Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Так оно и было бы для замкнутых петель в односвязном куске сверхпроводника, но для кольцеобразного куска это не обязательно. Единственное физическое требование, которое мы вправе предьявить, это чтобы в каждой точке волновая функция могла принимать только одновначение. Что бы ии делала фаза О, когда вы движетесь по кольцу, ио когда вы воавращаетесь к начальной точке, фаза Ф и в. 79.5.
Кривая Г внутри сверяпроводноковооо кольца. О обязана обеспечить вам прежнее значение волновой функции ф=) рг". Так будет, если О меняется на 2нп, где и — любое ,/ ~у целое числа. 11так, если мы делаем один полный оборот вокруг кольца, то левая часть (19.27) должна быть равна й 2нп. Подставляя сюда (19.28), получаем 2япй = дФ. (19.29) Зохвпчгнный ноток всегда об ган быть кратным числу 2л/г/71 Если бы кольцо было классическим объектом с идеальной (т. е. бесконечной) проводимостью, то можно было бы подумать, что в кольце обязан остаться весь проходивший через него поток, какой бы величины он ни был, т.
е. можно заморозить лгобое количество потока. Но квантовомеханическая теория сверхпроводимости утверждает, что поток может быть либо нулем, либо 2н/г/д, лиоо 4нй/д, либо Онй/д и т. д., но только не промежуточным числом! Он обязан быть кратным фундаментальной квантовомеханнческой константе. Лондон а предскааывал, что ноток, захватываемый сверх- проводящим кольцом, окажется квантованным и допустимая величина потока будет дана уравнением (19.29), где у=в),— заряду электрона. Согласно Лондону, фундаментальная единица потока должна быть равна 2яй/д„т. е.
около 4 10 " гс.см'. Чтобы представить себе эту величину, вообразите тонкий цилиндрик толщиной в одну десятую долю миллиметра; магнитное поле внутри него, если он содержит такую величину потока, составит около одного процента магнитного поля Земли. С помощью чувствительных магнитных измерений такой поток можно зарегистрировать.
В 1961 г, Дивер и Фейрбэнк ** из Станфордского университета предприняли поиски такого квантованного потока и нашли его; примерно в то же время это проделали Долл и Набауэр *"* в Германии. ь Р. Ь о и 6 о и, Яарог1!аМа, уо1. 1, )Чеьв Уог(г, 1950, р. 152. "ь В. Я. В г а ч е г, 1г., в!Г. М. У а ! г Ь а и )г, РЬуа. Веч. Ее!гага, 7, 43 (1961). а" а В, 0 о11, М. Б а Ь а а е г, РЬуа. Веу. ).ег(ега, 7, 51 (1961), В опыте Дивера и Фейрбэнка сверхпроводвщий цилиндрик был изготовлен электроосажденнем тонкого слоя олова на кусочке медной проволоки диаметром 1,3.10 ' см (длиной 1 см).
Ниже 3,8'К олово становится сверхпроводящим, а медь остается нормальным металлом. Проволока была помещена в небольшое регулируемое магнитное поле и температура снижалась до тех пор, пока олово не стало сверхпроводником. Затем убрали внешний источник поля. Вы понимаете, что по закону Ленца это вызвало появление тока, стремившегося погасить эффект убывания потока внутри цилиндра. Цилиндрик приобрел магнитный момент, пропорциональньш потоку внутри него. Этот магнитный момент измерялн, для чего водили проволочкой вверх и вниз (как иглой в швейной машинке, но со скоростью 100 раз в секунду) внутри пары маленьких катушечек, помещенных у концов оловянного цилиндрика.
Мерои магнитного момента было наводимое в катушках напряжение. Дивер и Фейрбэнк, проделав свой опыт, обггаругггили, что поток действительно квантуется, но фундименпги.гыгая единица равни половини гггой, копюррю прсдскиви.г Линдогг. Тот же результат получили Долл и Набауэр. Сперва это выглядело очень таинственно *, но теперь стало ясно, отчего так вышло. Согласно теории сверхпроводимости Бардина, Купера и Шриффера, то д, которое стоит в (19.29), это заряд пары электронов, т. с.
