Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(18.76) Как <А>,„будет зависеть от времени7 Но почему оно вообще может зависеть от времени? Ну, во-первых, может случиться, что оператор сам явно зависит от времени, например, если он был связан с переменным потенциалом типа Г(х, г). Но даже если оператор от г не зависит, например оператор А=к, то соответствующее среднее может зависеть от времени.
Ведь среднее положение частицы может перемощаться. Но как моксет такое двкя ение получиться из (18.76), если А от времени не зависит7 Дело в том, что во времени может меняться само состояние фф>. Для нестационарных состояний мы часто даже явно отмечали зависимость от времени, записывая их как )ф(~)>. Теперь мы хотим показать, что скорость изменения <А>сэ дается новым оператором, которьш мы обозначим А. Напомним, чтоА это оператор, так что точка над А вовсе не означает дифференцирования по времени, а является просто способом записи нового оператора А, определяемого равенством (18.77) Задачей нашей будет найти оператор А.
Прея де всего, нам известно, что скорость изменения состояния дается гамильтонианом. В частности, (18.78) Зто всего-навсего абстрактная форма записи нашего перво- начального определения гамильтониана Й вЂ” „,'= ч',Н„С . (18.79) (18.80) Посмотрим теперь, что случится, если мы продифференцируем (18.76) по г. Поскольку каждое ~р зависит от ~, мы имеем Если мы комплексно сопряясем это уравнение, оно будет эквивалентно Наконец, заменяя производные их выражениями (18.78) н (18.80), получаем $ —, <А >, = — (< ф Й А ( ~р > — < ~р ! А Й ) ~р>), а это то же самое, что написать — <А>ср —— —.
<1р)(НА — А Н))$>. 71 Сравнивая это уравнение с (18.77), мы видим, что А = — (11А — А Й). Х (18.82) Это и есть то интересное соотношение, которое мы обещали; и оно справедливо для любого оператора А. Кстати заметим, что, если бы оператор А сам зависел от времени, мы бы получили А = — (ЙА — АЙ) -)-— д~ Проверим (18.82) на каком-либо примере, чтобы посмотреть, имеет ли оно вообще смысл. Какой, например, оператор соответствует хр Мы утверждаем, что это должно быть х = — (йх — хй).
Х (18. 84) Что это так ое7 Один способ установить, что это такое — перейти в координатное представление и воспользоваться алгебраическим оператором Я~. В этом представлении коммутатор равен ях — хат" = < — — — + )г (х) > х — х < — — ' — + г' (х) ~ . т к Но это то же самое, что и .Ф- ф х так что мы обнаруживаем, что . Ь Йх — хй = — 1 — р, д~ х' (18.85) Если вы подействуете всем этим выражением на волновую функцию ф(х) и вычислите везде, где нужно, производные, вы в конце концов получите $' Фф 2т ах ' или что (18.86) Прелестный результат.
Он означает, что если среднее значение л меняется со временем, то перемещение центра тяжести равно среднему импульсу, деленному на массу ш. Точно как в классической механике. Другой пример. Какова скорость изменения среднего импульса состояния? Правила игры прежние. Оператор этой скорости ранен р = — (Ур — Ф0. А (18.87) Опять все можно подсчитать в х-представлении.
Напомним, что р обращаетс~ в г(/ох, а это означает, что вам придется дифференцировать потенциальную энергию г' (в,Ж), но только во втором слагаемом. В конце концов остается только один член, и вы получаете фуэ рф Щ или Р= сЛ~ (18.88) зз Опять классический результат. Справа стоит сила, так что мы вывели закон Ньютона! Но помните — это законы для оиерашоров, которые дают средние величины. Они не описывают в деталях, чтб происходит внутри атома. Существенное отличие квантовой механики з том, что рл не равно хр. Они отличаются на самую малость — на маленькое число Ь. Но все поразительные сложности интерференции волн и тому подобного проистекают из того небольшого факта, что лр — рх не совсем нуль.
История этой идеи тоже интересна. С разпицеп в несколько месяцев в 1926 г. Гейзенберг и Шредингер независимо отыскали правильные законы, описывающие атомную механику. Шредингер изобрел свою волновую функцию ф (л) и нашел уравние для нее, а Гейзенберг обнаруягил, что природу можно было бы описывать и классическими уравнениями, липзь бы хр — рх было равно Ь/~', чего можно было дооиться, определив их с помощью особого вида матриц. На пашем теперешнем языке он пользовался энергетическим представлением и его матрицами. И то и другое — и матричная алгебра Гейзенберга и дифференциальное уравнение Н1редннгера — объясняли атом водорода.
Несколькими месяцами позднее 1Предингер смог показать, что обе теории эквивалентны — мы только что это видели. Но две разные математические формы квантовой механики были открыты независимо. Гз оз«л 19 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В КЛАССИЧЕСКОМ КОНТЕКСТЕ. СЕМИНАР ПО СВЕРХПРОВОДИМОСТИ ф 1. 3'рглвне«лне Шредннгерлл в магннтглном ноле Эту лекци«о я читаю вам для развлечения. Захотелось посмотреть, чтб получится, если начать читать в немного ином стиле. В курс она не входит, и не думайте, что это попытка обучить вас в последний час чему-то новому. Я скорее воображаю, будто провожу семинар или будто делаю отчет об исследованиях перед более подготовленной аудиторией, перед людьми, поторые в квантовой механике уже многое понимают.
Основное различие между семинаром и регулярной лекцией в том, что на семинаре докладчик не приводит все стадии, всю алгебру выкладок. Он просто говорит: «Если вы проделаете то-то и то-то, то получится вот что», а' в детали не входит. Вот и в этой лекции будут только высказываться идеи и приводиться результаты расчетов. А вы доля«ны понимать, что вовсе не обязательно во всем немедленно и до конца разбираться, надо только верить, что если проделать все выкладки, то все так и получится. Но это не все.
