Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Мы хотели бы рассказать теперь немного болыие о некоторых интересных и полезных способах описания квантономеханических величин. К предмету кваптовой механики можно подойти разными способами, и во многих книгах прибегают совсем к иному подходу, чем у пас. Когда вы начнете читать другие кяижки, то может оказаться, что вам ие удастся сразу связать то, что в иих говорится, с тем, что делали мы. Хотя в этой главе мы и получим коекакие новые результаты, оиа ке похожа на другие главы, У пее совсем иная цель: рассказать о других способах выражекия тех же самых физических яредставлений.
Зная это, вы легче поймете, о чем говорится в других книжках. Когда люди впервые начали разрабатывать классическую механику, они неизменно расписывали свои уравнения через х-, у- и з-компоненты. Затем кто-то сделал шаг вперед и указал, что все можно упростить, введя векторные обозначения. 11равда, очень часто, чтобы представить себе задачу конкретнее, вы разбиваете векторы обратно на их компоненты. Но обычно все же нуда легче делать расчеты и разбираться в существе дела, работая с векторами. В квантовой механике нам тоже удалось упростить запись миогих вещей, воспользовавшись идеей явектора состояния».
Вектор состояния ~зР) ничего общего, конечно, пе имеет з 1. Операции и операторы з 2. Средпие энергии $ 3. Средпяя энергия атома з 4. Оператор места Яз 5. Оператор импульса 3 6. Момент количества движения з 7. Изменение средних со временем с геометрическими векторами в трехмерном пространстве:, это просто отвлеченный символ, который обоаначает 1бигическое состояние, отмечаемое своим «значком» или «названием»»р. Представление это весьма и весьма полезно, потому что на языке этих символов законы квантовой механики выглядят как алгебраические уравнения. К примеру, тот наш фундаментальный закон, что всякое состояние можно составить из линейной комбинации базисных состояний, записывается так: ( ф) = ~~ С; ! 1), (18А) где С; — совокупность обычных (комплексных) чисел, амплитуд С,=<(~ф>, а ~ 1>, ~ 2>, ~ 3> и т. д.
обозначают базисные состояния в некотором базисе, или представлении. Если вы берете какое-то физическое состояние и что-то проделываете над ним (поворачиваете или ждете в течение времени Лс или еще что-то), то вы получаете уя«е другое состояние. Мы говорим: «производя над состоянием операцию, получаем новое состояние». Зту же идею можно выразить уравнением ~ф>=А (ф>. (18. 2) Операция над состоянием создает новое состояние. Оператор А обозначает некоторую определенную операцию. Когда эта операция совершается над каким-то состоянием, скажем над (ф), то она создает какое-то другое состояние ~ ф). Что означает уравнение (18.2)г Мы определяем его смысл так. Умнов«ив уравнение на <1~ и разложив ~ф> по (18Л), вы получите <1 ( ф> = ~ <» ! А ( 1> <1 ~ ф> ! (18.3) 201 ()1) — это состояния ив той же совокупности, что и )О).
Теперь это просто алгебраическое уравнение. Число <()ф) показывает, какое количество базисного состояния )~> вы обнаружите в )ф), и оно определяется через линейную суперпозиц»по амплитуд <уф> того, что вы обпарух«ите ф> з том вли ином базисном состоянии.
Числа <1~А )1> — это попросту коэффициенты, которые говорят, сколько (какая доля) состояния <1)ф> входит в сумму. Оператор А численно описывается набором чисел, или «матрицей» Ам=<1( А (1>. (18.4) Значит, (18.2) это запись уравнения (18.3) на высшем уровне. Л на самом деле даже немножко и сверх того: в нем подразумевается нечто большее. В (18.2) вет ссылки на ту или иную систему базисных состояний.
Уравнение (18.3) — это образ уравне- ния (18.2) в некоторой системе базисных состояний. Но, как известно, система годится любая. Именно зто и имеется в виду в (18.3). Операторная манера записи, стало быть, уклоняется от того или иного выбора системы. Конечно, если вам хочется определенности, вы вольны избрать одну из систем. И когда вы делаетеатот выбор,вы пишете уравнение (18.3). Значит, операгпоряое уравнение (18.2) — это более отвлеченный способ записи алгебраического уравнения (18.3).
Это очень походит на разинцу между записью с=ахЪ и записью с„= а„Ь« — а,б, Первый способ нагляднее. Но если вам понадобятся числа, вы наверняка зададите сперва компоненты относительно некоторой системы осей. Точно гак же, если вы хотите дать понять, что за штука А, вам нужно быть готовыми задать матрицу А;, через некоторую совокупность базисных состояний. И пока вй имеете в виду определенную совокупность чисел А;, уравнение (18.2) означает то же, что и (18.3). (И нужно еще помнить, что если уж вы знаете матрицу для одной частной совокупности базисных состояний, то всегда сможете подсчитать матрицу, соответствующую любому другоыу базису.
