Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Именно Борн правильно (насколько нам известно) отождествил~Р в уравнении Шредингера с амплитудой вероятности, предположив, что квадрат амплитуды — это не плотность заряда, а всего лишь вероятность (на единицу объема) обнаружить там электрон и что если вы находите алек- трон в некотором месте, то там окажется и весь его заряд. Вся эта идея принадлежит Борну. Волновая функция ф1г) электрона в атоме не описывает, стало быть, размазанного электрона с плавно меняющейся плотностью заряда. Электрон может быть либо здесь, либо там, лпоо где-то еще, но где бы он ни был, он всегда — точечный заряд. Но, с другой стороны, представим себе случай, когда огромное число частиц находится в одном и том же состоянии, очень большое их число с одной и той же волновой функцией. Что тогда? Одна пз них будет адесь, другая — там, п вероятность обнаруясить любую из них в данном месте пропорциональна ффз.
Но поскольку частиц так много, то, если я посмотрю в какой-нибудь объем дхдудз, я, вообще говори, обнаружу там примерно фф*дхдудг частиц. Итак, когда ф — волновая функция каждой из огромного количества частиц, поголовно пребывающих в одном и том же состоянии,то в этом случае фф* можно отождествлять с плотностью частиц.
Если в этих условиях все частицы несут одинаковые заряды д, то мы можем понти дальше и отождествить ф*ф с плотностью элевтрлчесгави. Обычно, если ффз имеет размерность плотности вероятности, гофф* надо умножить па д, чтобы получить размерность плотности заряда. Для наших теперешних целей мы можем включить этот постоянный ьшожитель в ф и припять за плотность электрического заряда само фф*. Если помнить об этом, то 3 (тот ток вероятности, который я вычислил) можно будет считать просто плотностью электрического тока, Итак, когда в одном и том же состоянии может находиться очень много частиц, возможно иное физическое толкование волновых функций.
11лотность заряда и электрический ток могут быть вычислены прямо из волновых функций, и волновые функции приобретазот физический смысл, которыя распространяется на классические, макроскопические ситуации. Нечто подобное может случиться и с нейтральными частицами. Если у нас имеется волновая функция отдельного фотона, то зто — амплитуда того, что он будет обнаружен где-то. Хотя мы и не писали его, однако существует уравнение для фотонной волновой функции, аналогичное уравнению Шредингера для электрона. Фотонное уравнение попросту совпадает с уравнениями Максвелла для электромагнитного поля, а волновая функцин— с векторным потенциалом А.
Волновая функция оказывается обычным векторным потенциалом. Физика квантов света совпадает с классической физикой, потому что фотоны суть невзаимодействующие бозе-частицы и многие из ннх могут пребывать в одинаковом состоянии; более того, как вы знаете, они любллт бывать в одинаковом состоянии. В момент, когда мириады их окан~уток в одном и том же состоянии (т. е.
в одной и той же электромагнитной волне), вы сможете непосредственно измерить волновузо функцию (т. е. векторный потенциал). Конечно, исторически все шло иным путем. Первые наблюдения были проведены при 234 таких обстоятельствах, когда было много фотонов в одинаковом состоянии, и тем самым удалось открыть правильные уравнения для отдельного фотона, наблюдая непосредствепцо своими глазами природу волновой функции на макроскопическом уровне.
Трудность с электроном состоит в том, что вы пе можете поместить в одно и то же состояние больше одного электрона. Поэтому очень долго считалось, что волновая функция уравпепия Шредингера никогда пе будет иметь макроскопического представления, подобного макроскопическому представлению амплитуды для фотонов. Но теперь стало ясяо,что явление сверхпроводимости представляет именно такой случай.
ф Ю. СЗЕРХГГРОЕОдМШОС1ИЬ Вы знаете, что очень многие металлы ниже определенной температуры (температура у каждого металла своя) становятся сверхпроводящими а. Воли вы как следует снизите температуру то металлы начинают проводить электричество без всякого сопротивления. Это явление паблгодалось у очень многих металлов, но не у всех, и теория зтогоявленияпричипиланемало хлопот. Понадобилось довольно долгое время, чтобы разобраться, что происходит внутри сверхпроводников, и я опишу здесь только то, что будет нужно для наших ныкешпих целей.
