Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Положим, однако, что вы решили попробовать какую-то волновую фупкцито (выбрав ее по своему я<еланию) н подсчитать среднюю энергию. Иначе говоря, вы пользуетесь уравнением (18.29), обобщенным на три измерения, чтобы узнать, какова была бы средняя энергия, если бы атом был на самом деле в состоянии, описываемом этой волновой функцией. Эта энергия, бесспорно, окая1ется выше энергии основного состояния — самой низкой энергии, какую может иметь атом е.
Возьмем теперь новую функцию и вычислим новую среднюю энергию. Ксли она ния е, чем было при первом вашем выборе, значит, вы подошли ближе к истинной энергии основного состояния. Если вы немного поразмыслите, вы, конечно, начнете пробовать такие функции, в которых есть несколько свободных параметров. Тогда энергия выразится через зти параметры. Варьируя параметры так, чтобы получить наинизшуго мыслимую энергию, вы тем самым перепробуете за один раз целый класс функций.
Скорее всего вы обнаружите, что понижать энергию становится все труднее и труднее, т. е. начнете убеждаться в том, что уже довольно близко подошли к наинизшей возможной энергии. Именно так и был решен атом гелия — никаких дифференциальных уравнений не решали, а составили особые функции со множеством поддающихся подгонке параметров, которые были подобраны так, чтобы дать средней энергии наинизшее значение. ф 4. Опер«»тпор л«ее»па Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии ф> каково среднее значение координаты х7 Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю.
Мы имеем состояние, описываемое функцией ф (х), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем7 Очевидно, )хР(х) пх, где Р(х) — вероятность обнаружить электрон в небольшом элементе длины дх возле х. Пусть плотность вероятности Р(х) меняется с х так, как показано на фиг. 18.1. Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.
Мы видели раньше, что Р(х) = (ф(х) )з=ф"(х) ф (х), значит, среднее х можно записать в виде <х>,р — ) ф* (х) хф (х) «(х. (18. 33) Наше уравнение для <х>«в имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя ф оператор Я, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18).
Предположим, что мы просто написали <х>, = <«р ~ а>, (18.34) где (с«> = *Я>, (18. 35) и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние )а>, прн котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое ~ а>, чтобы было (18.37) <ф(с«>=<х>, = ~<ф(х>х<х(ф>дх, (18.36) разложим сперва <ф(а> по х-представленню: <ф ) и> = ~ <ф ( х > <х ) а> «»х.
Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении) <х ! с«> = х <х (»р>. (18.38) зр и г. 18.1. Кривая плотности вероятноппи, представляюи1ей локализованную частицу. Воздействие на ф> оператора х для получения [гл) равнозначно умножению ф(х).=(х[ф> на х для получения а(х)=(х!а). Перед нами определение оператора х в координатном представлении е. (Мы не задавались целью получить х-представление матрицы оператора х.
Если вы честол>обины, попытайтесь показать, что (х [ х [ х') = хб (х — х'). (18.39) Тогда вы сможете доказать поразительную формулу (18. 40) х[х) =. х [х), т. е. что оператор х обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние [х>, то это равнозначно умножению на х.) А может, вы хотите знать среднее значение хв? Оно равно (х'>„= ) ч[зе (х) хеч[з (х) <[х.
(18,41) Или, если желаете, можно написать и так: (х'), =(чу[<с'), [сс'> =*' ~ ф>. (18.42) Под х' подразумевается хх — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать (хв>,, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее аначекио х" нли любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете. в Уравнение (18.38) не означает, что [а> = х[зр> [ср. (18.35)[.
Сокращать на <х( неяьвя, потому что множитель х перед <х[ф> для каждого состояния <х~ имеет свое значение. Это — значение координаты электрона в состоянии ~х> [см. (18.40)[. 212 8 д. Оператээор м тьульсп Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р) Ыр — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и Р+др. Тогда <Р>„= ~РР(Р) )Р.