Матрицу всегда»южно преобразовать от одного представления к другому.) Операторное уравнение (18.2) допускает и другие возможности. Если мы представили себе некоторый оператор А, то его можно применить к любому состоянию ф~> и он создаст новое состояние А ф). Временами получаемое таким путем «состояние» может оказаться очень своеобразным — оно может уже не представлять собой никакой фи»и««ской ситуации, с которой можно встретиться в природе. (Например, может получиться состояние, которое не нормировано на вероятность получить один злектрон.) Иными словами, временами мы можем получить «состояния», которые есть математически искусственные образования. Эти искусственные «состояния» могут все равно оказаться полезными, чаще всего в каких-либо промежуточных вычислениях.
Мы уже приводили много примеров квактовомеханических операторов. Встречался нам оператор поворота Л (0), который, ваяв состояние фу, делает из него новое состояние, представляющее собой старое состояние с точки зрения повернутой системы координат. Встречался оператор четности (или инверсии) Р, создающий новое состояние обращением всех координат. Встречалисьь и операторы о„, о и о, для частиц со спнном '/«.
202 Оператор У, определялся в гл. 15 через оператор поворота на малые углы е: Л, (в) = 1+ — зУ,. (18.5) Это, конечно, попросту оаначает, что (18.6) В этом примере /,ф) — это умноженное на Й//е состояние, получаемое тогда, когда вы повернете ф) на малый угол з и затем вычтете прежнее состояние. Оно представляет «состояние», являющееся разнос>л»ю двух состояний. Еще один пример. Мы имели оператор р „, он нааывался оператором (х-компоненты) импульса и определялся уравнением, похожим на (18.6). Если /)„(Ь) — оператор, который смещает состояние вдоль х на длину Ь, то р, определялось так: (18.7) где б — малое смещение. Смещение состояния (>(» вдоль оси х на небольшое расстояние б дает новое состонние ф'>.
Мы говорим, что это новое состояние есть старое состояние плюс еще новый кусочек ~ бр»~>(». Операторы, о которых мы говорим сейчас, действуют на вектор состояния, скажем на ф>, являющийся абстрактным описанием физической ситуации. Это совсем не то, что алгебраические операторы, действующие на математические функции. Например, »/дх это «оператор», действие которого на /(х) создает из /(х) новую функцию /5(х)=с>//>/х. другой пример алгебраического оператора — ато т/». Моя«но понять, отчего в обоих случаях польауются одним и тем же словом, но нужно помнить, что это равные типы операторов.
Квантовомеханический оператор Л действует не на алгебраическую функцию, а на вектор состояния, скажем на ф>)>). В квантовой механике употребляются и те и другие операторы, и часто, как вы увидите, в уравнениях сходного типа. Когда вы впервые изучаете предмет, то все время надо иметь в виду ату рааницу. А позднее, когда предмет вам станет ближе, вы увидите, что не так уж важно делать резкое различие мен«ду одними операторами и другими.
И во многих книгах, как вы убедитесь, оба типа операторов обозначаются одинаково! 203 Теперь нам пора продвинуться вперед и узнать о многих полезных вещах, которые можно проделывать с помощью операторов. Но для начала небольшое замечание. Пускай у нас имеется оператор Л, матрица которого в каком-то базисе есть А;:— — <«(Л 1/). Амплитуда того, что состояние Л ф~) находится таки«е в некотором другом состоянии )~у), есть <~р)Л ф).
Имеет ли смысл комплексное сопряжение этой амплитудыг Вы, вероятно, сможете показать, что <т! А!р)*==-<р~Л'~ р), (18.8) где А ~ (читается «А с крестоы») это оператор, матричные элементы которого равны А,'; = (А;)». (18. 9) Иначе говоря, чтобы получить», у'-й элемент матрицы Л~, вы обращаетесь к у, «ьму элементу матрицы А (индексы пере- ставлены) н комплексно его сопрягаете. Амплитуда того, что состояние А ! у ) находится в состоянии ) $ ), комплексно сопряжена амплитуде того, что Арр) находится в )~р).
Оператор А" называется «зрмитово сопряженным» оператору А. Многие важные операторы квантовой механики имеют специальное свойство: если вы их эрмитово сопрягаете, вы опять возвращаетссь к тому же оператору. Если В как раз такой оператор, то В =В; его называют «самосопряженным», илн «эрмитовым», -Ф оператором. ф 3. Средние энер«ии До сих пор мы в основном напоминали вам о том, чтб вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы яодсчиталн среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию В.
Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам В, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е. Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием ф), которое нв является стационарнымг Раз у системы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоянии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии» 204 На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состояния )ф> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния !цз>.
Каждое из состояний |з);> обладает определенной энергией Е, В атом представлении (18.10) Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некомрое число Е;, вы тем самым обнарукзиваете, что система была в состоянии )ц;>. Но в кая1дом новом измерении вы моязете получить новое число. Иногда вы получите Е„иногда Е„иногда Е, и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию Е„равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии ~з),>, т.
е. квадрату модуля амплитуды С„=-(з),)ф>. Вероятность обнаружить то или иное возмоя ное значение энергии Е; есть (18.11) Рз=~С;7 Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, например Е„Е„Епо Е„Еы Егю Ь'„Ь'„Е„Е„Е„Е, и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