Оказывается, что из-за взаимодействия электронов с колебаниями атомов в решетке возникает слабое эффективное притяжение между электронами. Грубо говоря, электроны в итоге взаимодействия образуют связанные пары. Известно также, что каждый отдельный электрон является ферми-частицей. Но связанная пара уже будет вести себя как бозе-частица, потому что, если я переставляю местами два электрона в паре, я дважды меняю знак волновой функции, а зто означает, что я ничего не мепяго.Пара являетсябоэе-частицей. Внергия спаривания (эпергия притяжения электронов) очень- очень слаба. Незначительной температуры достаточно, чтобы тепловое возбуждение разбросало электроны и обратило их в «нормальные» электроны.
Но если снизить температуру достаточно сильно, то эти электроны сделают все от них аависящее, чтобы прийти в самое наинизшее состояние, и уж тогда-то действительно разберутся попарно. Мне яе хотелось бы, чтобы вы вообразили, будто пары и впрямь скреплены очень тесно, словно точечные частицы. В дей" Впервые ато открыл Окнсс а 1У11 г. (Н. К. О и и са, Соют. РЬуа. 1.аЬ., Пп1г. Всу6сп, уй 110, 120, 122 (1011](. Прекрасное современное валожсккс предмета вы кайдсто в кккгс Е.
А. Ь у и 1 о и, Яарсгсопласг!г!1у, Ьси уог(г, 1062 (есть перевод: Е. 11 к в т о л, Снсрлпроводвмость, М., 1964). ствительности, именно в этом пункте лежала наибольшая трудность в понимании этого явления на первых порах. Два электрона, образующие пару, в действительности расходятся на заметные расстояния; и среднее расстояние между парами меньше размера отдельной пары. Несколько пар одновременно занимают одни и тот же объем. Объяснение причины образования электронами в металле пар и оценка энергии, выделяемой при образовании пар, стало триумфом современной науки, Этот фундаментальный факт в явлении сверхпроводимости впервые разъяснен в теории, созданной Бардином, Купером и Шриффером *.
Но не это будет темой нашего семинара. Мы попросту примем как данное представление о том, что электроны так или иначе депствуют попарно, что можно считать, что зти пары ведут своя более или менее как частицы и что поэтому можно говорить о волновой функции <пары». Уравнение Шредингера для пары более или менее похоже на (19.3). Единственная разница состоит в том, что заряд д будет удвоенным зарядом электрона. Кроме того, мы не знаем инерции (или эффективной массы) пары в кристаллической решетке, поэтому неизвестно, какое число поставить вместо лг.
Не следует также считать, что если перейти к очень высоким частотам (или коротким волнам), то форма уравнения останется правильной, ведь кинетическая энергия, которая отвечает очень резко менясощимся волновым функциям, может стать столь большой, что разрушит пары. При конечных температурах в соответствии с теорией Больциана всегда встречается сколько-то разрушенных пар. Вероятность того, что пара раврушится, пропорциональна охр( — Е„,р„/ЙТ).
Не связанные попарно электроны называются «нормальнымиз и движутся по кристаллу обычным образом. Я буду, однако, рассматривать только случай истинно нулевой температуры илп, во всяком случае, пренебрегу усложнениями, вызываемыми теми электронами, у которых нет пары. Раз пары электронов — это бозоны, то когда мпожессво их собирается в одном состоянии, амплитуда перехода других нар в то же состояние становится особенно велика, Значит, почти все пары должны скопиться при наинизшей энергии в точности в одикаковолс состоянии, сбежать кому-либо из них в другое соссояние очень нелегко. У каждой пары амплитуда того, что она перейдет в занятое состояние в )/л раз больше, чем в незанятое (где хорошо известный фактор )' и определяется населенностью и наинизшего состояния).
Значит, мы вправе ожидать, что все пары будут двигаться в одном состоянии. * 3. Вагбееп, 1,. г1. Соорег, 3. В. Всаг!е11ег, Раук. Вес., 108, 1175 (1957) (см. перевод в сбориике ереорип сеерхпроводимости>, ИЛ, 1960). Как же тогда будет выглядеть наша теория? Я обозначу через ф волновую функцию пары в наинизшем энергетическом состоянии. Однако кз-за того, что фф~ окажется пропорциональным плотности заряда р, я с равным правом могу записать ф как квадратный корень из плотности заряда, умноженный ка некоторый фазовый множитель ф(г) =)/р(г) е'зк> (19.17) где р и Π— действительные функции от г. (В таком виде можно, конечно, записать любую комплексную функцию.) Что мы подразумеваем, говоря о плотности заряда, — это ясно, но каков физический смысл фазы 0 волновой функции? Ну что же, давайте поглядим, что получится, если мы подставим ф(г) в (19.12) и выразим плотность тока через зти новые переменные р и О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