(18.43) Обозначим теперь через <р[ф> амплитуду того, что состояние ! ф> есть состояние с определенным импульсом ! Р>. Зто та же самая амплитуда, которую в гл. 14, з 3, мы обозначали <имп. Р[~у>; она является функцией от р, как <х ! $> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было Р(Р) = — ! <Р! ф> [з (1844) Тогда получится (18. 45) что очень похоже иа то, что мы имели для <х>, . При желании можно продолжить ту же йгру, которой мы предавались с <х>,р.
Во-первых, этот интеграл монзно записать так: з 2лй (18. 46) Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <ф[[)> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние ! р> определяется в ичпульсном представлении уравнением <Р ! [) > = Р <Р ! $>. (18.47) Иначе говоря, теперь можно писать <Р>„= <ф ! ~ >, (18. 48) причем <Р[Р[Р'> =Рб(р — Р'), (18.
50) и что Р! Р> =Р ! Р>. Выводится это так же, как и для х.! (18.51) 21э ! [)>=Р [ "Ф» (18. 49) где оператор р определяется на языке р-представления уравнением (18.47). [И опять при желании мол<по показать, что матричная запись р такова: (р),„= ) (ф( х) (х(($>дх. (18.52) Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние ф) в х-представлении.
Если мы узиаем это, мы сможем взять иитеграл. Итак, наша задача — найти функцию р(х) =(х(р). Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, 4 3, как <рф> связано с <хф>. Согласно уравнению (14.24), <р~р) =~в-ир 4 (х~р>дх, (18.53) Если пам известно (рф), то, решив это уравнение, мы найдем <хф>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через ф(х)=(х(ф), потому что считается, что именно ата величина иам известка.
Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем <р ~ 'р>=р<р~ ф>=р ~ е 'Рмь ф(х)дх. (18 54) Иптеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл (р~ р)=)ге 'р г" рф(х)дх. (18. 55) Теперь сравним это с (18.53).
Может быть, вы подумали, что (хф) равно рф(х)р Нет, напрасно! Волновая функции (х(р)= =()(х) может зависеть только от х, ио ие от р. В атом-то вся трудность. К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) можно проинтегрировать по частям. Производная в-'р '"по х равна ( †Я-РР"Ц поэтому интеграл (18.55) зто все равно, 214 Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем паписать <р>,р так, как мы это сделали в (18.45) и (18,48); смысл оператора р в импульсном представлении иам тоже известев.
Но как истолковать р в координатном првдставленииР Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция ~р(х) и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Поавольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим <р>„р уравнением (18.48), то это уравнение можио будет разложить по р-представлению и ворпуться к (18.45). Если иам задано р-представлеиие состояния, а именно амплитуда <рф> как алгебраическая функция импульса р, то из (18.47) можно получить <рф) и продолжить вычисление интеграла.
Вопрос теперь в следуюп1ем: а что делать, если иам задано описание состояиия в х-представлепии, а имекио волновая фуккция ф(х) =(х~ф)? Ну что ж, качнем раскладывать (18.48) в х-представлеппи. Напишем что — — ) — (е-'Р ~4) ср(х) с(х. $ г и ,) лх Коли это проинтегрировать по частям, оно превратится в Ф, à — — ~~е"м~~" ср(х)~ + — ~ е 'Р"'~" — с(х. во лч г Пока речь идет только о связанных состояниях, сг (х) стремится к нулю при х- ~ оо, скобка равна нулю и мы имеем (р( р) = — ( е '~'"~" — ~ ссх. дх (18.56) А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что (х ~ р) =- —. — ср (х). (18.
57) Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков: (р), =) ср~ (х) —. — ср(х)с(х. о (18. 58) Мы узнали, как выглядит(18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния (ф>, то ответ был таков: <Е>,р — — <ср( ср>, где ) ср>=О~ср>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