равно 2д,. Фундаментальная единица потока равна Ф, =-- — ' — ' 2 ° 10 ' гс смв, (19.30) ч„, т. е. равна половине того, что было предсказано Лондоном. Теперь все сходится, и измерения сьндетельствуют о существовании предсказанного чисто кваптовомеханического, но крупномасштабного явления. ф о.,)ттгнгвмтлнгг сверинроводтглгосттг~ Эффект Мейсснера и квантование потока подтверягдают наши общие представления. Для полноты стоит еще продемонстрировать, как с этой точки зрения выглядели бы полные уравнения сверхяроводящей жидкости,— получается довольно интересно. До сих пор я подставлял выражение для ф только в уран- пения плотности заряда и тока. Но если я их подставлю в полное уравнение Шредингера, то получу уравнения для р и О.
Интсресгго поглядеть, что из этого выйдет, потолгу что перед нами сейчас «ягидкость» электронных пар с плотностью заряда р и с таинственной О; мы можем посмотреть, как выглядят урав- в Когда-то Оввагер говорил, что вто вовможво (см. цвтвроввввув~ вв стр. 243 хввжху Лондона), во никто ве понимал, почему. хтг (19.32) пенна такой <окидкости»! Итак, подставим волновую функцию (19.17) в уравнение Шредингера (19.3) и вспомним, что р и 0 это вещественные функции от х, у н г. Если мы отделим вещественную часть от мнимой, то уравнений станет два.
Чтобы запись была короче, я, следуя уравнению (19Л9), напишу — чО - — А =ч. й у (19. 31) Тогда одно из двух уравнений примет вид — =ту рч. др д« Поскольку рч это и есть Ю [см. (19.18)!, то мы просто еще раз получили уравнение непрерывности. Второе же уравнение говорит об изменении О: Уг — = — — "' ~г+о~р — — ' 1 ч«Я р )~ . (19.33) д«2 зт (У'р Те из вас, кто хорошо знаком с гидродинамнкой (думаю, очень немногие), в этом уравнении узнают уравнение движения электрически заряженной жидкости, если только отождествить ЙО с «потенциалом скоростей»; но только в последнем члене, который должен быть энергией сжатия жидкости, имеется довольно странная аависимость от плотности о.
Во всяком случае, это уравнение утверждает, что скорость изменения величины лО дается членом с кинетической энергией (т!2) г' пл»ос член с потенциальной энергий д~р плюс добавочный член с множителем л», который мы назовем «квантовомеханической энергией». Мы видели, что внутри сверхпроводника электростатические силы поддерживают р очень однородным, поэтому зо всех практических применениях этим членом почти наверняка можно пренебречь при условии, что имеется только одна сверхпроводящан область. Если между двумя сверхпроводникамн имеется граница (или есть другие обстоятельства, за счет которых р может начать резко меняться), то этот член может стать существенным. Для тех, кто не так уж знаком с уравнениями гидродинамики, я попробую переписать (19.33) в том виде, который позволит яснее видеть физику, Я использую (19.31), чтобы 0 выразить через ч.
Беря от всего уравнения (19.33) градиент и выражая с помощью (19.31) чО через А и ч, я получу дч у / да~ — =- — ~ — р «р — — ) — ч м (Ч м «) — (ч р) ч— д«м( д«,) — 7 — (,. Р» у" ) . (19.34) Что же означает это уравнение? Вспомним, во-первых, что Р(р ..' -- Е (19.
35) Затем заметим, что если взять ротор от уравнения (19.19), то получится »хч= — «ЧхА, (19.36) поскольку ротор градиента всегда нуль. Но 1>хА — это магнитное поле В, так что два первых члена можно записать в виде «(Е+чхВ). Наконец, вы должны уяснить себе, что дч/дт обозначает скорость изменения скорости жидкости в данной точке. Если же вас интересует отдельная частица, то ее ускорение выразится полной' производной от ч (или, как иногда говорят в динамике жидкостей, «сопутствующим ускорением»), связанной с дч/д>> формулой (см. гл.