Главное — что об этом мне хочется говорить. Это такая свежая, актуальная, современная тема, что вполне законяо вынести ее на семинар. Тема эта — классический аспект уравнения Шредингера, явление сверхпроводимости. Обычно та волновая функция, которая появляется в уравнении Шредингера, относится только к одной или к двум частицам. И сама волновая функция классическим смыслом не обладает в отличие от электрического поля, нли векторного потенциала, или других подобных вещей.
Правда, волновая функция отдельной частицы — это «поле» в том смысле, что она есть 4 1. Уравнение Шредингера в магнитном поле з 2. Уравнение непрерывности для вероятно«тей з 3. Два рода импульсов й 4. Смысл волновой функции й 5. Сверхпроводимость $6. Явление Мейсснера 3 7. Квантование потока 3 8. Динамика сверхпроводимости й 9.
Переходы Джозеф сона «тб функция положения, но классического значения опа, вообще говоря, не имеет. Тем не менее бывают иногда обстоятельства, в которых квантовомеханическая волновая функция действительно имеет классическое значение, именно их я и хочу коснуться. Своеобразие квантовомеханического поведения вещества в мелких масштабах обычно не дает себя чувствовать в крупномасштабных явлениях, если не считать стандартных выводов о том, что оно вызывает к жизни законы Ньютона, законы так называемой классической механики. Но существуют порой обстоятельства, в которых особенности квантовой механики могут особым образом сказаться в крупномасштабных явлениях. При низких температурах, когда энергия системы очоньочснь сильно убывает, вместо прежнего громадного количества состояний в игру включается только очень-очень малое количество состояний — тех, которые расположены неподалеку от основного.
При таких условиях квантовомеханический характер этого основного состояния может проявиться на макроскопическом уровне. Вот целью этой лекции и будет продемонстрировать связь между квантовой механикой и крупномасштабнымн эффектами — не обычное обсуждение пути, по которому квантовая механика в среднем воспроизводится ньютоновой механикой, а специальный случай, когда квантовая механика вызывает свои собственные, характерные для нее эффекты в крупных, «макроскопическиха размерах. Начну с того, что напомню вам кое-какие свойства уравнения Шредингера *, Я хочу с помощью уравнения Шредингера описать поведение частицы в магнитном поле. потому что явления сверхпроводимости связаны с магнитными полями. Внешнее магнитное поле описывается векторным потенциалом, н вопрос состоит в том, каковы законы квантовой механики в поле векторного потенциала. Принцип, определяющий квантовомеханическое поведение частицы в поле векторного потенциала, очень прост.
Амплитуда того, что частица при наличии поля перейдет по некоторому пути из одного места в другое (фиг. 19Л), равна ампллтуде того, что она прошла бы по этому пути без поля, умноженной на акспоненту от криволинеиного кнтеграла от нектарного потенциала, умноженного в свою очередь на электрический заряд и деленного на постоянную Планка (см. гл. 15, $2 (вып. 6)): Зто исходное утверждение квантовой механики. " Фактически ато ке напоминание, потому что некоторые ка аткх уркакеккй к раньше ке приводил; ве забудьте, что к веду настояший секкпар. 226 нием — —.
— С(х) = Е С(х) — Ке-'м1 +мюС(х+Ь)— Ке+мык-ыюС (х Ь) (19.4) В нем три части. Во-первых, у электрона,.который находится в точке х, есть некоторая энергия Е,, Это, как обычно, дает член Е,С(х). Затем имеется член — КС(х+Ь), т, е. амплитуда того, что олектрон от атома в+1, расположенного в х+Ь, отпрыгнул на шаг назад. Однако если это происк одит в присутствии векторного потенциала, то фаза амплитуды обязана сместиться согласно правилу (19.1).
Если А „на расстоянии между соседними атомами заметно не изменяется, то интеграл можно записать попросту в виде значения А„посредине, умнов'енного на расстояние. Итак, произведение (1дф) на интеграл равно ~Ь~(х+Ь/2). Л раз электрон прыгал назад, я этот сдвиг фазы отмечаю знаком минус. Это дает вторую часть. 14 точно так же имеется некоторая амплитуда того, что будет прыжок вперед, но на этот раз т же берется векторный потенциал с другой стороны от х, на расстоянии Ь~2, и умножается на расстояние Ь, Это дает третью часть. В сумме получается уравнение для амплитуды того, что частица в поле, характеризуемом векторным потенциалом, окаяштся в точке х.
Но дальше мьз знаем, что если функция С(х) достаточно плавная (мы берем длинноволновый предел) и если мы сдвинем атомы потеснее, то уравнение (14.4) (стр. 80) будет приблизительно описывать поведение электрона в пустоте, Поэтому следующим шагом явится разложение обеих сторон (19.4) по степеням Ь, считая Ь очень малым. К примеру, если Ь=О, то правая часть будет равна просто (Ез — 2К)С(х), так что в нулевом приближении энергия равняется Е,— 2К. Затем пойдут степени Ь, но из-за того, что знаки показателей экспонент противоположны, останутся только четные степени. В итоге, если вы разложите в ряд Тэйлора С(х), ~(х) и экспоненты и соберете затем члены с Ьз, вы получите — — = ЕоС (х) — 2КС (х)— Ь дС(х) — КЬз (С" (х) — 21~ (х) С' (х) — 11' (х) С (х) — гз (х) С (х)) (19.5) (штрихи обозначают дифференцирование по х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
