица. Угловые эависнмости его волновой фуш«ции будут попросту такими же, канне были у атома водорода.
Это будут те же э-состояния, р-состояния н т. а., и у них будут различные значения л». Раэ У(г) больше не следует закону 1/г, то радиальная часть волновых функций слегка перекраивается, яо качественно останется прежней, тая что по-прежнему будет существовать радиальное квантовое число и.
Энергии состояний тоже станут немного иными. Что же при таких представлениях у нас получится с водородом7 У основного состояния водорода (=л»=0 и п=1; мы говорим, что у него электронная конфигурация 1г. Энергия равна — 13,6 эа. Это значит, что для отрыва электрона от атома нужно 13,6»в энергии. Ее называют «эяергией ноннзацин». И~ . Большая энергия ионизации означает, что оторвать электрой трудно, но водород может отнять электрон у другого атома, а потому он химически активен.
Не Теперь обратимся и гелию. Оба электрона в гелии могут находиться в одном и том же нижнем состоянии (только у одного спин направлен вверх, у другого — вниэ). В своем наиннэшем состоянии электрон движется в поле с потенциалом, который при малых г походит на кулонов потенциал с 3=2, а прн больших г — на кулонов потенциал с 2=1. В результате возникает ° водородоподобное» 1г-состояние с несколько более низкой энергией. Оба электрона занимают одни и те я«е 1«-состояния (1=0, т=0). Наблюдаемая энергия иониэации (требуемая на отрыв одного элентрона) равна 24,6 эв.
Поснольку теперь «оболочяа» 1з эаполнена (больше двух электронов в нее не втиснешь), то практнчесни не воэнинает тенденции уводить у других атомов электроны. Гелий химически инертен, Ядро лития имеет заряд 3. Состояния электрона опять будут водородоподобны, и тройка электронов эаймет три нижних »а 876 ср и г. г7.8. Схематиаеская диаграмма уровнеа внергии атомного глвктрона е присутствии друсих влектронов. Масшшааинва,нсгсели на гваг.77.7. — е яр дг 2 ср уровня энергии. Два повадут в состояния 1г, а третий пойдет в состояние и = 2. Но вот с 1 0 или с 7=17 В водороде у атих состояний энергия одна и та я'е, в других же атомах зто не так, и вот по какой причине. Вспомним, что у 2з-состояния есть некоторая амплитуда того, что оно окажется вблизи ядра, а у2ртакойамплитудынет. Зто означает, что 2г-электрон как-то ощутит тройной электрический заряд ядра а у и Г Ьг, а 2р-электрон останется там, где поле выглядит как кулоново воле единичного заряда.
Добавочное притяжение понизит энергию 2г-состояния по сравнениго с энергией 2р-состояния. Уровни энергии примерно окажутся такими, как показано на фиг. 17.8 (сравните с соответствующей диаграммой на фиг. 17.7 для водорода). Значит, в атоме лития два алектрона будут в 1д-состояниях, а один — в 2г-состоянии. Поскольку электрон в 2в-состоянии обладает более высокой энергией, чем алектрон в 1в-состоянии, то его сравнительно легко удалить. 'Ионизационная энергия лития всего 5,4 гд, в он весьма актпвев химически. Так постепенно перед вами развертывается вся картина; в табл.
17.2 мы привели список первых 36 элементов, отметив состояния, аавимаемые алектронамн в основном состоянии каждого атома. Таблица дает энергию нонизации для наиболее слабо свяаанного электрона н количество электронов, ванвмающих «аждую «оболочку», т. е. состояние с одним и тем же и. Таблица 17.2 ° ЭЛВКТРОПНЫИ КОНЭИГРРЛПИИ ПИРВЫХ 66 эдвмзнтоз Гккгла электронов в равных состоннкях) Элэктронаак кок$кгурацкк Элемент зз зр зл зэ зр ! Н водород Не гелий кл) 9,3 8,3 11',3 )Д литий Ве бериллий В бор С углерод 1 2 21 2 2 Зацолнены (2) 14 б 13,6 17,4 Н азот 0 кислород Р фтор Ке неон 7 8 10 23 2 4 25 †Закол зы— (2) (8) — — Заколи (2) (8) 2 2 2 2 3 2 5 2 6 Поскольку равные 1-состояния обладают разными энергиями, то каждое значение 1 отвечает некоторой подоболочке из 2(21+1) возможных состояний (с различными т и различными направлениями спина)х У всех у них энергия одинакова с точностью до некоторых слабых эффектов, которыми мы пренебрежем.
1! 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Ха натрий Мй магний А! алюминии З( кремний Р фосфор 3 сера С! хлор Лг аргон К калий Са кальций Зс скандий Т! титан э' ванадий Сг хром Мц марганец Ре железо Со кобальт И! никель Со медь Хв цинк 5,1 7,6 6,0 8,1 10,5 10,4 13,0 !5,8 4,3 6,1 6,5 6,8 6,7 6,8 7,4 7,9 7,6 7,7 9,4 1 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 1 ( 5 (8) ! 5 6 7 10 10 Ве Бериллий похож на литий, только у него в 2з-состоянии находятся два электрона, а в заполненной 1г-оболочке тоже два. От ВдоХе У бора 5 электронов.
Пятый должен уйти в 2р-состояние. Всего бывает 2 >с 3 = 6 разных 2р-состояний, поэтому можно продолжать добавлять по электрону, пока ие дойдем до 8. Так мы доберемся до неона. Добавляя зти электроны, мы увеличиваем также Е,поэтому все электронное распределение все теснее и теснее стягивается к ядру и энергия 2р-состояний все снижается и снижается. К тому времени, когда мы достигнем неона, энергия ионизации возрастет до 21,6 зв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