40, $ 2 (вып. 7)1 — = — +(ч >»>) ч. (19.37) ю ~ >«апутствуюдее) з> В правой части (19.34) стоит тот же член (ч»)». Если перенести его влево, то (19.34) перепишется так: т — ~ =д(Е+чхВ) — » — (='(>«3 р ). (19.38) Кю|у»сувуюшее> 2 ~~Г„ Затем из (19.36) следует '(> х ч = — ~ В. (19,30) >в Это и есть уравнения движения сверхпроводящей злектронноп жидкости.
Первое уравнение — это просто закон Ньютона для заряженной я<идкости в электромагнитном поле. Оно утверждает, что уснорение каждой частицы жидкости с зарядом >7 вызывается действием обычной лоренцевой силы >7(Е+» х В) плюс добавочная сила, являющаяся градиентом какого-то таинственного квантовомеханического потенциала; эта сила обычно мала и становится заметной только при соприкосновении двух разных сверхпроводников. Второе уравнение утверждает, что жидкость «идеальн໠— ротор обладает нулевой дивергенцией (у В дивергенция всегда нуль). Это означает, что скорость может быть выражена через потенциал скоростей.
Обычно для идеальной жвдкости пишут >(> х »=0, но для идеальной заряженной жидкости в з>агни>пнол«поле это уравнение обращается в (19.39). Итак, уравнение Шредингера для электронных пар в сверх- проводнике дает нам уравнения движения электрически заряженной идеальной жидкости. Теория сверхпроводимости совпадает с задачей гидродинамики заряженной жидкости. Если вы хотите решить какую-либо задачу, касающуюся сверхпроводинков, вы берете эти уравнения для я<идкости (или равноцен- ную им пару (19.32) и (19.33)) и сочетаете их с уравнениями Максвелла, чтобы получить поля.
(Заряды и токи, которыми вы пользуетесь, чтобы узнать поля, должны, естественно, включать как заряды и токи от сверхпроводника, так заряды и токи от внешних источников.) Кстати, я считаю, что уравнение (19.38) не очень-топравильпо, в него следует добавить член с плотностью. Он определяется во квантовой механикой, а вытекает из обычной энергии, связанной с варнацкими плотности, так же как в уравнении для обычной жидкости доля;па стоять плотность потенциальной энергии, пропорциональная квадрату отклонения р от р, (невозмущепногг плопгостп, которая в нашем случае равна такя<е плотности заряда кристаллической решетки).
Поскольку должны наблюдаться силы, пропорциональные градиенту этой энергии, то в (19.38) обязан стоять еще один член, пропорциональный г' (р — Р,)з. В нашем анализе он не появился, потому что возникает он от взаимодействия между частицами, которым я, применяя приближение независимых частиц, пренебрег. Но это та самая сила, на которую я сослался, когда делал качественное утверждение о том, что электростатические силы стремятся сохранить р вдоль сверхпроводника почти неизменным. З О. х1еуеходьс ДэяозеЯсоно И вот напоследок я перехожу к разбору очень интересного случая, впервые отмеченного Джозефсоном *, к аналиау того, что бывает при контакте двух сверхпроводников.
Пусть у нас есть два сверхпроводника, связанные тонким слоем изолятора (фиг. 19.6). Теперь такое устройство называется «переходом Джозефсона». Если изолирующий слой толст, электроны не могут пройти через него, но если он достаточно тонок, то электроны могут иметь заметную квантовомеханическую амплитуду перескока. Зто попросту новьш пример квантовомеханического проникновения через барьер. Дя'озефсон проанализировал такой случай и выяснил, что при этом должно происходить немало странных явлений. Для анализа такого контакта я обозначу амплитуду того, что электрон окажется на одной стороне, через ф„а того, что на другой,— через ф,. В сверхпроводящем состоянии волновая функция ф, — это общая волновая функция всех электронов с одной стороны, а ~рз — соответствую|цая функция с другой стороны. Зту задачу можно решать для сверхпрозодников разного сорта, но мы ограничимся самым простым случаем, когда вещество по обе стороны одно и то же, — так что соединение самое простое и симметричное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
